王瑞利,劉 全,溫萬治

(北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094)

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非嵌入式多項式混沌法在爆轟產(chǎn)物JWL參數(shù)評估中的應(yīng)用

王瑞利,劉 全,溫萬治

(北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094)

介紹了非嵌入多項式混沌法的數(shù)學(xué)模型，給出了非嵌入式多項式混沌法進(jìn)行不確定度量化的主要步驟。采用此方法研究了平面、散心爆轟問題數(shù)值模擬中,JWL模型參數(shù)R1、R2服從均勻分布的隨機(jī)變量時所引起的爆轟過程計算結(jié)果的不確度性，著重分析了爆轟傳播過程中壓力與密度的統(tǒng)計特性。研究結(jié)果表明，非嵌入式多項式混沌法可以為模型輸入?yún)?shù)不確定性的傳播對輸出結(jié)果響應(yīng)量的影響建立一種有效不確定度評估方法，為使用JWL模型時選取參數(shù)提供參考。

爆炸力學(xué)；JWL狀態(tài)方程；參數(shù)選取;非嵌入式多項式混沌法；不確定度量化

炸藥的點(diǎn)火、爆轟傳播研究是炸藥裝置設(shè)計以及安全性、可靠性研究中的重要問題。炸藥爆轟產(chǎn)物狀態(tài)方程是描述炸藥爆轟CJ狀態(tài)之后的爆轟產(chǎn)物系統(tǒng)各物理量之間的關(guān)系式。目前，已有多種爆轟產(chǎn)物狀態(tài)方程形式，如等熵γ律狀態(tài)方程、BKW及JWL狀態(tài)方程[1]等。JWL(Jones-Wilkins-Lee)狀態(tài)方程的形式為：

(1)

式中：P為爆轟產(chǎn)物的壓力，v為爆轟產(chǎn)物的相對比容，A、B、R1、R2和w是5個待定參數(shù)。合理確定這些參數(shù)值，才能比較精確地描述爆轟產(chǎn)物的膨脹驅(qū)動做功過程。開展輸入?yún)?shù)不確定度對輸出結(jié)果不確定度傳播與量化的研究是合理選取參數(shù)的重要保證。傳統(tǒng)用于不確定度量化的方法有蒙特卡洛法、微擾動法等[2]。近幾年，基于譜分析的多項式混沌法(polynomial chaos method， PC)[3]逐漸引起人們的注意[4-9]。該方法根據(jù)與求解器的耦合方式，可分為嵌入式多項式混沌法(intrusive polynomial chaos, IPC)和非嵌入多項式混沌法(non-intrusive polynomial chaos, NIPC)。IPC需根據(jù)原控制方程建立相應(yīng)的隨機(jī)控制方程，無法利用現(xiàn)有程序，需重新研制求解程序。而NIPC不需要對控制方程進(jìn)行修改，可以采用已有的數(shù)值求解程序。此方法是把已有的數(shù)值求解程序作為一個黑匣子，在隨機(jī)空間里通過抽樣方法，獲得若干個樣本點(diǎn)，基于各樣本點(diǎn)輸入到程序數(shù)值求解，獲得輸入?yún)?shù)各樣本點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果，以統(tǒng)計分析評估輸入?yún)?shù)或計算條件的不確定性在計算過程中傳播的影響，即給出輸出結(jié)果的不確定性，以確定待定參數(shù)或計算條件。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 PC方法

假定參數(shù)ξ為某模型的不確定量，則可將ξ視為隨機(jī)變量，因此可用概率密度函數(shù)(probability density function， PDF)表示。在工程實際中，不確定參數(shù)ξ可表示成：

(2)

如果對模型不確定參數(shù)ξ沒有更多的信息，很難給出不確定參數(shù)ξ滿足的PDF。為了開展隨機(jī)參數(shù)不確定性分析，最簡單地可假設(shè)隨機(jī)變量參數(shù)服從均勻分布或Gauss分布。均勻分布的PDF為：

(3)

假設(shè)所求解問題的解(如爆轟壓力)為u(X,t,ξ)，具有PC展開形式表示為：

(4)

數(shù)學(xué)上，勒讓德函數(shù)指勒讓德微分方程的解：

(5)

勒讓德多項式的一個重要性質(zhì)是其在區(qū)間-1≤x≤1關(guān)于L2內(nèi)積滿足正交性，即：

(6)

式中：δmn為克羅內(nèi)克δ記號，當(dāng)m=n時為1，否則為0。相鄰的3個勒讓德多項式具有三項遞推關(guān)系式：

(7)

(8)

1.2 爆轟模型

爆轟數(shù)值模擬中所使用的基本方程是不定?？蓧嚎s理想流體力學(xué)方程和化學(xué)動力學(xué)方程的耦合方程組：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

1.3PC法與爆轟產(chǎn)物JWL狀態(tài)方程參數(shù)評估

采用式(4)對爆轟計算輸入一組隨機(jī)變量參數(shù)ξ1,ξ2,...,ξn，對評估的響應(yīng)量(如壓力、密度等)進(jìn)行PC展開，則得：

(17)

利用NIPC方法進(jìn)行不確定度評估的算法為:

(1)選取模型參數(shù){ξ1,ξ2,...,ξn}的PDF，如正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和均勻分布等。對于爆轟模型，將其他輸入?yún)⒘抗潭ǎ瑢WL模型中參數(shù)R1和R2作為隨機(jī)變量參數(shù)，PDF取均勻分布。

(2)確定模型評估的響應(yīng)量在參數(shù){ξ1,ξ2,...,ξn}的PC譜展開式(17)。

(3)對參數(shù)構(gòu)成的隨機(jī)變量ω={ξ1,ξ2,…,ξN}進(jìn)行抽樣，將其帶入PC多項式中的ψk(ω(θ)),k=0,…,P，然后再計算模型參數(shù)值θ={ξ1,ξ2,…,ξN}，對每一次抽樣，模型參數(shù)值為確定值。

(4)對每一抽樣確定后的模型參數(shù)值，利用“確定性程序”計算得到相應(yīng)的數(shù)值解u(x,t)，如第m次抽樣得到解為(u(x,t))m。

(18)

2 計算結(jié)果與討論

利用第1節(jié)PC方法和爆轟模型，采用二維拉氏非結(jié)構(gòu)自適應(yīng)爆轟彈塑性流體力學(xué)程序(LAD2D)[10-11]求解，開展爆轟模型JWL狀態(tài)方程待定參數(shù)不確定性的影響研究。

2.1 平面爆轟問題

圖1 平面爆轟計算模型Fig.1 Computational model of plane detonation

2.2 平面爆轟問題JWL參數(shù)不確定性的影響

圖2 R1=4.8±0.5和R2=1.95±0.5隨機(jī)抽樣下物理量的期望和方差Fig.2 Expectation and variance under the random-sample with R1=4.8±0.5 and R2=1.95±0.5

圖3 R1=7.3±0.5和R2=2.46±0.5隨機(jī)抽樣下物理量的期望和方差Fig.3 Expectation and variance under the random-sample R1=7.3±0.5 and R2=2.46±0.5

從圖2～3平面爆轟問題模擬結(jié)果可以看出，JWL狀態(tài)方程不確定性參數(shù)R1、R2在2個不同區(qū)間均勻抽樣，計算結(jié)果通過PC分析方差差別比較大。R1=7.3±0.5、R2=2.46±0.5比R1=4.8±0.5、R2=1.95±0.5的方差小，說明輸入?yún)?shù)R1=7.3±0.5、R2=2.46±0.5對計算結(jié)果敏感性比輸入?yún)?shù)R1=4.8±0.5、R2=1.95±0.5對計算結(jié)果敏感性小。說明輸入?yún)?shù)R1=7.3±0.5、R2=2.46±0.5更合理。

2.3 散心爆轟問題

圖4 散心爆轟計算模型Fig.4 Computational model of divergent detonation

2.4 散心爆轟問題JWL參數(shù)不確定性的影響

從圖2、3、5、6中炸藥爆轟數(shù)值模擬的結(jié)果可以看出，散心爆轟問題爆轟產(chǎn)物JWL狀態(tài)方程參數(shù)R1、R2的不確定度對計算結(jié)果影響的不確定性，即方差比平面爆轟問題大，說明散心爆轟產(chǎn)物JWL狀態(tài)方程參數(shù)R1、R2對計算結(jié)果敏感性強(qiáng)，需要引起重視。

圖5 R1=4.8±0.5和R2=1.95±0.5隨機(jī)抽樣下物理量的期望和方差Fig.5 Expectation and variance under the random-sample R1=4.8±0.5 and R2=1.95±0.5

圖6 R1=7.3±0.5和R2=2.46±0.5隨機(jī)抽樣下物理量的期望和方差Fig.6 Expectation and variance under the random-sample R1=7.3±0.5 and R2=2.46±0.5

3 結(jié) 論

(1)采用非嵌入式多項式混沌法，對JWL模型中待定參數(shù)R1、R2不確定性在爆轟數(shù)值模擬中的傳播進(jìn)行了研究，給出了平面、散心爆轟問題中R1、R2的不確定性對計算結(jié)果響應(yīng)量(壓力與密度)的期望與方差。(2)從分析結(jié)果看，散心爆轟問題爆轟產(chǎn)物JWL狀態(tài)方程參數(shù)R1、R2的不確定度對計算結(jié)果的不確定性，即方差比平面爆轟問題大，說明散心爆轟產(chǎn)物JWL狀態(tài)方程參數(shù)R1、R2對計算結(jié)果敏感性強(qiáng)，需要引起重視。 (3)多項式混沌法可以有效地量化不確定性在數(shù)值模擬中的傳播，以評估參數(shù)有效范圍。

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(責(zé)任編輯 曾月蓉)

Non-intrusive polynomial chaos methods and its application in the parameters assessment of explosion product JWL

Wang Rui-li, Liu Quan, Wen Wan-zhi

(InstituteofAppliedPhysicsandComputationalMathematics,Beijing100094,China)

A non-intrusive polynomial chaos method was introduced, and the main procedure of uncertainty quantification for JWL-EOS parameters was given. The method was implemented for the uncertainty quantification of the input parametersR1andR2of JWL-EOS to the detonation of plane and divergence. The results show that the methods of non-intrusive polynomial chaos can provide a valuable tool for the simulation of propagation of uncertainties, and uncertainty quantification for modeling and simulation in complex engineering.

mechanics of explosion; JWL-EOS; parameters of JWL; non-intrusive polynomial chaos; uncertainty quantification

10.11883/1001-1455(2015)01-0009-07

2013-06-24；

2013-09-10

國家自然科學(xué)基金項目(11372051,11072039,11201035); 中國工程物理研究院科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金項目(2013A0101004)

王瑞利(1964— )，男，研究員,wang_ruili@iapcm.ac.cn。

O385 國標(biāo)學(xué)科代碼： 13035

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