摘 要： 傳統(tǒng)的K?Modes算法采用0?1簡單匹配方法計算對象與類中心（Modes）之間的距離，并將每個對象分配到離它最近的類中去。采用基于頻率方法重新計算各類的類中心（Modes）、定義目標函數(shù)，然而，對象的歸類方法和目標函數(shù)的定義沒有充分考慮分類數(shù)據(jù)的特點。對此，提出一種改進的K?Modes算法，采用期望熵最小的衡量方法進行歸類，并且采用期望熵作為新的目標函數(shù)。通過實驗將該算法與傳統(tǒng)的K?Modes算法進行比較，表明該算法是更有效的。

關鍵詞： 分類型數(shù)據(jù)； 聚類算法； 期望熵； 目標函數(shù)； 聚類精度

中圖分類號： TN911?34； TP181 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）04?0039?03

0 引 言

聚類技術廣泛應用于數(shù)據(jù)挖掘、統(tǒng)計模式識別、機器學習、信息檢索等領域[1?2]。它是將一個數(shù)據(jù)集劃分為若干個子類，使得類內對象盡可能相似，類間對象盡可能相異[3]。隨著分類型數(shù)據(jù)的出現(xiàn)，分類型數(shù)據(jù)聚類成為亟待解決的問題。K?Modes算法[4]是在K?means算法[5]基礎上擴展而來的，其算法簡單、高效，被廣泛應用于各個領域，但是它采用在每個屬性域中采用頻率較高的屬性值作為類中心，其他數(shù)據(jù)和類中心進行0?1匹配，確定它們所屬的類別，以及目標函數(shù)中各數(shù)據(jù)和類中心的距離也是0?1匹配，這些顯然是不合理的。

人們針對該問題進行了改進，白亮等人提出了基于新的距離度量的K?Modes算法，在選取類中心時，能夠較精確計算對象的距離，從而更精確地選取初始類中心，提高了算法的執(zhí)行效率[6]。文獻[7]提出了基于頻率的加權度量方法，有效地提高了算法的聚類效果。Ng等人利用基于相對頻率的相異度度量對傳統(tǒng)的K?Modes聚類算法進行了改進，有效地提高了算法效率[8]。文獻[9]采用新的相異度度量方法改進K?Modes算法，有效地提高了算法性能。然而這些算法都隱含假定類中各數(shù)據(jù)對象具有一樣的重要性，沒有充分考慮分類型數(shù)據(jù)的特點，因而不能準確計算數(shù)據(jù)間的距離。文獻[10]采用期望熵來判斷各種分類方案的好壞，它依序處理數(shù)據(jù)，并對分得不好的數(shù)據(jù)重新標記類別。

本文提出了改進的K?Modes算法，將期望熵引入到K?Modes算法中來，采用期望熵最小的方法對各數(shù)據(jù)歸類，并且定義了基于期望熵的目標函數(shù)，在選擇初始類中心時，通過簡單0?1匹配選取最不相同的數(shù)據(jù)作為類中心。這些改進可以將分類型數(shù)據(jù)更有效地歸類，從而提高了算法的效率。

1 傳統(tǒng)K?Modes聚類算法

K?Modes聚類算法是通過對K?Means聚類算法的擴展，使其應用于分類屬性數(shù)據(jù)聚類。它采用簡單匹配方法度量同一分類屬性下兩個屬性值之間的距離，用Mode代替K?Means聚類算法中的Means，通過基于頻率的方法在聚類過程中不斷更新Modes。

定義1[4]：設[S=U，A]是一個分類信息系統(tǒng)，[U={x1，x2，…，xn}]，[A={a1，a2，…，am}]，[xi，xj∈U（1≤i，j≤n）]，[xi，xj]分別被A描述為[xi=（f（xi，a1），f（xi，a2），…，f（xi，am））]和[xj=（f（xj，a1），f（xj，a2），…，f（xj，am））]，[xi]和[xj]的距離定義為：

[d（xi，xj）=l=1mδ（f（xi，al），f（xj，al））]

式中：

[δ（f（xi，al），f（xj，al））=1， f（xi ，al）≠f（xj ，al）0， f（xi ，al）=f（xj ，al）]

Huang為實現(xiàn)K?Modes聚類算法定義目標函數(shù)為[4]：

[FW，Z=l=1ki=1nwild（xi，zl）]

式中：

[wil∈{0，1}， 1≤l≤k，1≤i≤n] （1）

[l=1kwil=1， 1≤i≤n] （2）

[0

[W]是一個[n×k]的{0，1}矩陣；[n]表示對象集[U]所包含的對象個數(shù)；[k]表示聚類的個數(shù)，[wil=1]表示第[i]個對象被劃分到第[l]類中，[Z={z1，z2，...，zk}，zl（1≤l≤k）]是第[l]類的中心。

為了使目標函數(shù)F在滿足約束條件式（1）～式（3）下達到極小化，K?Modes聚類算法基本步驟如下：

Step1：從數(shù)據(jù)集中隨機選擇k個對象作為初始類中心，其中k表示聚類個數(shù)；

Step2：應用簡單匹配方法計算對象與類中心（Modes）之間的距離，并將每個對象分配到離它最近的類中去；

Step3：基于頻率方法重新計算各類的類中心（Modes）；

Step4：重復上述Step2，Step3過程，直到目標函數(shù)[F]不再發(fā)生變化為止。

2 改進的K?Modes算法

K?Modes聚類算法利用簡單匹配方法對每個對象分類必然效果較差，因為用頻率來選取類中心比較粗糙，再用0?1匹配決定所屬類別也不太合理。文獻[9]提出了基于期望熵（Expected Entropy）的分類方法比較適合分類型數(shù)據(jù)，因此，這里將該方法結合到K?Modes算法中來，進一步提高算法的運行效率。期望熵的定義如下：

定義2： 設[S=U，A]是一個分類信息系統(tǒng)，[U={x1，…，xi，…，xn}]，[A=Sa1，…，Saj，…，Sam]，[Saj]表示第[j]個屬性所有屬性值的集合，數(shù)據(jù)對象[xi]可表示成[xi=xi1，…，xim]，假定分為k類，[C=c1，…，cl，…，ck]， 期望熵的定義如下：

[E=l=1kclnEclEcl=Ea1+Ea2+…+EamEaj=-y∈sajpylogpy]

假定三個數(shù)據(jù)對象，[v1=\"red\"，\"heavy\"，][v2=][\"red\"，\"medium\"，][v3=\"blue\"，\"light\"]要分為兩類，有三種分類方案如表1所示。

從表1可以看出，分類方案1的期望熵最小，該分類方案也是最好的分類方式。因此，可以將期望熵作為目標函數(shù)。同時，確定了類中心后，對每個對象分類也可以采用該方法，假定初始類中心為：[\"red\"，\"heavy\"]，[\"blue\"，\"light\"]，向量[\"red\"，\"medium\"]有兩種歸類方式，即方案1和方案3，方案1的期望熵較小，并且該方案是較好的分類方式，因此，可以通過取最小期望熵對每個對象進行分類。

另外，在數(shù)據(jù)集中隨機選取類中心也不合理，假定選取的類中心在一個類中，將其他對象歸到這k個類中，重新計算各類中心，再次歸類，可能使得目標函數(shù)不再變化，得不到好的聚類效果，如圖1所示。假定數(shù)據(jù)集中有四個對象，選取數(shù)據(jù)1，2作為初始類中心，將數(shù)據(jù)3和4歸類后，新的類中心為數(shù)據(jù)5，6，再次對四個數(shù)據(jù)歸類，分類結果可能不變，目標函數(shù)不再發(fā)生變化，而該分類結果并不是理想的分類結果。因此，初始化時，應找到k個最不相同的數(shù)據(jù)作為初始類中心。首先找到最不相同的兩個數(shù)據(jù)[xc1]，[xc2]，使得[dxc1，xc2=][max1≤i≤n，1≤j≤ndxi，xj]，分別作為兩個類的中心，再依次找到其他類中心，假定已經(jīng)找到了[j-1]個類中心，第j個類中心為[xcj]，使得[dxci，xcj=maxmini=1，…，j-1xci，xcj]。當數(shù)據(jù)集比較大時，先取樣再尋找類中心。

改進的K?Modes聚類算法基本步驟如下：

Step1：從數(shù)據(jù)集中選擇k個最不相同對象作為初始類中心，其中k表示聚類個數(shù)；

Step2：應用期望熵最小方法將每個對象分類；

Step3：基于頻率方法重新計算各類的類中心（Modes）；

Step4：重復上述Step2，Step3過程，直到目標函數(shù)F不再發(fā)生變化為止。

3 實驗分析

下面分別從分類正確率（Accuracy）、類精度（Precision）和召回率（Recall）三方面來分析算法的聚類質量：Accuracy（AC），Precision（PE），Recal1（RE）分別定義如下：

[AC=i=1kain， PE=i=1kaiai+bik， RE=i=1kaiai+cik]

式中：n表示數(shù)據(jù)集的對象數(shù)；[ai]表示正確分到第i類的對象數(shù)；[bi]表示誤分到第i類的對象數(shù)；[ci]表示應該分到第i類卻沒分到的對象數(shù)；k表示聚類個數(shù)。從UCI數(shù)據(jù)集中挑選了2組數(shù)據(jù)Mushroom和Breast Cancer，Mushroom數(shù)據(jù)集有一列屬性中包括不確定屬性，因此，這里分兩種情況處理，即移除該屬性列和將不確定屬性值用特定屬性值取代。3組數(shù)據(jù)描述如表2所示。

通過分析表3～表5，在數(shù)據(jù)Mushroom和Breast Cancer上，改進的K?Modes聚類算法得到了較好的聚類效果，優(yōu)于傳統(tǒng)的K?Modes聚類算法。

4 結 語

本文提出一種改進的K?Modes算法，首先采用簡單匹配方法依次選取最不相同的k個類中心，其他數(shù)據(jù)采用期望熵較小的方法進行歸類，并且定義了基于期望熵的目標函數(shù)。通過實驗和傳統(tǒng)的K?Modes算法進行比較，結果表明在相同的實驗環(huán)境下，改進的K?Modes聚類算法在準確率、類精度和召回率上都優(yōu)于傳統(tǒng)的K?Modes聚類算法。

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