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        一道“北約”自主招生試題的另證

        2015-04-13 04:15:16喻俊輝
        新課程(中學(xué)) 2015年12期
        關(guān)鍵詞:歸納法正整數(shù)實(shí)數(shù)

        喻俊輝

        (江西省九江一中)

        2014 年“北約”自主招生考試中有這樣一道不等式試題:

        設(shè)正實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn滿足x1,x2,…,xn=1.證明:

        如果嘗試用歸納法來(lái)證明這個(gè)不等式,將會(huì)發(fā)現(xiàn)從n=k 過(guò)渡到n=k+1 比較困難,不好處理。然而,若將其強(qiáng)化為:

        若x1,x2,…,xn為正實(shí)數(shù),則

        將會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然從n=k 過(guò)渡到n=k+1 依然困難,但是由n=k 時(shí)命題成立推出n=k-1 時(shí)命題成立卻是輕而易舉的。那么,能否由此導(dǎo)出對(duì)任意的n≥2,n∈N+時(shí)(*)成立呢?結(jié)論是肯定的,其證明如下:

        先用歸納法證明對(duì)于k∈N+時(shí),(*)對(duì)n=2k成立

        即(*)對(duì)n=21成立.

        若命題對(duì)n=2k成立,則n=2k+1時(shí),

        故(*)對(duì)n=2k+1也成立。由歸納原理,當(dāng)k 取任意正整數(shù)時(shí),(*)對(duì)n=2k成立。

        即(*)命題對(duì)n=k-1 成立;綜上所述,由歸納原理,(*)對(duì)于一切不小于2 的正整數(shù)都成立。

        這種先由n=21推到n=2k,再由n 推到n-1 的歸納法叫做反向歸納法。反向歸納法的使用在自主招生與競(jìng)賽中時(shí)常出現(xiàn),它區(qū)別于一般歸納法,適用于從n=k 較難過(guò)渡到n=k+1,但是由n=k 命題成立推出n=k-1 時(shí)命題成立較易,且對(duì)于n=2k時(shí)命題的證明較簡(jiǎn)單。抓住這個(gè)特點(diǎn)很容易分辨哪些問(wèn)題可以用反向歸納法來(lái)處理。

        能用反向歸納法解決的問(wèn)題特點(diǎn)非常鮮明,較易判斷,用其他做法往往比較困難,有計(jì)劃參加競(jìng)賽或自主招生的學(xué)生應(yīng)加以掌握。

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