☉浙江省嵊州市剡城中學(xué)教育集團城關(guān)校區(qū) 許永江

☉浙江省嵊州市教育體育局教研室 蔡建鋒

突出教學(xué)方法，提升解題能力
——“配方法解一元二次方程”課堂教學(xué)實錄與點評

☉浙江省嵊州市剡城中學(xué)教育集團城關(guān)校區(qū) 許永江

☉浙江省嵊州市教育體育局教研室 蔡建鋒

這是一節(jié)嵊州市“高效課堂”主題教研活動的研究課，為了較好地體現(xiàn)活動的主題和新課程理念，筆者把重點放在正確理解和把握教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)思想方法，以學(xué)定教，使學(xué)生的學(xué)與教師的教得到統(tǒng)一，追求課堂高效益.筆者對“配方法解一元二次方程”這節(jié)研究課進行了精心設(shè)計，整節(jié)課沿著對問題串的分析、思考和解決的過程為主線，通過問題1中的方程進行分析思考、歸納總結(jié)，起到承上啟下的作用；通過問題2，重點解決二次項系數(shù)是1的一元二次方程的配方，并引出配方法的概念；在問題2的基礎(chǔ)上積極引導(dǎo)學(xué)生思考問題3，“如何把二次項系數(shù)不是1的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)是1的一元二次方程”來解決；通過問題4，對上述問題的解決進行整理，總結(jié)歸納出配方法解一元二次方程的一般步驟.整節(jié)課使學(xué)生在愉悅的學(xué)習(xí)氣氛下，通過五個環(huán)節(jié)的教學(xué)，較自然地經(jīng)歷了用配方法解一元二次方程的數(shù)學(xué)思想方法形成過程，突出了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生學(xué)到了分析問題和解決問題的一般數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生對問題的觀察、分析和歸納總結(jié)的能力.

一、教學(xué)內(nèi)容的理解與把握

“配方法解一元二次方程”是浙教版八年數(shù)學(xué)下冊第2章《一元二次方程》的內(nèi)容，在七年級的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組的解法和乘法公式，在前一章中，又學(xué)習(xí)了二次根式的有關(guān)內(nèi)容，特別是完全平方公式和直接開平方法解一元二次方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生有了一定的符號意識和配方基礎(chǔ).因此以直接開平方法解一元二次方程的復(fù)習(xí)作為新知識的生長點，符合學(xué)生的認知規(guī)律和學(xué)習(xí)能力，也較自然地體現(xiàn)了特殊與一般的關(guān)系，配方法是一種解一元二次方程的通法.

（一）教學(xué)目標

知識技能目標：理解配方法的意義，會用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

過程方法目標：通過探索配方法的過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括能力，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

情感態(tài)度目標：在獨立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗數(shù)學(xué)的價值，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

（二）教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程.

教學(xué)難點：把一元二次方程x2+px+q=0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n.

（三）教學(xué)理念的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，有利于充分發(fā)揮每一個學(xué)生思維的積極性，通過問題設(shè)計，讓學(xué)生思考，討論、評判，讓學(xué)生自覺地與教師一起共同參與教學(xué)活動，這樣能使學(xué)生所學(xué)到的不僅是一些具體的方法，而且會學(xué)到分析問題和解決問題的一般數(shù)學(xué)思想方法.這樣不僅能啟迪學(xué)生的智慧，發(fā)展學(xué)生的潛能，更能讓學(xué)生終身受益.

二、高效課堂的本質(zhì)是關(guān)注學(xué)生的發(fā)展

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握靈活有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，挖掘?qū)W生的潛能，充分發(fā)揮學(xué)生的個性，使學(xué)生在師生共同參與的教學(xué)活動中得到健康發(fā)展.

片段1：創(chuàng)設(shè)問題，承上啟下

問題1：什么類型的一元二次方程可以直接用開平方的方法來求解？

師：上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用直接開平方法解一元二次方程，請同學(xué)們自己寫出三個能用直接開平方法解的一元二次方程，同桌之間交換檢查交流，并說說這些方程的共同特征是什么.

生甲：x2=4；3x2-48=0；（x+1）2=2.

生乙：x2=25；2x2=4；（2x-1）2-48=0.

……

（同桌之間互相交換，對同桌所寫的方程進行評判，并對這些方程的共同特征進行思考、歸納）

師：你能說說這些方程共同具有的特征嗎？

生：方程的一邊是一個含有未知數(shù)的式子的完全平方，另一邊是一個非負常數(shù)，這樣的方程可以直接用開平方法來解.

師：正確！接下來請同學(xué)們填空，使下列等式成立，并思考在等式的左邊，常數(shù)項和一次項系數(shù)有什么關(guān)系.

（1）x2+12x+________=（x+6）2；

（2）x2-12x+________=（x-_______）2；

（3）x2+5x+________=（x+_______）2.

評析：通過對問題1的思考、分析和歸納，既復(fù)習(xí)了直接開平方解一元二次方程的相關(guān)知識和完全平方公式的應(yīng)用，又為學(xué)習(xí)新知識——配方法解一元二次方程的引入做好了鋪墊，這樣的設(shè)計很自然地使直接開平方法與配方法的內(nèi)在聯(lián)系得到了很好的體現(xiàn).

片段2：探究新知，感悟方法

問題2：要使方程y2+16y=16的左邊成為關(guān)于x的完全平方式，方程兩邊所添加的常數(shù)與這個方程的哪一項的系數(shù)有關(guān)？有什么關(guān)系？

師：請你將方程y2+6y=16轉(zhuǎn)化成（x+a）2=b的形式，并思考方程兩邊所添加的常數(shù)有什么特征.說說你的見解好嗎？

所添加的常數(shù)項與原方程的一次項系數(shù)有關(guān)，是一次項系數(shù)的一半的平方.

師：解方程：x2+3x-2=0.

（請兩位同學(xué)上來板演，其他同學(xué)自己練習(xí)，教師在下面輔導(dǎo)學(xué)困生，最后師生共同完成下面的板書過程）

解：把常數(shù)項移到方程的右邊，得x2+3x=2.

像這樣，把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊為一個非負常數(shù)，然后用開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

評析：通過問題2，讓學(xué)生感悟所添加的常數(shù)項與原方程的一次項系數(shù)有關(guān)，是一次項系數(shù)的一半的平方.通過問題2，充分讓學(xué)生觀察、思考、討論、總結(jié)歸納出用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的基本方法.讓學(xué)生自己經(jīng)歷掌握知識和方法的全過程，這對學(xué)生理解數(shù)學(xué)和掌握數(shù)學(xué)思想方法是非常有必要的.

片段3：拓展新知，鞏固提升

問題3：二次項系數(shù)不是1的一元二次方程，能用配方法解嗎？

師：用配方法解方程：2x2-5x-1=0，在方程2x2-5x=1的兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方能使方程左邊配成完全平方式嗎？

生：不能.

師：我們應(yīng)怎么做？

生：把二次項系數(shù)化為1，轉(zhuǎn)化為問題2中的方程來解決.

師：很好，請說說你的轉(zhuǎn)化過程

師：用配方法解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程的關(guān)鍵是什么？

生：方程兩邊同除以二次項系數(shù)，把二次項系數(shù)化為1.

師：正確.（板書如下）

評析：通過問題3，使學(xué)生感悟二次項系數(shù)不是1的一元二次方程可以化歸為我們已能求解的一元二次方程類型來求解，因此體會到知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，加深對數(shù)學(xué)知識和思想方法的本質(zhì)含義的理解和掌握.

片段4：歸納小結(jié)，反思提高

問題4：用配方法解二次項系數(shù)不是1的一元二次方程的關(guān)鍵是什么？請你總結(jié)一下用配方法解一元二次方程的一般步驟.

師：通過對上面三個問題的思考和求解，接下來我們來對用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步驟進行總結(jié)歸納.

（先讓學(xué)生自己歸納，讓學(xué)生充分發(fā)表見解，最后教師對學(xué)生的歸納作出完善）

（1）將方程化為二次項系數(shù)為1的形式；

（2）移項，使方程左邊只有二次項和一次項，右邊只有常數(shù)項；

（3）在方程兩同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，使方程左邊配成一個完全平方式；

（4）配方后若方程右邊是一個非負數(shù)，再通過直接開平方法求出方程的解.

師：這里有一個問題請同學(xué)們思考，方程經(jīng)配方后，若左邊是關(guān)于未知數(shù)的完全平方式，那么右邊的常數(shù)是什么數(shù)時，方程才有意義？

課堂練習(xí)：

（將事先印好的學(xué)案發(fā)給學(xué)生，待學(xué)生獨立完成后，再開展同桌之間或前后四人小組進行交換批改和交流）

1.用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應(yīng)變形為（）.

A.（x+1）2=6B.（x+2）2=9

C.（x-1）2=6D.（x-2）2=9

2.用配方法解方程2x2-x-1=0時，配方結(jié)果正確的是（）.

3.嘉淇同學(xué)用配方法解一元二次方程3x2-8x-3=0時，他是按如下方式做的.

解：把方程3x2-8x-3=0變形為.…第一步

x=3.…第五步

嘉淇的解法從第___________步開始出現(xiàn)錯誤；方程3x2-8x-3=0的根是___________.

4.用配方法解方程：2x2-7x+5=0.

評析：通過歸納小結(jié)，讓學(xué)生真誠地表達了自己在本節(jié)課中的感受，不僅歸納了數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，而且能真實地表達對配方法解一元二次方程的理解、掌握情況，提高了學(xué)生的概括能力.通過課堂練習(xí)，檢查不同層次的學(xué)生用配方法解一元二次方程的情況.

片段5：布置作業(yè)，提升能力

必做題：（1）課本第33頁作業(yè)題第3題，第35頁作業(yè)題第2、3題；

（2）數(shù)學(xué)作業(yè)本第9頁基礎(chǔ)題.

選做題：數(shù)學(xué)作業(yè)本1第10頁綜合運用.

評析：通過分層布置作業(yè)，可以使不同層次的學(xué)生適應(yīng)自己的學(xué)習(xí)，充分發(fā)揮他們的學(xué)習(xí)潛能，特別是提高了數(shù)學(xué)作業(yè)的有效性，從而減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān).

三、高效課堂旨在發(fā)展性評價

數(shù)學(xué)課一般有講授數(shù)學(xué)概念的概念課、講授數(shù)學(xué)方法的方法課、一個單元或者章節(jié)的復(fù)習(xí)課、針對試卷習(xí)題的講評課.本節(jié)課是講授配方法的方法課，章建躍博士指出“數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的靈魂，是解題方法的源泉，是分析問題、解決問題能力的基石”.教師首先要準確把握教學(xué)內(nèi)容，確定本節(jié)課的重點和核心，重視數(shù)學(xué)思想方法.以二次項系數(shù)為1的一元二次方程的配方為重點和核心內(nèi)容，讓學(xué)生自己經(jīng)歷獲取知識和感悟數(shù)學(xué)思想方法的過程，對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，在轉(zhuǎn)化上下功夫，讓學(xué)生自己感悟數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，不讓學(xué)生進行無目的的反復(fù)訓(xùn)練.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)既要關(guān)注本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程；既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的水平，也要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認識自我，建立自信.

本節(jié)課的設(shè)計充分體現(xiàn)了“學(xué)為中心”的新理念，在教學(xué)活動中師生積極參與，交往互動，促進了師生的共同發(fā)展，使學(xué)生的學(xué)與教師的教得到有效整合.教師能以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)引入新知，引導(dǎo)學(xué)生通過操作、觀察、思考、評判、總結(jié)歸納，獲得新知識，感悟新方法，形成新技能，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)良好習(xí)慣，真正使學(xué)生的潛能得到充分的發(fā)展.Z