☉江蘇省南京市第二十九中學(xué) 徐賢成

扣境聯(lián)想開放設(shè)問分層展示
——一道函數(shù)圖像信息題的教學(xué)歷程及感悟

☉江蘇省南京市第二十九中學(xué) 徐賢成

在近幾年各地的中考試卷中，函數(shù)圖像信息題一直是考試的熱點.此類試題一般取材于人們的生產(chǎn)生活，以實際情境為背景，通過設(shè)置豐富的文字信息和圖像信息，考查學(xué)生運用函數(shù)的知識分析和解決問題的能力.由于試題具有豐富的實際情境和復(fù)雜的信息來源，對學(xué)生收集、整理和加工有效解題信息的能力要求很高.面對此類試題，很多學(xué)生無法從所給出的條件中捕捉到指向解題目標的信息，整理和加工的信息與解題目標關(guān)聯(lián)不大，導(dǎo)致無法給出正確的解題過程.為了幫助學(xué)生突破這一困境，筆者近期設(shè)計了一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，通過一道函數(shù)圖像信息題的教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生展開聯(lián)想，挖掘解題素材；自主設(shè)問，設(shè)計解題目標；分層展示，感知問題關(guān)聯(lián)，為學(xué)生化解此類試題建構(gòu)出了一條行之有效的思維路徑.現(xiàn)就呈現(xiàn)這道例題的教學(xué)歷程，并談一些個人的感悟，希望能給你帶來啟發(fā).

一、一道函數(shù)圖像信息題的教學(xué)歷程

（一）例題設(shè)計與分析

題干：周末，小明騎自行車從家里出發(fā)到野外郊游，從家出發(fā)1小時后達南亞所（景點），游玩一段時間后按原速前往湖光巖.小明離家1小時50分鐘后，媽媽駕車沿相同的路線前往湖光巖，如圖1是他們離家的路程y（km）與小明離家時間x（h）的函數(shù)圖像.媽媽在出發(fā)25分鐘后，剛好在湖光巖門口追上小明.

目標問題：求媽媽駕車的速度及CD所在直線的函數(shù)解析式.

圖1

設(shè)計意圖：本題改編自2013年廣東湛江卷第25題，是一道一次函數(shù)的綜合題.為了培養(yǎng)學(xué)生捕捉有效解題信息的能力，筆者將原題中的主要信息保留了下來，依然讓行程問題與一次函數(shù)、方程等知識結(jié)合在一起.為了凸顯例題的綜合導(dǎo)向作用，改編時，刪去了原題第（1）題“求小明騎車的速度和在南亞所游玩的時間”，將原題的第（2）題預(yù)設(shè)為本題的“目標問題”.要想順利解決這個問題，學(xué)生必須先理清函數(shù)圖像的意義，從情境中剝離出有效的數(shù)量關(guān)系，這正是本節(jié)課探究的重點和難點，也是這道例題的教學(xué)價值所在.

（二）例題教學(xué)歷程

1.扣境聯(lián)想

（教師投影例題“題干”）

教師：請認真讀題，從文字和圖1中盡可能多地梳理出題中蘊含的信息，然后在學(xué)習(xí)小組中交流.

（學(xué)生讀題，并在學(xué)習(xí)小組中交流各自捕捉到的信息，3分鐘后，小組交流結(jié)束）

教師：說說你們獲得的信息.

學(xué)生1：我找到了三個點的坐標A（1，20），B（2，20），

教師：很好！你從圖像中直接讀出這些點的坐標，這對我們解題很重要.還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生2：我發(fā)現(xiàn)圖像中的線段OA表示的是“小明從家出發(fā)1小時后達南亞所”；AB表示的是“小明游玩一段時間”；BC表示的是“小明原速前往湖光巖”；DC表示的是“媽媽駕車沿相同的路線前往湖光巖”.

教師：哦！你已經(jīng)將圖像信息和文字信息對應(yīng)起來了，真好！說說你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

學(xué)生3：（結(jié)合投影）根據(jù)題意，y（km）表示的是“小明和媽媽離家的路程”，x（h）表示的是“小明離家的時間”.小明在南亞所游玩這段時間離家的距離是不會變化的，所以，我斷定線段AB表示的就是小明在南亞所游玩的時段.因此，線段OA表示的就是“小明從家出發(fā)1小時后達南亞所”，BC表示的是“小明原速前往湖光巖”.媽媽是在小明出發(fā)1小時50分鐘后才出發(fā)的，從點D的坐標可以看出DC表示的是“媽媽駕車沿相同的路線前往湖光巖”.

教師：你說得真好！這樣一來，圖像與文字就緊密聯(lián)系在一起了.你們還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生4：我知道小明1小時騎行了20km.

教師：是嗎？

學(xué)生5：是的.線段OA的“起點”是（0，0），“終點”是（1，20），也就是小明花1小時的時間走了20km.

學(xué)生6：結(jié)合文字信息“游玩一段時間”和圖像中的線段AB，我發(fā)現(xiàn)小明在南亞所玩了1個小時.

教師：對的.還有其他信息補充嗎？

學(xué)生7：媽媽在出發(fā)一段時間后追到了小明.

教師：你從哪里看出來的？

學(xué)生8：圖像中線段DC和線段BC有交點C，這個交點說明此時媽媽與小明離開家的距離是一樣的.

教師：你們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生9：線段DC比線段OA、BC都“陡”，所以媽媽駕車行駛的速度比小明騎車的速度要快.

學(xué)生10（有點猶豫）：我感覺圖中的OA與BC是平行的.

教師：是嗎？能說說理由嗎？

學(xué)生11：我的感覺是平行的.所以，我用作平行線的方法檢驗了一下，兩條線段確實是平行的.

學(xué)生12（迫不及待）：我發(fā)現(xiàn)題目中有一句話告訴我們這兩條線段的平行關(guān)系了！

教師：哪一句？

學(xué)生13：“游玩一段時間后按原速前往湖光巖”，這句話中的“按原速”就說明小明在兩段路上騎行的速度是一樣的，所以，這兩條線段是平行的！

教師：非常棒！大家的表現(xiàn)都非常出色，你們從文字和圖像中找出了這么多信息，這些信息對我們解題是很有幫助的！

2.開放設(shè)問

學(xué)生活動：根據(jù)上述題干，提一個自己能解答的數(shù)學(xué)問題.

經(jīng)過短暫的思考，學(xué)生陳述各自的問題，教師板書.具體問題如下：

問題1：求OA的解析式.

問題2：求BC的解析式.

問題3：求CD的解析式.

問題4：求小明騎車的速度.

問題5：求媽媽開車的速度.

問題6：媽媽追到小明時，媽媽行駛的路程是多少？

問題7：小明離開南亞所騎行了多遠后被媽媽追到？

問題8：求媽媽追到小明時，小明騎行的總路程.

問題9：小明在南亞所游玩了多長時間？

問題10：媽媽追上小明時，小明離家多長時間？

3.分層展示

在學(xué)生設(shè)問結(jié)束后，教師將學(xué)生設(shè)計的問題分為了三級：

A級：問題1，問題4，問題9，問題10.

B級：問題2，問題6，問題8.

C級：問題3，問題5，問題7.

學(xué)生活動：請從A，B，C三級問題中選擇一個能解答的問題，給出完整的求解過程，并到對應(yīng)交流區(qū)中展示交流.（說明：課前，教師根據(jù)本班學(xué)情在教室內(nèi)設(shè)置了2個A級問題交流區(qū)，4個B級問題交流區(qū)和2個C級問題交流區(qū)，每個區(qū)域可安排下6名同學(xué)）

學(xué)生自主解答，6分鐘后，學(xué)生分別到預(yù)設(shè)的對應(yīng)問題交流區(qū)中進行交流.5分鐘后，學(xué)生交流結(jié)束.

（1）A級展示.

教師：接下來，我們進行全班展示，先請解答A級問題的同學(xué)來展示你們的解題成果.

學(xué)生1：我選擇的是問題1，通過讀圖，我找到了線段OA的“起點”（0，0），“終點”（1，20）.用待定系數(shù)法，可以直接求到OA的解析式為y=20x.

（根據(jù)學(xué)生的回答，教師板書：y=20x）

學(xué)生2：我也是解答的問題1，我認為結(jié)論中還要加上x的范圍0≤x≤1.

教師：很好（板書：0≤x≤1），加上范圍結(jié)果更完美！

學(xué)生3：從剛才獲得的信息中，我已經(jīng)知道了小明騎車的速度為20km/h，小明在南亞所游玩的時間是1小時.問題4和問題9，只要將圖像和文字結(jié)合起來，就能給出答案.這兩個問題我一下子就解決了！

學(xué)生4：問題10，我來說一下吧！從圖像上不難發(fā)現(xiàn)，“小明從家出發(fā)到被媽媽追上用去的時間”實際上就是點C的橫坐標.所以，根據(jù)題意列式，這樣點C的橫坐標就是了！

教師：你們真棒，你們的交流給B級問題的解答打下了很好的基礎(chǔ).接下來的交流，將會建立在你們的這些成果之上！

（2）B級展示.

學(xué)生5：我做的是問題2.但我先解決了問題8，根據(jù)小明用的總時間和速度，我先求出了小明離開家的總路程，也就得出了C點的縱坐標.我是這樣列式的，（邊說邊板書）.所以，點C的坐標為接下來，直接用待定系數(shù)法就可以直接求出BC的解析式

學(xué)生6：我正好和你相反，我是先求出BC的解析式，然后得出問題8的結(jié)果.根據(jù)“OA∥BC”，設(shè)BC的解析式為y=20x+b，將點B的坐標（2，20）代入求得b=-20.然后，根據(jù)解析式將點C的橫坐標代入進去，可得媽媽追到小明時，小明騎行的總路程為25km.事實上，這也是問題6的結(jié)果.

教師：非常棒！抓住圖像中OA與BC的位置關(guān)系，你一下子就將B級中的三個問題都解答了！你的表現(xiàn)真是太出色了！

（3）C級展示.

學(xué)生7：我來說說C級問題吧！我感覺C級的這三個問題只是B級問題的自然延續(xù).問題7，只要用從小明的總行程25km中將他從家到南亞所所行的路程20km減掉就行了；問題3，點C和點D的坐標都知道了，只要用待定系數(shù)法求一下就行了；問題5，媽媽開車的速度，用媽媽駕車行駛的路程除以用去的時間就行了=60（千米/小時）.

教師：這么簡單？你太牛了！其他同學(xué)也來談?wù)劙桑?/p>

學(xué)生8：是這樣的！實際上我在解題時，也是先分別化解了問題4和問題8后，再去解答問題3的.

學(xué)生9：我覺得問題7難度不大，不需要這么做.我們已經(jīng)知道了小明騎車的速度為20km/h，直接用“速度×?xí)r間”就行了，也就是

教師：看來老師將這個問題想得難了！嗯，不錯！

學(xué)生10：老師，我感覺在有了前面的大量信息之后，今天我解題特別順.我先根據(jù)點O和點A的坐標解決了問題1，然后根據(jù)“OA∥BC”和點B的坐標解答了問題2，利用問題2的結(jié)論我求出了點C的坐標，結(jié)合D點的坐標，解決了問題3.這個過程，真的太順了！

（4）展示小結(jié).

教師：同學(xué)們，你們都有這樣的感覺嗎？

學(xué)生11：我也有這樣的感覺！我原來想解決A級問題的，但在分析后發(fā)現(xiàn)這些問題都很簡單.最后我選擇了問題6，現(xiàn)在看來，我還能再向前走一步，可以試著解決C級中的問題5.

學(xué)生12：我也是！我在解決好問題10后，發(fā)現(xiàn)問題4我也會，我也直接給出了答案.再看看，問題7不是很簡單嗎？我直接列出了得出了結(jié)果.

教師：看來，你們又進步了！這給你解決此類問題帶來什么啟示呢？

學(xué)生13：我感覺只要認真審題，將文與圖對應(yīng)起來，這類問題的解決還是很簡單的.

學(xué)生14：文圖呼應(yīng)確實十分重要，只有能從文字和圖像中捕捉到有效的解題信息，才能很好地解決此類問題.

學(xué)生15：我感覺此類考題的問題綜合性較強，在解答時，要將這些問題變小、變細，這樣便于從圖像與文字中有針對地獲取信息.

教師：大家說得真好！事實上，化解函數(shù)圖像信息題，審題是最重要的，只有能從文字與圖像中獲取到對解題有用的信息，并將這些信息與解題目標進行了準確關(guān)聯(lián)，我們才可能找到有效的問題解決路徑.希望今天的學(xué)習(xí)能給大家解決此類問題提供幫助！

二、幾點感悟

1.扣境聯(lián)想，文圖呼應(yīng)，打通獲取信息的渠道

函數(shù)圖像信息題的問題背景十分豐富，最常見的有行程問題、工程問題、利潤問題、面積問題等.這類試題一般會從文字和圖像兩個角度給出緊貼實際生活的信息，這些生活化的信息，為學(xué)生獲取有效的解題途徑設(shè)置了“障礙”.要想順利化解這些問題，學(xué)生不僅要讀懂問題情境，從情境中捕獲有用的信息，還要能知道具體情境中的數(shù)量關(guān)系，并運用這些信息和關(guān)系建構(gòu)出方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型.顯然，這對學(xué)生剖析情境、捕捉信息的能力提出了很高的要求.因此，我們應(yīng)將提升信息獲取能力作為此類例題教學(xué)的一個重要任務(wù).為了完成這一教學(xué)任務(wù)，筆者常讓學(xué)生圍繞所給問題情境“展開聯(lián)想”，將文字和圖形鏈接起來，形成與解題目標息息相關(guān)的個性化信息.以上面的案例為例，呈現(xiàn)例題“題干”后，筆者提出了“要求學(xué)生認真審題，結(jié)合所給的文字信息和圖像信息‘盡可能多地梳理出有用的信息’”的活動要求.學(xué)生在歷經(jīng)觀察、閱讀、思考、交流等諸多環(huán)節(jié)后，生成了符合要求的“海量”信息，這些信息將情境中的文字和圖像有機整合到一起，形成了較為完整的信息鏈，為解題思路的生成打下了堅實的基礎(chǔ).從學(xué)生呈現(xiàn)信息的過程來看，他們捕捉信息的過程，實際上也是將信息關(guān)聯(lián)、感知題中蘊含等量關(guān)系的過程.這樣的“聯(lián)想”經(jīng)歷，讓圖形與文字準確呼應(yīng)，打通了學(xué)生獲取信息的渠道，掃清了自主設(shè)問、自主解答和分層展示的“障礙”.

2.開放設(shè)問，微化問題，培養(yǎng)小步快走的習(xí)慣

解答圖像信息題，和工廠的成品拼裝是一樣的，都要經(jīng)歷一個“積聚”的過程.函數(shù)圖像信息題綜合性很強，要想化解終極問題，必須先解決一個又一個簡單的“中間”問題.只有解決這些問題，才能實現(xiàn)與目標問題關(guān)聯(lián)的結(jié)果的不斷積聚，得出想要的結(jié)果.因此，在教學(xué)中，我們特別關(guān)注綜合問題的細小化、微觀化，讓綜合型問題轉(zhuǎn)化為若干個單一問題，轉(zhuǎn)化為走向終極目標的一個個小問題.為了培養(yǎng)學(xué)生問題微化的能力，筆者常用“開放設(shè)問”的方法.即讓學(xué)生根據(jù)獲得信息，針對所給出的問題情境提出自己能夠解決的“中間”問題.這樣的設(shè)問，讓情境、信息、問題融合在一起.學(xué)生在提出問題的過程中，個性化的解題思路會隨之逐步完善并最終生成.在筆者的這道例題教學(xué)中，從數(shù)量上看，學(xué)生一共設(shè)計了十個問題；從質(zhì)量上看，十個問題直接指向了這道例題的“目標問題”.正是這樣的設(shè)問，為“目標問題”的解決搭建了一級又一級的“小臺階”，拾階而上化解問題自然在情理之中了.開放設(shè)問和問題微化的教學(xué)歷程，讓學(xué)生充分體會到解題成果不斷“積聚”的快樂，在“小步快走”的解題歷程中領(lǐng)悟著“積跬步至千里”的深刻內(nèi)涵.這樣的設(shè)問歷程，他們獲得的不只是知識，還有能力和良好的解題習(xí)慣.

3.分層展示，關(guān)聯(lián)融合，樹立問題解決的信心

和其他數(shù)學(xué)問題一樣，學(xué)生在函數(shù)圖像信息題的解答上，也存在著很大的差異，解題過程的呈現(xiàn)和解題結(jié)果的獲得差異較大.有些同學(xué)的形象思維與抽象思維俱佳，能通讀試題，一解到底；有些同學(xué)能形象地看，但卻不能抽象地想，讀懂了圖像，忽略了文字，能解答的只是與圖像有關(guān)的問題；有些同學(xué)只能抽象地想，而無法形象地看，讀懂了文字卻錯過了圖像，與圖像無關(guān)的問題解起來得心應(yīng)手.這樣的思維差異，讓他們呈現(xiàn)出的解題過程存在著明顯的梯度.在教學(xué)中，我們應(yīng)尊重這種梯度，運用好這種梯度，讓每一名學(xué)生都學(xué)有所獲.“分層求解，分層展示”是筆者在教學(xué)中用好這一梯度的具體體現(xiàn).具體來說，就是學(xué)生選擇自己能夠解決的問題解答，并在搭建好同級平臺上展示交流.問題的分層與交流對象的分層，讓學(xué)生間的交流顯得十分融洽，也讓交流更具探究的味道.當然，我們不僅要重視小組內(nèi)的交流，還要讓學(xué)生在全班進行交流，讓每一個問題都有“美麗綻放”的機會.為了保證全班交流的效果，我們一般從最容易的問題（即案例中的A級問題）開始展示，讓容易題的解題成果成為難題展示交流的基礎(chǔ).這樣的展示交流，一方面將知識之間、問題之間進行了關(guān)聯(lián)融合，有助于學(xué)生獲取解答此類問題的個性化經(jīng)驗；另一方面，讓解決容易題（A、B級問題）的同學(xué)感知到自己解題的價值，樹立起化解此類問題的信心.顯然，這樣的分層展示對教學(xué)、對學(xué)生都是有益的！

1.李東.例說一次函數(shù)圖像信息題的破解策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（4）.

2.印冬建.緊扣主線分層設(shè)例——“不等式與不等式組”復(fù)習(xí)課例題設(shè)計與教學(xué)感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（7）.H