☉江蘇省張家港市妙橋中學 湯志良

步步有據(jù)：推導冪的運算性質(zhì)
——李庾南老師“冪的運算性質(zhì)”課例賞析

☉江蘇省張家港市妙橋中學 湯志良

眾所周知，初中幾何的學習主要是為了訓練邏輯推理能力，感受數(shù)學的理性精神.然而代數(shù)運算中也有很多值得重視的邏輯推理訓練，比如，最近有機會觀看到著名特級教師李庾南老師“冪的運算性質(zhì)”第1課時的教學錄像，李老師在該課教學中，引導學生由特殊到一般地猜想發(fā)現(xiàn)冪的運算性質(zhì)，并基于此前的數(shù)的運算法則和運算律，推導出冪的運算性質(zhì)，也很好地體現(xiàn)了數(shù)學教學中追求“步步有據(jù)”的教學取向.本文記錄該課的教學過程，并跟進賞析，提供研討.

一、“冪的運算性質(zhì)”（第1課時）教學過程

（一）提供運算情境，激發(fā)學生自主運用乘方的意義探討同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)

運算情境1：請學生說出下列式子的意義：

23，25，am（m是正整數(shù)）.

運算情境2：學生獨立計算：

運算情境3：比較這三個算式的共同點？運算方法？運算的依據(jù)？

在個人獨立思考的基礎(chǔ)上，交流討論，共同概括：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

運算情境4：師生共同研究結(jié)論的一般性：用am、an（m、n都是正整數(shù)）表示兩個同底數(shù)的冪，求證：am·an=am+n（m、n都是正整數(shù)）.

=am+n.（乘方意義）

運算情境5：（總結(jié)）同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

即am·an=am+n（m、n都是正整數(shù)）.

運算情境6：（拓展延伸）計算：am·an·ak（m，n，k都是正整數(shù)）.

（二）提供實例，引導學生在積極主動的數(shù)學實踐活動中建構(gòu)冪的乘方的運算性質(zhì)

實例1：學生獨立計算：（1）（23）2；（2）（a5）2；（3）（am）n（m、n都是正整數(shù)）.

實例2：交流計算方法和依據(jù)：

解析：（1）（23）2

=23×23（根據(jù)乘方的意義轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法）

=23+3（同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)）

=26.

（2）（a5）2=a5·a5=a10.

實例3：（小結(jié)）冪的乘方運算性質(zhì)：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.即（am）n=amn（m、n都是正整數(shù)）.

實例4：類比同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)的拓廣，猜想：［（am）n］k=amnk.

（三）創(chuàng)設(shè)情境，揭示積的乘方的運算性質(zhì)

創(chuàng)設(shè)情境1：計算：（1）（ab）2；

解析：（ab）2=（ab）·（ab）（乘方的意義）

=（a·a）·（b·b）（乘法交換律、乘法結(jié)合律）=a2b2.（乘方的意義）

（2）（ab）n.

創(chuàng)設(shè)情境2：（總結(jié)冪的第三個運算性質(zhì)）積的乘方：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.

即（ab）n=anbn（n是正整數(shù)）.

同樣可得：（abc）n=anbncn（n是正整數(shù)）.

（四）通過簡單的計算練習，將冪的三條運算性質(zhì)具體化

計算：（1）x3·x2；（2）m·m2·m3；

（3）（a+b）（a+b）3（a+b）5；（4）（-5）2（-5）3（-5）；

（5）（3m）2；（6）（a3）4；

（7）（mnp）2；（8）（a2bc）3.

（五）課堂小結(jié)，形成知識網(wǎng)絡(luò)

板書設(shè)計：正整數(shù)指數(shù)冪的乘法.

（1）正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，如圖1.

圖1

（2）研究方法：特殊—一般—特殊.

二、課例賞析

1.找準起點：乘方的意義和乘法運算律

從上面的課例設(shè)計發(fā)現(xiàn)，正整數(shù)指數(shù)冪的三條運算性質(zhì)的生長點都是乘方的意義和乘法的運算律.研究的方法也相同，即從特殊入手，發(fā)現(xiàn)共性，抽象概括，形成一般規(guī)律——運算性質(zhì).研究了同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)之后，學生不僅獲得了新知識，更可獲得研究的策略和方法，激發(fā)深入探究的熱情和自信，促進自主建構(gòu)冪的乘方和積的乘法運算性質(zhì)的積極主動性.冪的乘方運算性質(zhì)也可根據(jù)乘方的意義將冪的乘法運算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法運算，運用已建構(gòu)的同底數(shù)冪的乘方運算性質(zhì)推導出冪的乘方運算性質(zhì)，這樣組織教學內(nèi)容，不僅出于數(shù)學知識本身的內(nèi)在邏輯關(guān)系和相同的研究方法，而且擴大了學生思維的境界，為學生自主獲取、自主建構(gòu)、自主超越、自主發(fā)展創(chuàng)設(shè)了更廣闊的平臺，利于發(fā)展學生的學力.

2.從“一帶而過”到“步步有據(jù)”

近讀期刊，潘龍生老師在《數(shù)學通報》上發(fā)表《教學，少些一帶而過》指出：“讓學生看到過程是提高數(shù)學學習效能的得力措施.”并引清末數(shù)學家華蘅芳的觀點“力挽之習，于一切算法無不坦白示人，……不求簡奧，不避粗俗，惟使人易明而已”批判當下概念教學中的“一帶而過”的教學現(xiàn)象.從上文李老師的“冪的運算性質(zhì)”課例來看，李老師在冪的運算性質(zhì)如何發(fā)現(xiàn)、怎樣猜想并歸納，如何嚴謹?shù)貜囊话阋饬x上進行證明，到拓展研究等全過程，都進行了“步步有據(jù)”的研究，很好地追求了通過代數(shù)學習，懂得算理的重要，同時也讓學生感受到理性思維的力量.也許有人會說：“這樣的教學我們也會，但是教學效率太低了，學生的練習量如何保證呢？”這是很多初任教師喜歡問的一個問題，背后反映了“應(yīng)試教育”導向下的“題海戰(zhàn)術(shù)”教學取向，似乎學生解題能力都是靠大量的演練獲得的，各種題型、變式不加選擇地呈現(xiàn)給學生做全才行，這也就不難理解“做過的、講過的還不一定會做，沒做過的、沒講過的則一定不會”的尷尬情形.

3.開展單元教學，先整體建構(gòu)后再跟進習題課

可以發(fā)現(xiàn)，上面冪的運算性質(zhì)起始課的教學目標是：經(jīng)歷同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方的運算性質(zhì)的探索過程，體會由特殊到一般的認知方法，建構(gòu)冪的三條運算性質(zhì)的結(jié)構(gòu)框架；通過冪的三條運算性質(zhì)的簡單運用，體驗由一般到特殊的思想方法.作為冪的運算性質(zhì)這個單元教學的第1課時，學生已熟知了冪的幾個運算性質(zhì)，后續(xù)則需要跟進習題課，教學目標可以定位如下：通過綜合練習，深刻理解、正確運用正整數(shù)指數(shù)冪的三條運算性質(zhì)；通過逆運算正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展思維能力，豐富數(shù)學體驗；通過練習、議論、歸納，提高運算能力.還可提及，李庾南老師曾在江蘇省中小學教研室主辦的“教學新時空”上展示過“因式分解”單元教學（該文的詳細解讀參文見5），也是打破教材上的課時安排，在第1課就引導學生從整式乘法的逆運算可以簡化運算開始，定義了因式分解，接觸了不同的因式分解方法（提公因式法、運用公式法），取得了很好的課堂效果.

三、寫在最后

章建躍教授在《理解數(shù)學是教好數(shù)學的前提》一文中指出：“教師在數(shù)學的內(nèi)容知識、實質(zhì)性結(jié)構(gòu)知識等方面的欠缺，導致他們對知識的發(fā)生發(fā)展過程、重點、難點和關(guān)鍵等了解甚少，從而就抓不住內(nèi)容的核心，不能設(shè)置有利于學生理解知識的教學主線，……”想來，專家型教師李庾南老師正是站在“理解數(shù)學”的高度，融通數(shù)學，大膽整合教材，才有了令人感到邏輯連貫、步步有據(jù)的冪的運算教學吧！

1.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南，陳育彬.中學數(shù)學新課程教學設(shè)計30例——學力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.潘龍生.教學，少些一帶而過［J］.數(shù)學通報，2015（1）.

5.劉東升.專家教師課堂MPCK的特點——李庾南老師執(zhí)教“因式分解”課例研究［J］.中學數(shù)學月刊，2014（3）.

6.章建躍.理解數(shù)學是教好數(shù)學的前提［J］.數(shù)學通報，2015（1）.H