☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

數(shù)學(xué)課堂中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)路徑的再思考*

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

筆者曾以“從激活到升華：積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基本路徑［1］”為題，并以“相似三角形的條件（4）”為例，“從積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的視角來研究課堂教學(xué)的基本路徑，將初中數(shù)學(xué)課堂分為經(jīng)驗(yàn)激活、經(jīng)驗(yàn)積累、經(jīng)驗(yàn)遷移與經(jīng)驗(yàn)升華等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的四個(gè)層次”，以課堂觀察者的角度談了自己的粗淺認(rèn)識(shí).俗話說，百聞不如一見，百見不如一做.2015年3月25日，在江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室“教學(xué)新時(shí)空——名師課堂”直播活動(dòng)中，筆者也執(zhí)教了同樣的課題，并以這節(jié)課為載體，以“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：從激活到升華”為主題，與幾位專家和網(wǎng)友進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)研討.通過自身的教學(xué)實(shí)踐，經(jīng)歷與幾位專家、網(wǎng)友的研討過程，筆者對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了新的感悟，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的意義、對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力發(fā)展中的作用有了更深刻的理解.

本文擬從研討主題的選擇緣由、課堂教學(xué)中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的路徑，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱男抡J(rèn)識(shí)，并對(duì)“經(jīng)驗(yàn)激活”環(huán)節(jié)談?wù)勛约旱脑偎伎?

一、關(guān)于研討主題的選擇

關(guān)于主題的選定，筆者基于三個(gè)方面的考慮.有課標(biāo)理念的考慮，有學(xué)生認(rèn)知的考慮，也有課堂教學(xué)方面的考慮.

1.從課標(biāo)理念層面考慮

杜威認(rèn)為：教育就是經(jīng)驗(yàn)的改造或改組.人的成長(zhǎng)過程是基于已有經(jīng)驗(yàn)，不斷獲得新經(jīng)驗(yàn)、積累新經(jīng)驗(yàn)的過程.2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）［2］首次提出了“四基”的要求，把基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想放在同等重要的位置.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，“經(jīng)驗(yàn)”一詞在“課程標(biāo)準(zhǔn)”中出現(xiàn)了42處.著名教育教學(xué)論專家裴娣娜在談到“經(jīng)驗(yàn)”時(shí)說，人如果只有知識(shí)，沒有經(jīng)驗(yàn)是不完整的.人的知識(shí)總是從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，在活動(dòng)中建構(gòu)；方法、思想在活動(dòng)中感悟，而經(jīng)驗(yàn)也在活動(dòng)過程中積累、內(nèi)化、升華.史寧中認(rèn)為：數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括兩個(gè)方面，一個(gè)是“實(shí)踐活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)”，一個(gè)是“思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)”.積累“思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一項(xiàng)重要目標(biāo)，如何在課堂教學(xué)中落實(shí)這個(gè)目標(biāo)，是值得大家思考的問題.

2.從學(xué)生認(rèn)知角度考慮

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的順利進(jìn)行有著十分重要的作用.不管是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，還是數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)觀念的形成，都會(huì)受到學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的影響.學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可能會(huì)促進(jìn)學(xué)生更加高效地積累新的、更高層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，快速地理解掌握新的知識(shí).但是學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也有可能干擾甚至阻礙學(xué)生新的更高層次的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，造成對(duì)新知識(shí)的錯(cuò)誤理解.如何在課堂教學(xué)中發(fā)揮學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的積極作用，值得我們實(shí)踐與反思.

3.從數(shù)學(xué)教學(xué)角度考慮

很多一線教師對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練、基本思想方法的滲透都有自己的思考，談起經(jīng)驗(yàn)來也是如數(shù)家珍，但當(dāng)談到如何將數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)落到實(shí)處時(shí)，卻出現(xiàn)了不少的疑問與困惑：一是過程性問題，即數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累應(yīng)該是怎樣的過程；二是合理性問題，即在具體的教學(xué)過程中，安排怎樣的活動(dòng)才能有利于學(xué)生獲得經(jīng)驗(yàn)；三是差異性問題，即同一個(gè)活動(dòng)不同學(xué)生活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)有什么不同；四是思維性問題，即如何在“做”的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生通過“思考”獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這些都值得初中數(shù)學(xué)教師去思考.

基于以上原因，筆者將活動(dòng)主題確定為“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：從激活到升華”.

二、課堂教學(xué)中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的路徑新認(rèn)識(shí)

文1將基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課堂分為經(jīng)驗(yàn)激活、經(jīng)驗(yàn)積累、經(jīng)驗(yàn)遷移和經(jīng)驗(yàn)升華四個(gè)環(huán)節(jié).在課堂教學(xué)中，筆者將原有的環(huán)節(jié)調(diào)整為：（1）激活經(jīng)驗(yàn)，提出猜想；（2）探索猜想，積累經(jīng)驗(yàn)；（3）運(yùn)用新知，內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)；（4）反思建構(gòu)，升華經(jīng)驗(yàn)四個(gè)環(huán)節(jié)，同時(shí)優(yōu)化、豐富了四個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)涵.即通過問題串激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，并在問題類比中提出猜想，接著通過探索活動(dòng)來積累經(jīng)驗(yàn)，再通過知識(shí)運(yùn)用來內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)，最后通過學(xué)生自主反思建構(gòu)來升華經(jīng)驗(yàn).四個(gè)環(huán)節(jié)逐步遞進(jìn)、螺旋上升，每個(gè)環(huán)節(jié)都有不可或缺的作用.

1.激活經(jīng)驗(yàn)，提出猜想

首先，筆者設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單問題：

如圖1，在△ABC中，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接MN.△AMN與△ABC相似嗎？為什么？

學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)的活動(dòng)中，自主構(gòu)建得到了三種不同證法：①由三角形兩邊的中點(diǎn)聯(lián)想到三角形中位線的平行功能和平行線截相似三角形，激活出“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交”的模型得到了證法1；②由三角形兩邊的中點(diǎn)聯(lián)想中點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合公共角，激活出“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形”的模型得到了證法2；③由三角形兩邊的中點(diǎn)聯(lián)想到三角形中位線的平行功能和平行線的性質(zhì)，激活出“兩角相等的兩個(gè)三角形”的模型得到了證法3.通過問題的解決，復(fù)習(xí)了三角形相似已有的三種判定方法，激活了學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn).

其次，設(shè)計(jì)了如下的問題串.

問題1：上面的3種思路實(shí)際上是我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“說明三角形相似”的3種條件，請(qǐng)誰再說一遍？

問題2：三角形相似的判定與我們學(xué)過的什么知識(shí)類似？判定2、3分別對(duì)應(yīng)于什么？

問題3：一般三角形全等的判定還有什么定理？

問題4：你能否類比三角形全等的“SSS”，猜想三角形相似判定的類似結(jié)論嗎？

圖1

通過問題串，在進(jìn)一步激活學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比聯(lián)想得出“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”.問題2引導(dǎo)學(xué)生類比聯(lián)想全等三角形的判定定理與對(duì)應(yīng)的相似三角形的判定定理，由三角形全等的兩種判定方法，縱向聯(lián)想到三角形全等的第三種判定方法，進(jìn)而得到問題3；由于經(jīng)驗(yàn)得到激活，學(xué)生自然會(huì)進(jìn)行橫向聯(lián)想得到問題4，由全等的“SSS”類比猜想到“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”的新結(jié)論，從而利用類比的方法探索新知的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到了進(jìn)一步提升.

文1中的案例的經(jīng)驗(yàn)激活過程僅僅通過對(duì)簡(jiǎn)單問題的一題多證的活動(dòng)，激活學(xué)生已有的“三角形相似的三個(gè)判定”經(jīng)驗(yàn)，為探究“三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”作鋪添.而本案例的設(shè)計(jì)在原有經(jīng)驗(yàn)激活基礎(chǔ)上，通過已有的數(shù)學(xué)結(jié)論類比出新的猜想，提出新的問題.這種基于認(rèn)知的思想滲透、思維發(fā)展式的安排更為合理.

2.探索猜想，積累經(jīng)驗(yàn)

探索猜想、積累經(jīng)驗(yàn)的過程是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)發(fā)展過程中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，這個(gè)過程將文1所述的經(jīng)驗(yàn)積累、經(jīng)驗(yàn)遷移與經(jīng)驗(yàn)升華三個(gè)環(huán)節(jié)一并納入“探索猜想積累經(jīng)驗(yàn)”環(huán)節(jié)，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的個(gè)體性（差異性）和遷移性特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐.

（1）差異性是經(jīng)驗(yàn)積累的顯著特征.

經(jīng)驗(yàn)是個(gè)體的主觀認(rèn)識(shí)，而每個(gè)人的認(rèn)知基礎(chǔ)不同，不同的人對(duì)同一問題的理解也不盡相同.例如，為了探索“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”這個(gè)猜想的正確性，學(xué)生按照自己的經(jīng)驗(yàn)，自主建構(gòu)對(duì)這一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的理解，有的從合情推理的角度，試圖通過畫特殊圖形來驗(yàn)證；有的從演繹推理的角度，試圖用推理來證明.在探索猜想的證明途徑時(shí)，直接證明△ABC∽△DEF有困難，學(xué)生又以原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，建構(gòu)出將證明三角形相似轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的策略，從而把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題；在“邊邊邊”相似定理的證明過程中，對(duì)于相似比為2這一特殊情況證明思路的探索，學(xué)生依據(jù)自己原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，可得到多樣化解決方法：一是取AB的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N；二是分別取AB、AC的中點(diǎn)M、N，連接MN（如圖2）；三是延長(zhǎng)A′B′到點(diǎn)D，使A′D= AB，過點(diǎn)D作DE∥B′C′交A′C′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；四是分別延長(zhǎng)A′B′、A′C′到點(diǎn)D、E，使A′D=AB，A′E= AC，連接DE（如圖3）.不同學(xué)生經(jīng)歷同一數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，獲得解決問題的不同經(jīng)驗(yàn).

圖2

因此，我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體特征，根據(jù)不同學(xué)校、不同班級(jí)、不同層次學(xué)生的不同感悟和體驗(yàn)，制定多樣化的學(xué)習(xí)活動(dòng)方案，使不同的學(xué)生獲得切合自己的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到“大家不同、大家都好”的效果.

（2）遷移性是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一把雙刃劍.

遷移性是經(jīng)驗(yàn)的另一個(gè)顯著特點(diǎn).經(jīng)驗(yàn)的遷移分為正遷移與負(fù)遷移.所以經(jīng)驗(yàn)遷移是一把雙刃劍.在教學(xué)過程中要強(qiáng)化正遷移，減少負(fù)遷移.

在第二個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者從探究思路、證明方法兩個(gè)方面充分發(fā)揮正遷移的積極作用.一是探究思路的遷移：前面探索兩個(gè)三角形相似的條件時(shí)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了作圖（相似比為2）—檢驗(yàn)再作圖（相似比為k）—再檢驗(yàn)的活動(dòng)過程，初步積累了探究?jī)蓚€(gè)三角形相似的條件的經(jīng)驗(yàn)，這節(jié)課教者充分利用學(xué)生的這些經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生定量感知判定三角形相似的新條件——三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；二是證明方法的遷移：直接證明△ABC∽△A′B′C′有困難，教者著力引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想借鑒“問題2”的思路，將證明方法遷移過來，通過作平行線構(gòu)建橋梁來溝通△ABC與△A′B′C′的關(guān)系，即把要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，完成了從定量到定性證明相似三角形判定新定理的任務(wù).

圖3

3.運(yùn)用新知，內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)

陶淵明在《飲酒》中寫道：此中有真意，欲辨已忘言.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)常會(huì)給人“只可意會(huì)，不可言傳”的心理感受.我們都有過這樣的經(jīng)歷，在解決某個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，一看題目就會(huì)做，但問是怎么想到的，有時(shí)卻難以表達(dá).這就是經(jīng)驗(yàn)的又一個(gè)特點(diǎn)——內(nèi)隱性.原來四個(gè)板塊只限于定理的探索的四個(gè)過程，但知識(shí)運(yùn)用過程就是經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化的過程.

在探索“邊邊邊”相似條件定理的證明時(shí)，學(xué)生“過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N”，這是學(xué)生自然的行為，什么原因促使學(xué)生這么做？學(xué)生或許缺乏思考，這里實(shí)際上就是前面證明“角角”判別法、“邊角邊”判別法中，添加輔助線的經(jīng)驗(yàn)在學(xué)生潛意識(shí)里發(fā)揮作用.再如“邊邊邊”相似條件定理的證明，學(xué)生能夠想到從相似比是2的情形開始，就是源于學(xué)生潛意識(shí)中長(zhǎng)期積累起來的從特殊到一般研究問題的經(jīng)驗(yàn)使然.由此可見，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)很多都是內(nèi)隱的.

教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)努力使隱性的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)顯性化，才能將經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為可觀察的、可落實(shí)的、可檢測(cè)的數(shù)學(xué)能力.一方面，通過探索，學(xué)生感受到了猜想的正確性，但這還是內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)，此時(shí)必須明確：以后應(yīng)該作為定理直接運(yùn)用，證明相似又多了一種方法；另一方面，學(xué)生對(duì)定理的外延、內(nèi)涵是否真正理解與掌握，就必須通過關(guān)聯(lián)、辨析、變式三種途徑內(nèi)化新經(jīng)驗(yàn).

（1）通過知識(shí)之間的聯(lián)系來內(nèi)化.

比如直線、射線、線段的教學(xué)中，通過比較它們之間的聯(lián)系與區(qū)別來內(nèi)化知識(shí).如通過一元一次方程與一元一次不等式的解法的比較，來內(nèi)化一元一次不等式相關(guān)知識(shí).憑借學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，注意知識(shí)之間的聯(lián)系，強(qiáng)化對(duì)新知識(shí)、新經(jīng)驗(yàn)的理解，更有益于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì).

（2）通過知識(shí)與方法的辨析來內(nèi)化.

例如，在本節(jié)課的經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化環(huán)節(jié)中，筆者安排了如下一個(gè)例題.已知△ABC的三邊分別為AB=4cm，BC= 6cm，AC=8cm.根據(jù)下列條件，判斷△DEF與△ABC是否相似，并說明理由：

①DE=12cm，EF=18cm，DF=24cm；

②DE=14cm，EF=9cm，DF=6cm.

①中兩個(gè)三角形是相似的，而②中兩個(gè)三角形是不相似的.通過這個(gè)反例讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)判定相似三角形新方法的理解.再如，在深化有理數(shù)乘方的概念的理解時(shí)，我們可以安排一個(gè)辨析活動(dòng)，讓學(xué)生探索有括號(hào)與沒有括號(hào)、有分?jǐn)?shù)線與沒有分?jǐn)?shù)線的區(qū)別，通過這個(gè)辨析來強(qiáng)化學(xué)生對(duì)底數(shù)為負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)時(shí)書寫注意點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生對(duì)有理數(shù)乘方的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)得到內(nèi)化提升.教學(xué)中要通過對(duì)相似、相近、易混淆知識(shí)的辨析對(duì)比，幫助學(xué)生弄清內(nèi)涵、明確外延、揭示特征、理解本質(zhì)，內(nèi)化所獲得的新經(jīng)驗(yàn).

（3）通過問題的變式與解決內(nèi)化.

如例2（教材的例5），如圖4， E是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，

圖4

（1）∠1與∠2相等嗎？為什么？

（2）判斷△ABE與△ACD是否相似，并說明理由；

（3）如圖5，若點(diǎn)B、E、D在同一條直線上，BD與AC相交于點(diǎn)F，圖中還有哪些三角形相似？

圖5

本題是課本例題、習(xí)題的整合改編，采用強(qiáng)化條件、擴(kuò)充結(jié)論的一般到特殊的演變方法.（1）的解決是剛剛獲得的判定兩個(gè)三角形相似的經(jīng)驗(yàn)——邊邊邊判定法的直接運(yùn)用，同時(shí)也是前面學(xué)習(xí)的判定兩個(gè)三角形相似的經(jīng)驗(yàn)——邊角邊判別法的內(nèi)化運(yùn)用；（2）的解決是前面所學(xué)的知識(shí)、積累的經(jīng)驗(yàn)的綜合運(yùn)用，不僅要判定是否相似，還要進(jìn)行方法的選擇與優(yōu)化，對(duì)于初學(xué)習(xí)相似三角形知識(shí)的學(xué)生而言，具有一定的難度，留給學(xué)生課后思考；（3）進(jìn)一步特殊化，利用已經(jīng)證明了的相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，轉(zhuǎn)化得到結(jié)論，問題的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化指向.

通過問題解決能否內(nèi)化知識(shí)還取決于問題的設(shè)置，所設(shè)計(jì)的問題要具備四個(gè)特征.一是關(guān)聯(lián)性，所選擇的內(nèi)容與所學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)，即緊扣本節(jié)課的知識(shí)目標(biāo)；與教材關(guān)聯(lián)，即理解教材、用好教材；與學(xué)生認(rèn)知關(guān)聯(lián)，即要符合學(xué)情.二是層次性，即分層設(shè)計(jì)，既要有基本題，也要有中檔題，還要有變式拓展提高的能力題.三是生成性，這是知識(shí)、能力、情感態(tài)度和價(jià)值觀等方面的追求.四是思想性，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，例題、習(xí)題的選擇和設(shè)計(jì)要注意包含數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

4.反思建構(gòu)，升華經(jīng)驗(yàn)

寫作中有一個(gè)“鳳頭豬肚豹尾”的說法，一節(jié)數(shù)學(xué)課的結(jié)束部分猶如文章的結(jié)尾，尾收得好就是畫龍點(diǎn)睛，否則效果就適得其反.文1的“經(jīng)驗(yàn)升華”過程僅限于猜想結(jié)論的一般化證明，這里將原有“經(jīng)驗(yàn)升華”環(huán)節(jié)賦予了新的內(nèi)涵，通過學(xué)生的自主反思、自主建構(gòu)，將探索獲得的新經(jīng)驗(yàn)上升為內(nèi)在的、穩(wěn)定的知識(shí)、方法和思想，同時(shí)引發(fā)新的問題、新的思考.

（1）在反思中建構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

問題1（你學(xué)到了什么知識(shí)？）和問題2（你掌握了哪些判定三角形相似的方法？）的目的是幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，讓學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)化；問題3（通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道探究問題的路徑是什么？）的目的是幫助學(xué)生進(jìn)行探索新知思路的歸納，在這個(gè)過程中提煉方法、思想、策略，如類比思想、轉(zhuǎn)化思想、從特殊到一般與從一般到特殊思想等.這個(gè)環(huán)節(jié)的獨(dú)特之處在于：突破了一些課堂小結(jié)中的提問泛、大、空的局限性，通過知識(shí)、方法、路徑、思想等幾個(gè)問題串，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行反思建構(gòu)，不僅讓學(xué)生從知識(shí)、技能方面談收獲，而且要從方法、經(jīng)驗(yàn)方面談感悟，使學(xué)生的認(rèn)知水平得到提升，經(jīng)驗(yàn)得以升華，問題更具體、指向更明確.

（2）在引導(dǎo)中提出質(zhì)疑.

好的數(shù)學(xué)課結(jié)尾還有一個(gè)重要的功能，那就是引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，生成新的問題，讓學(xué)生帶著問題走出課堂，讓課堂回味無窮，也為下一節(jié)課做好鋪墊，這是課堂的魅力所在.本節(jié)課教材練習(xí)第2題：如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0）、B（4，0）、C（0，4），將各頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘2，得相應(yīng)的點(diǎn)A′、B′、C′的坐標(biāo).

（1）畫出△A′B′C′；

圖6

（2）△A′B′C′與△ABC相似嗎？為什么？

在反思建構(gòu)后，筆者提出了這樣一個(gè)問題供學(xué)生課后思考：

在網(wǎng)格內(nèi)以C′（0，8）為頂點(diǎn)畫一個(gè)三角形，使其與△ABC相似且面積最大.這其實(shí)是在設(shè)計(jì)懸念，為后續(xù)相似三角形的應(yīng)用教學(xué)打下伏筆.

三、“經(jīng)驗(yàn)激活”環(huán)節(jié)的爭(zhēng)鳴與再思考

在網(wǎng)絡(luò)研討中，“經(jīng)驗(yàn)激活”環(huán)節(jié)是關(guān)注的熱點(diǎn)，引來很多爭(zhēng)鳴.課本在“實(shí)踐與探索”中，設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：“畫一個(gè)三角形與已知三角形相似”，課堂上，是讓學(xué)生操作感知，還是給出圖形讓學(xué)生直觀感知？筆者（也是執(zhí)教者）的初衷與點(diǎn)評(píng)專家、網(wǎng)友的意見還有一定的距離.

1.專家及網(wǎng)友的建議

專家在點(diǎn)評(píng)中認(rèn)為：教材安排的操作活動(dòng)，是讓學(xué)生通過操作，定量感知判定相似三角形的新條件，為學(xué)生從定量到定性形成判定三角形相似的新定理奠定基礎(chǔ).學(xué)生操作雖然費(fèi)時(shí)費(fèi)力，但如果缺少了外顯操作活動(dòng)中來自感官的經(jīng)驗(yàn)和操作經(jīng)驗(yàn)作支撐，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)就成為了無源之水、無本之木，因此，可以嘗試讓學(xué)生按照不同的比來畫兩個(gè)三角形，從而為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)提供賴以存在的土壤.

無獨(dú)有偶，課堂教學(xué)與研討在網(wǎng)絡(luò)直播后的第二天，上海復(fù)旦大學(xué)一位博士在QQ里和筆者私聊，對(duì)本節(jié)課中問題的引入環(huán)節(jié)提出了商榷.他認(rèn)為，學(xué)生更需要直覺思維的培養(yǎng).這節(jié)課可以讓學(xué)生先作圖：有一個(gè)三角形，三邊長(zhǎng)度分別為3、4、5，請(qǐng)作出這個(gè)三角形.這里故意不給長(zhǎng)度單位，學(xué)生多半會(huì)在自己的作圖紙上先確定一段線段為單位1.由于學(xué)生畫出的線段長(zhǎng)短不一，作出的三角形也是大小不一，然后問：雖然大家畫的圖形大大小小，各不相同，但是它們之間有沒有關(guān)系？相互之間的三角形三邊都成比例，學(xué)生一定會(huì)從直覺上判斷它們?yōu)橄嗨菩?，從而得到猜?

2.筆者的初衷

筆者從數(shù)學(xué)邏輯的角度，在激活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過類比提出猜想，這樣的安排基于三點(diǎn)思考.

（1）體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)理念.

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)素材應(yīng)盡量與學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系，學(xué)生有現(xiàn)實(shí)生活的經(jīng)驗(yàn)，有學(xué)科內(nèi)部的經(jīng)驗(yàn)，有跨學(xué)科的經(jīng)驗(yàn)，還有操作的經(jīng)驗(yàn).在本節(jié)課備課時(shí)，筆者也考慮過幾種問題引入方式.如通過畫圖提出問題；通過提出一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境用原有方法不能判定三角形相似進(jìn)而提出問題；由特殊情形如三角形的中位線得到的兩個(gè)三角形相似，移出形外是否相似進(jìn)而提出問題；寫出“相似三角形三邊成比例”的逆命題探索其正確性……最后還是選擇通過從數(shù)學(xué)內(nèi)部激活舊知、類比提出猜想的方法，同樣體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的理念.

（2）符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).

從學(xué)生特征看，作為畢業(yè)年級(jí)的學(xué)生，處于從感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)發(fā)展的階段，也必須為進(jìn)入高年級(jí)更多關(guān)注學(xué)科本質(zhì)做好思維上的準(zhǔn)備，選擇從數(shù)學(xué)內(nèi)部入手來激活已有經(jīng)驗(yàn)，更能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)和思維方式；從學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生對(duì)變化的、新穎的事物總是充滿好奇與興趣.教材中前兩個(gè)判定定理都是運(yùn)用畫圖的方法引出問題.本節(jié)課一改畫圖引入的方法，學(xué)生感受到問題引入方式的變化與多樣，從而激發(fā)探究欲望，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).

（3）凸顯“三線”教學(xué)策略.

本節(jié)課教學(xué)凸顯三條線，即知識(shí)線、思路線和思想線，經(jīng)驗(yàn)的激活既有知識(shí)之間關(guān)系的激活，又有策略的激活，還有探索路徑的激活.而這種激活，又為下面的經(jīng)驗(yàn)積累、經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化、經(jīng)驗(yàn)提升奠定了基礎(chǔ).一是整體感知知識(shí).通過類比方法提出猜想的過程，盡管三角形相似的“邊邊邊”判定方法還沒有得到證明，但學(xué)生對(duì)三角形全等與相似的判定方法，三角形全等與相似的關(guān)系有了整體的感知.二是整體感知策略.通過三角形中位線得到的兩個(gè)三角形相似的證明，以及復(fù)習(xí)前兩個(gè)定理的過程，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想結(jié)論探索策略的思考.前兩個(gè)定理的證明，都是通過構(gòu)造第三個(gè)三角形，以這個(gè)三角形為橋梁，證明這個(gè)三角形與原來兩個(gè)三角形中的一個(gè)全等、一個(gè)相似，那么猜想的證明是否可以借鑒這樣的方法呢？三是整體感知思想.由三角形“邊邊邊”的全等判定類比出三邊成比例的兩個(gè)三角形相似的類比思想；將證明三角形相似轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的轉(zhuǎn)化思想；由從證明特殊情形的三角形相似入手推廣到一般情形的三角形相似的從特殊到一般的思想等，學(xué)生都在經(jīng)驗(yàn)激活環(huán)節(jié)有所感知.

（4）切合網(wǎng)絡(luò)研討主題.

這次網(wǎng)絡(luò)研討主題就是“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：從激活到升華”.本節(jié)課從數(shù)學(xué)內(nèi)部入手來激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，即根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，如由相似的前幾種判定，聯(lián)想到全等的三種判定，再由“SSS”類比出三角形相似的又一種判定，進(jìn)而喚起與激活學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)認(rèn)知沖突，為進(jìn)一步探究新知識(shí)、積累新經(jīng)驗(yàn)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).這種方式切合了研討主題.

3.筆者的再思考

“課程標(biāo)準(zhǔn)”（2011版）指出：教學(xué)中，要“重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程”，教師應(yīng)盡可能設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)的情境，讓學(xué)生通過操作觀察、歸納抽象、猜想驗(yàn)證，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”與“再創(chuàng)造”過程，從這個(gè)意義上說，專家與網(wǎng)友的觀點(diǎn)有理論依據(jù)，也具有實(shí)踐意義.這就引發(fā)筆者新的思考，在今后的教學(xué)研究中，要更多關(guān)注、理解并處理好數(shù)學(xué)直觀與抽象、合情與演繹、操作與思維、自主與合作、探究與講授、情境與體系、知識(shí)與情感等諸方面的關(guān)系，以本真生態(tài)、靈動(dòng)生成、充滿生命張力的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生升華活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，綻放生命異彩.

1.錢德春，石建華.從激活到升華：積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基本路徑——探索三角形相似的條件（3）教學(xué)片斷賞析與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）.

2.楊裕前，董林偉.義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（九年級(jí)下冊(cè)）［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2014.

3.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.Z

*本文素材來源于2015年3月25日江蘇省中小學(xué)教研室“教學(xué)新時(shí)空——名師課堂”初中數(shù)學(xué)第24場(chǎng)教學(xué)與研討內(nèi)容（相關(guān)視頻見http://zxsx.jssjys.com/Html/Article/10951），感謝陳德前、任宏章、黃玉華三位老師參與網(wǎng)絡(luò)研討并提供相關(guān)素材.