☉江蘇省如皋市外國語學(xué)校 陳德剛

特殊值法解題的幾個注意點

☉江蘇省如皋市外國語學(xué)校 陳德剛

特殊值法，是指在數(shù)學(xué)問題的解答中，通過將題中某個未知量設(shè)為特殊值，在簡單的運算后得出最終答案的一種方法.由于特殊取值的應(yīng)用，加之不需要對解題結(jié)果進行一般性驗證，所以這種方法節(jié)省了大量的解題時間，成為學(xué)生熱衷選擇的一種解題方法.正是學(xué)生的這種應(yīng)用熱情，讓此法在實際應(yīng)用時出現(xiàn)了不少問題，其中最為典型的是取值不當(dāng)和應(yīng)用范圍盲目擴大.特殊值法的不當(dāng)應(yīng)用，給問題解決帶來了一些不小的麻煩，導(dǎo)致很多無謂失誤，十分可惜.現(xiàn)結(jié)合一些例題的解題分析談?wù)剳?yīng)用特殊值法解題的幾個注意點，希望對您有幫助.

一、特殊取值應(yīng)有利于計算或說理

應(yīng)用特殊值法，必然會牽扯到取特殊值的問題，特殊值要體現(xiàn)其特殊性，取什么樣的數(shù)值代入較為適宜確實值得研究，這與題目本身有著很大的關(guān)系.事實告訴我們，應(yīng)用特殊值法解題時，取值應(yīng)抓住題目的特點，所取數(shù)值不僅符合具體的情境的需求，還應(yīng)保證所取數(shù)值便于計算和說理.只有別具匠心的特殊取值，才能凸顯出特殊值法的方便與快捷.

A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1≤y2D.y1≥y2

解法分析：從本題的題干看，條件“k為常數(shù)”告訴我們，k的取值并不影響本題的結(jié)果，也就是說，無論k取多少，最終的選擇都是一致的.因此，本題用特殊值法來求解，通過選取一個特殊數(shù)值代入函數(shù)關(guān)系式，再將x的值代入算出對應(yīng)的y的值，即這里的y1與y2，大小關(guān)系很快便可得出.那么，選擇怎樣的數(shù)值代入較為合適呢？不妨取k=0，則.這樣很快就可以得出根據(jù)兩個負數(shù)比較大小的方法，易得y1＜y2.所以，本題選擇A.

簡要說明：分析例1的解題歷程，我們不難發(fā)現(xiàn)特殊值法確實讓解題變得簡單了.對于取什么樣的值，還是有講究的.例1中，雖然題目告知了“k為常數(shù)”，但這個常數(shù)可不是隨便取的，如果k的值取較大的數(shù)或者是分數(shù)，如100或計算起來十分麻煩，不僅沒有用性質(zhì)判別來得簡單（本題也可以應(yīng)用反比例函數(shù)的性質(zhì)直接判斷），還可能會因為計算失誤導(dǎo)致出錯.

二、幾何問題的特殊取值由圖形的特殊位置確定

特殊值法，不僅適用于代數(shù)問題，在幾何問題中也有著較大作用.我們在解答一些與圖形相關(guān)的問題時，常常選取圖形的特殊位置進行研究，將特殊的位置轉(zhuǎn)化為線段或角的特殊取值，從而找到化解問題的路徑.所以在教學(xué)時，我們要注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的特殊位置與特殊取值之間的關(guān)系，讓他們充分感知特殊位置對問題解決的巨大作用，形成應(yīng)用特殊值法解決幾何問題的思維慣性.

例2從邊長為1的等邊三角形內(nèi)一點分別向三邊作垂線，三條垂線段的長的和是_________.

解法分析：很明顯，題中的“從形內(nèi)一點分別向三邊作垂線”并沒有說明這一點的位置，也就是說這一點只要在三角形的內(nèi)部即可，特殊與否并不影響結(jié)果，所以本題可以用特殊值法來求解.如圖，取等邊三角形ABC的內(nèi)心O，作OD⊥BC于點D.易得OD=，所以三條垂線段的長的和是

簡要說明：“圖形與幾何”是初中階段重要的課程內(nèi)容之一，在學(xué)習(xí)新知時，我們也常用特殊值法來獲取結(jié)論，因此，特殊值法也可以應(yīng)用到“圖形與幾何”問題的解決之中.例2中，解讀條件“等邊三角形內(nèi)一點”，可知這個點只要在三角形內(nèi)，特殊的位置與最終結(jié)果并不沖突，所以取這個三角形的內(nèi)心是合適的，一個特殊位置的獲得，學(xué)生自然獲得了線段和角的特殊取值，這樣的探究使得一般問題特殊化，在應(yīng)用特殊的取值化解一般幾何問題的過程中，為一般化驗證（用面積法證明）開啟了通道.從這道例題來看，特殊位置的確定，讓特殊取值具有幾何意義，不僅是位置的特殊，更是線段、角的取值的特殊，雙重特殊成就了問題的快速解決.

三、要關(guān)注特殊值法的適用范圍

特殊值法是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的重要途徑，它不僅適用于填空題和選擇題等客觀題型，在結(jié)論的獲得上，對解答題也同樣適用.但是解答題是要給出規(guī)范過程的題型，“在解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟”，給出的解題過程應(yīng)符合數(shù)學(xué)的一般規(guī)律，不能用特殊狀況下的演算或推理代替一般性的過程.所以應(yīng)用特殊值法解題要關(guān)注適用范圍，尤其要注意應(yīng)用特殊值法分析問題并取得結(jié)論的過程一般不能作為解答的過程呈現(xiàn).

解法分析：如果是一道填空題或選擇題，本題應(yīng)用特殊值法分析是十分合適的，我們可以抓住式子=2的特點，取a=1，b=1，代入到中，直接計算便可以得到最終的結(jié)果為.但本題是一道解答題，用特殊值法顯然是不合時宜的，所以我們應(yīng)從題目條件入手找尋一般方法，不妨對=2進行變形，得出a2+b2= 2ab，通過整體代入可得.這種通過變形代入求值的過程，才是具有一般意義的過程，才應(yīng)該出現(xiàn)在答題區(qū)域內(nèi).

簡要說明：應(yīng)用特殊值法解題，不僅要關(guān)注取值，還要關(guān)注它的適用范圍，并不是所有的數(shù)學(xué)題都可以用特殊值法求解.例3是解答題，特殊值法可以用來發(fā)現(xiàn)結(jié)論或驗證結(jié)論，但這些過程只能在草稿紙上，絕不能作為解題過程出現(xiàn)在答題區(qū)域內(nèi).顯見，題型的不同，也限制了特殊值法的解題應(yīng)用.解答題是必須呈現(xiàn)規(guī)范的解題過程的，而且這種過程應(yīng)具有一般性，特殊值法是一般情況中的特殊情形，這種情形并不能代替一般情形.所以解答題的求解，我們應(yīng)從數(shù)學(xué)的角度對題目認真審視，找到條件與結(jié)論之間數(shù)學(xué)上的關(guān)聯(lián)點，從而找到問題解決的一般性方法，讓呈現(xiàn)出來的“文字說明、證明過程或演算步驟”具有“普適性”.

源于解題的需要，基于題型的不同，特殊值法應(yīng)學(xué)生之需求而生.但是特殊值法的特殊性決定了其應(yīng)用的特殊性，用好了能推動問題解決在便捷的路徑上行進，而一旦濫用，用特殊情形代替了一般狀況，結(jié)論的推證會出現(xiàn)漏洞，數(shù)學(xué)的結(jié)論就會缺失，這樣的應(yīng)用是不利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹性的.為此，我們應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生辨證地認識特殊值法，弄清什么樣的題目能用，什么樣的題目不能用.對于能用特殊值法的題目，還要讓他們弄清在什么時候取值合適，取什么樣的數(shù)值對問題解決最有利.嚴(yán)格意義上講，特殊值法的應(yīng)用是“可遇而不可求”的，在教學(xué)中，一旦遇到絕不回避，該用的就用，不僅要用到位，還要講清楚，讓學(xué)生明明白白地用.要將特殊值法與一般解法同步呈現(xiàn)，一方面讓學(xué)生知道特殊值法的便捷所在，便于他們在今后解題中合理選擇解題方法；另一方面，要結(jié)合題型進行解法指導(dǎo)，避免學(xué)生對特殊值法的過度使用，造成不必要的失誤.總之，特殊值法的應(yīng)用應(yīng)緊扣題目的特點，有選擇地使用，以“適時、適題、便捷”為應(yīng)用目標(biāo)，絕不能為了應(yīng)用而應(yīng)用.優(yōu)選優(yōu)用，方能成效顯著！

以上不當(dāng)之處，敬請批評指正！

1.劉德福.一個公式的拓展及應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2008（1）.

2.李鑫，王凱旋.也談反比例函數(shù)中的不變性問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2011（12）.Z