徐增文，師鵬，趙育善

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

衛(wèi)星編隊(duì)飛行技術(shù)在合成孔徑雷達(dá)、空間干涉儀以及在軌組裝等方面具有明顯優(yōu)勢(shì).考慮到發(fā)射成本和能量消耗，目前編隊(duì)飛行任務(wù)大多采用被動(dòng)形式的編隊(duì)控制方式，即相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中較少使用推力器對(duì)編隊(duì)構(gòu)型進(jìn)行控制.隨著空間任務(wù)朝著多樣化和復(fù)雜化的方向發(fā)展，對(duì)衛(wèi)星編隊(duì)飛行的相對(duì)軌道控制能力提出了更高的要求，主動(dòng)形式的衛(wèi)星編隊(duì)控制方式逐漸受到重視.但采用基于沖量原理的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)型控制存在以下幾個(gè)方面的缺點(diǎn):①火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴射出的羽流會(huì)影響臨近衛(wèi)星上的觀測(cè)器件;②所攜帶的推進(jìn)劑，既增加了衛(wèi)星發(fā)射成本，也成為限制衛(wèi)星在軌壽命的主要因素.

采用星間電磁力［1-2］、靜電力［3］和洛倫茲力［4］等非接觸力的無(wú)工質(zhì)推進(jìn)方式逐漸得到關(guān)注.利用航天器之間的電磁力進(jìn)行相對(duì)軌道控制的編隊(duì)稱為電磁航天器編隊(duì).由于控制力的產(chǎn)生基于電磁場(chǎng)之間的相互作用，不需要消耗燃料，所以電磁航天器編隊(duì)飛行能夠很好地克服上述問(wèn)題.

美國(guó)麻省理工學(xué)院和馬里蘭大學(xué)對(duì)電磁航天器編隊(duì)飛行的可行性、地面試驗(yàn)和在軌驗(yàn)證等進(jìn)行了長(zhǎng)期深入的研究.Miller 等［1-2，5］首次提出電磁編隊(duì)飛行的概念，并研究了在TPF 計(jì)劃中采用電磁編隊(duì)飛行技術(shù)的可行性.Hashimoto 等［6］提出采用超導(dǎo)線圈進(jìn)行電磁編隊(duì).Elias 等［7］針對(duì)兩顆電磁航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)提出了一種非線性動(dòng)力學(xué)模型.Ahsun 和Miller 等［8-9］提出了n 顆電磁航天器編隊(duì)的非線性自適應(yīng)控制律.2013 年8 月3 日，美國(guó)馬里蘭大學(xué)的RINGS 項(xiàng)目中的兩顆電磁航天器搭載HTV-4飛船進(jìn)入國(guó)際空間站進(jìn)行在軌試驗(yàn)，分別對(duì)電磁編隊(duì)飛行技術(shù)和星間電能無(wú)線傳輸技術(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，這是電磁航天器編隊(duì)飛行技術(shù)第一次在軌飛行試驗(yàn)［10］.

近年來(lái)國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)電磁航天器編隊(duì)飛行進(jìn)行了相關(guān)研究［11-13］.張?jiān)牡龋?4］采用反饋線性化及魯棒H∞方法，研究了空間電磁對(duì)接的魯棒協(xié)調(diào)控制問(wèn)題.北京航空航天大學(xué)的蘇建敏和董云峰［15］基于人工勢(shì)函數(shù)法研究了多顆電磁航天器的編隊(duì)控制問(wèn)題;張皓［16］和邵龍飛［17］的研究表明，多顆電磁航天器的編隊(duì)構(gòu)型控制問(wèn)題可以通過(guò)序列控制轉(zhuǎn)化為多階段的兩顆電磁航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制.

本文重點(diǎn)研究了兩顆電磁航天器的編隊(duì)構(gòu)型保持問(wèn)題，所采用的自適應(yīng)控制方法可以推廣到多顆電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型控制問(wèn)題.首先，介紹了電磁航天器編隊(duì)飛行的基本原理.然后，根據(jù)星間電磁控制力計(jì)算公式反推控制電流時(shí)，考慮兩電磁航天器能量消耗的均衡性要求，得到了兩星能量消耗均衡的解析解.針對(duì)電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持問(wèn)題，采用基于極坐標(biāo)的電磁航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，并考慮工程實(shí)際中存在的未知干擾力和電磁模型的參數(shù)不確定性，設(shè)計(jì)了編隊(duì)構(gòu)型保持自適應(yīng)控制律.最后，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了控制方法的有效性.

1 電磁航天器編隊(duì)飛行原理

電磁航天器編隊(duì)飛行是一種新的不消耗燃料的衛(wèi)星編隊(duì)形式.編隊(duì)中各成員衛(wèi)星稱為電磁航天器，其上安裝有3 個(gè)正交的超導(dǎo)線圈.圖1 為電磁航天器的概念設(shè)計(jì)圖.當(dāng)線圈充電時(shí)，航天器周圍會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，可以計(jì)算得到航天器周圍的磁場(chǎng)分布情況，然后再根據(jù)安培定律可以求得磁場(chǎng)中另一航天器所受到的電磁力及電磁力矩.本文研究的電磁航天器編隊(duì)飛行采用軌道優(yōu)先的解耦控制策略，即采用星間電磁力控制相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)，由于電磁力矩所引起的姿態(tài)控制問(wèn)題在這里不做贅述.

圖1 電磁航天器概念設(shè)計(jì)Fig.1 Conceptual design of electromagnetic spacecraft

為描述電磁航天器相對(duì)于編隊(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，首先定義旋轉(zhuǎn)軌道坐標(biāo)系O，假設(shè)其原點(diǎn)位于編隊(duì)系統(tǒng)質(zhì)心，x 軸指向軌道矢徑方向，y 軸指向軌道面法線方向，z 方向由右手法則確定.假設(shè)兩顆電磁航天器組成的編隊(duì)系統(tǒng)為剛體，定義與剛體固連的本體坐標(biāo)系為B，坐標(biāo)系原點(diǎn)位于系統(tǒng)質(zhì)心，x 軸由航天器1 指向航天器2.軌道坐標(biāo)系O繞z 軸旋轉(zhuǎn)歐拉角ψ，然后繞新的y 軸旋轉(zhuǎn)歐拉角－θ，即可得到本體系B.

在計(jì)算星間電磁力過(guò)程中，為避免復(fù)雜的二次曲面積分運(yùn)算，目前的研究中大多采用遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型，當(dāng)星間距離r 大于線圈半徑R 的8 倍時(shí)，編隊(duì)中的兩顆電磁航天器可以假設(shè)為遠(yuǎn)場(chǎng)中的兩個(gè)磁偶極子，如圖2 所示.

每個(gè)磁偶極子的磁矩可以記為μ，其幅值為

式中:n 為通電線圈匝數(shù);I 為線圈中的電流大小;S 為圓形線圈面積.磁偶極子的方向可由安培右手定則確定.

根據(jù)電磁場(chǎng)計(jì)算原理，可以得到兩電磁航天器之間電磁力的計(jì)算公式［8-9］:

式中:μ0為真空磁導(dǎo)率;r 為航天器1 到航天器2的位置矢量;μ1和μ2為兩航天器線圈的磁矩.

圖2 遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型示意圖Fig.2 Diagram of far-field approximate model

式(2)給出了星間電磁力的表達(dá)式，已知電磁線圈中電流的大小和相對(duì)位置矢量時(shí)，可以計(jì)算出電磁航天器相互之間的電磁力.實(shí)際上，為了對(duì)電磁航天器進(jìn)行控制，需要求解相應(yīng)的逆問(wèn)題，即在已知電磁控制力的情況下，計(jì)算出各電磁航天器的磁矩，進(jìn)而求解出相應(yīng)的控制電流.一種方法是，假設(shè)其中一個(gè)磁偶極子的磁矩是確定的，然后通過(guò)求解一個(gè)非線性方程組，得到另一個(gè)磁偶極子的磁矩.但這種情況下無(wú)法保證編隊(duì)中各航天器的能量消耗是均衡的，當(dāng)某一電磁航天器上的能量消耗殆盡時(shí)，就意味著整個(gè)航天器編隊(duì)任務(wù)的結(jié)束，所以電磁航天器編隊(duì)飛行需要考慮成員航天器能量消耗的均衡性.

對(duì)于兩顆電磁航天器編隊(duì)飛行的情況，能量消耗均衡最理想的情況是兩個(gè)磁偶極子所消耗的能量完全相同，即μ1=μ2.

假設(shè)μ1=μ2，對(duì)式(2)進(jìn)行求解，可以得到系統(tǒng)本體坐標(biāo)系B 下磁偶極子磁矩的解析解:

式中:K=3μ0/(8πr4).

對(duì)于兩顆電磁航天器的編隊(duì)飛行，采用式(3)～式(5)對(duì)航天器的磁矩進(jìn)行分配，可以使兩航天器消耗的能量完全相同，從而保證編隊(duì)中成員航天器能量消耗的均衡性，延長(zhǎng)航天器編隊(duì)的運(yùn)行壽命，這點(diǎn)也是傳統(tǒng)推進(jìn)方式所不具備的優(yōu)勢(shì).

2 電磁編隊(duì)相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型

本節(jié)借鑒繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)過(guò)程，建立兩顆電磁航天器編隊(duì)飛行的非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型.同時(shí)，該動(dòng)力學(xué)模型也可以用來(lái)描述其他類型的非接觸力航天器編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng).

軌道坐標(biāo)系O 中的兩電磁航天器的位置矢量可以表示為［3］

式中:L 為兩航天器之間的距離;m1和m2為兩航天器的質(zhì)量.

系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示為

編隊(duì)系統(tǒng)重力勢(shì)能的二階非線性表達(dá)式可記為

相應(yīng)的，編隊(duì)系統(tǒng)的電磁勢(shì)能記為Vm.

兩電磁航天器編隊(duì)系統(tǒng)的拉格朗日方程可以寫(xiě)成如下形式［18]

式中:Q 為廣義坐標(biāo)q 下的廣義力.

將式(8)、式(9)代入式(10)中并寫(xiě)成分量形式，假設(shè)電磁航天器編隊(duì)系統(tǒng)質(zhì)心所在軌道為圓軌道，可以得到關(guān)于相對(duì)距離L、軌道面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角ψ 和滾轉(zhuǎn)角θ 的電磁航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)方程:

式中:m=m1m2/(m1+m2);QL、Qψ和Qθ為廣義力，可以分別表示為QL= FL、Qψ= FψL 和Qθ=FθL，其中FL、Fψ和Fθ為3 個(gè)方向上的電磁力.電磁航天器編隊(duì)飛行過(guò)程中，3 個(gè)方向上的控制力可由航天器之間的電磁作用產(chǎn)生.

式(11)～式(13)進(jìn)一步可以記為

式中:aL、aψ和aθ分別為L(zhǎng)、ψ 和θ 3 個(gè)方向上的控制加速度.

式(14)～式(16)可以簡(jiǎn)記為

實(shí)際上，電磁航天器編隊(duì)飛行過(guò)程中除了受到相互之間的電磁作用力，還會(huì)受到未知的相對(duì)干擾力，所以式(17)可進(jìn)一步表示為

另外，如第1 節(jié)所述，電磁航天器之間電磁力的計(jì)算模型是基于遠(yuǎn)場(chǎng)近似得到的，所以其與真實(shí)值存在一定的誤差，電磁力的真實(shí)值可以通過(guò)對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型的計(jì)算值進(jìn)行修正得到.本文用式(19)表示電磁航天器控制加速度的真實(shí)值［8-9］:

因此，考慮未知干擾力和電磁作用遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型的不確定性，兩顆電磁航天器編隊(duì)飛行的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可以記為

式中:

3 編隊(duì)構(gòu)型保持自適應(yīng)控制

本節(jié)將在相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，針對(duì)電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律.假設(shè)電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型的期望狀態(tài)為Xd(t)，期望速度為為不確定參數(shù)的估計(jì)值.狀態(tài)誤差可以表示為

速度誤差為

不確定參數(shù)的估計(jì)誤差為

復(fù)合誤差可以記為

對(duì)式(24)求導(dǎo)可得

為設(shè)計(jì)電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持自適應(yīng)控制律，取李雅普諾夫函數(shù)［19］為

式中:Γ 為大于零的對(duì)角矩陣.

對(duì)式(26)求導(dǎo)得

為實(shí)現(xiàn)編隊(duì)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性，取如下控制律:

同時(shí)，取自適應(yīng)律為

式中:M=KY.

則式(27)可以化為

假設(shè)外界未知干擾力和電磁模型不確定性修正因子都是隨時(shí)間慢變的，則式(30)可以化為

4 數(shù)值仿真

本節(jié)通過(guò)數(shù)值仿真算例對(duì)電磁航天器構(gòu)型保持自適應(yīng)控制律進(jìn)行驗(yàn)證.

電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持仿真參數(shù)如下:編隊(duì)系統(tǒng)質(zhì)心所在參考軌道為圓軌道，其半長(zhǎng)軸為a=7 000 km;假設(shè)編隊(duì)中兩電磁航天器的質(zhì)量相同，即m1=m2=100 kg;其上的電磁作用機(jī)構(gòu)由3個(gè)正交的圓形超導(dǎo)線圈構(gòu)成，線圈半徑R =1 m，線圈匝數(shù)n=100.

根據(jù)空間任務(wù)的需要，希望電磁航天器編隊(duì)系統(tǒng)能夠沿地球矢徑方向保持懸停構(gòu)型，期望構(gòu)型的具體參數(shù)如下:

假設(shè)初始時(shí)刻電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型相對(duì)于期望構(gòu)型有一定的誤差:

考慮電磁航天器編隊(duì)飛行過(guò)程中受到的未知干擾力和電磁作用遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型的不確定性修正因子，對(duì)不確定性參數(shù)進(jìn)行如下假設(shè):

1)由于編隊(duì)中兩顆電磁航天器之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于超導(dǎo)線圈的半徑，采用遠(yuǎn)場(chǎng)模型即可滿足精度要求，可以認(rèn)為由模型計(jì)算得到的電磁力是準(zhǔn)確的，所以將電磁作用遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型的不確定性修正因子假設(shè)為［γix;γiy;γiz］=［0;0;0］.

自適應(yīng)控制的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下:

Λ=diag(0.001，0.001，0.001)

Kp=diag(0.05，0.05，0.05)

Γ=diag(1，1，1，0.1，0.1，0.1)

圖3 給出了徑向誤差δL 隨時(shí)間的變化情況，圖4 給出了面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角誤差δψ 和滾轉(zhuǎn)角誤差δθ隨時(shí)間的變化情況，約1.5 個(gè)參考軌道周期后，徑向誤差收斂到1 ×10－4m，角度誤差都收斂到8 ×10－6rad.仿真結(jié)果表明，在自適應(yīng)控制律的作用下，編隊(duì)構(gòu)型達(dá)到了期望值，說(shuō)明所設(shè)計(jì)的編隊(duì)構(gòu)型保持控制律是有效的.

圖5 顯示的是電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持過(guò)程中L、ψ 和θ 3 個(gè)方向上的控制加速度.從圖中可以看出，L 方向上的控制加速度的量級(jí)在10－5m/s2，而ψ 和θ方向上的控制加速度非常小.

圖3 誤差δL 隨時(shí)間變化曲線Fig.3 Histories of error δL changing with time

圖4 誤差δψ 和δθ 隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Histories of error δψ and error δθ changing with time

圖5 控制加速度隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Histories of control accelerations changing with time

圖6 和圖7 分別給出了干擾加速度和電磁模型不確定性修正因子的估計(jì)值.從圖6 中可以看出，L 方向上的干擾加速度估計(jì)值呈現(xiàn)出正弦變化的趨勢(shì)，其大小和變化趨勢(shì)都與所假設(shè)的未知干擾加速度非常一致;而另外兩個(gè)方向上的干擾加速度估計(jì)值幾乎為零，這也與之前的假設(shè)是吻合的.從圖7 中可以看出，遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型不確定性修正因子估計(jì)值的量級(jí)為10－8的，幾乎可以忽略不計(jì)，這與仿真中所假設(shè)的不確定性修正因子是一致的.

圖6 干擾加速度隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Histories of disturbed accelerations changing with time

圖7 不確定性修正因子隨時(shí)間變化曲線Fig.7 Histories of adjustment factors changing with time

結(jié)合圖5 和圖6 的仿真結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)外界干擾加速度對(duì)編隊(duì)構(gòu)型保持造成了影響，控制加速度隨時(shí)間變化曲線中所表現(xiàn)出的三角函數(shù)變化趨勢(shì)說(shuō)明了這點(diǎn).

仿真結(jié)果表明，不確定性參數(shù)快速收斂到真實(shí)值，說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)的電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持自適應(yīng)控制律對(duì)未知干擾加速度和電磁作用遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型不確定性修正因子進(jìn)行了準(zhǔn)確估計(jì).

圖8 顯示的是電磁航天器上3 個(gè)正交超導(dǎo)線圈中控制電流隨時(shí)間的變化曲線.從圖中可以看出線圈中的控制電流最大值小于100 A，可以采用超導(dǎo)線圈實(shí)現(xiàn).需要指出的是，圖中所給出的控制電流結(jié)果是采用式(3)～式(5)計(jì)算得出的，編隊(duì)中兩電磁航天器上超導(dǎo)線圈中的控制電流的大小是相同的，在編隊(duì)構(gòu)型保持過(guò)程中其各自所消耗的電能也是完全相同的，這就保證了編隊(duì)系統(tǒng)中各航天器能量消耗的均衡性，更有利于實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)期的編隊(duì)構(gòu)型保持.

圖8 線圈中電流隨時(shí)間變化曲線Fig.8 Histories of currents in coils changing with time

5 結(jié) 論

相對(duì)于傳統(tǒng)的消耗燃料的推進(jìn)方式，利用星間電磁力進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)型保持的電磁航天器編隊(duì)飛行在未來(lái)的空間任務(wù)中具有重要的應(yīng)用價(jià)值.本文對(duì)電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持控制進(jìn)行了研究，得到以下結(jié)論:

1)所提出的求解兩電磁航天器控制磁矩的解析表達(dá)式，是一種新的磁矩分配方式，對(duì)研究編隊(duì)飛行過(guò)程中各成員航天器能量消耗的均衡性提供了一條新的解決思路.

2)針對(duì)電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持實(shí)際可能面臨的未知干擾力和電磁作用遠(yuǎn)場(chǎng)近似模型的不確定性，可以采用自適應(yīng)控制方法.通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律，編隊(duì)構(gòu)型能夠從初始狀態(tài)收斂到期望值，表現(xiàn)出良好的控制性能，同時(shí)未知干擾力和電磁模型不確定性修正因子的估計(jì)值也很快收斂到真實(shí)值.

此外，本文研究的電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持自適應(yīng)控制方法可以為多顆電磁航天器編隊(duì)的構(gòu)型保持和重構(gòu)奠定技術(shù)基礎(chǔ).

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