摘 要： 建立串聯(lián)諧振DC?DC變換器在斷續(xù)模式（DCM）下的等效電路，采用注入?吸收電流的方法得到了串聯(lián)諧振變換器在斷續(xù)模式下控制到輸出的小信號(hào)傳遞函數(shù)。通過(guò)仿真變換器輸出波形與傳遞函數(shù)開環(huán)輸出波形，驗(yàn)證了所推導(dǎo)的傳遞函數(shù)的正確性。通過(guò)Matlab SISOTOOL工具得到其開環(huán)幅頻特性曲線和相頻特性曲線，在此基礎(chǔ)上優(yōu)化設(shè)計(jì)了變換器控制環(huán)路的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，在補(bǔ)償器控制下，系統(tǒng)的穿越頻率為4.52 kHz，幅值裕度是53.3 dB，相角裕度是78.3°，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)。

關(guān)鍵詞： 串聯(lián)諧振； 斷續(xù)模式； 小信號(hào)分析； 補(bǔ)償器

中圖分類號(hào)： TN710?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2015）04?0142?04

0 引 言

諧振變換器是依靠改變開關(guān)網(wǎng)絡(luò)的工作頻率實(shí)現(xiàn)對(duì)輸出量的控制的，因此它是一種變頻控制的開關(guān)調(diào)節(jié)系統(tǒng)[1]。諧振變換器的開關(guān)動(dòng)作被設(shè)定在零電流或零電壓時(shí)刻發(fā)生，大大減小了開關(guān)損耗；正弦諧振波還能降低高頻諧波噪聲；由于電路是利用LC諧振，電路中的寄生電感和電容能夠得到應(yīng)用。基于這些優(yōu)點(diǎn)，諧振變換器得到了廣泛的應(yīng)用。小信號(hào)建模是分析和控制變換器的有力工具。

諧振變換器建模方法有擴(kuò)展描述函數(shù)法[2]、DQ等效法[3]、注入?吸收電流法[4?5]等。擴(kuò)展描述函數(shù)法也是一種適用于諧振類變換器建模方法，根據(jù)描述函數(shù)理論非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出可看成一個(gè)與輸入信號(hào)同頻的正弦函數(shù)，只是幅值與相位不同。把輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，但是其前提是將輸入端開關(guān)動(dòng)作等效成一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)。DQ等效法將電路中的矢量，從靜止的直角坐標(biāo)系變換到與電路中矢量相同角速度旋轉(zhuǎn)的 DQ坐標(biāo)系中。擴(kuò)展描述函數(shù)法和DQ等效法都是以基波等效法為基礎(chǔ)所建的模型，適用于電流連續(xù)模式，并不適用于電流不連續(xù)模式。注入?吸收電流法是一種電流連續(xù)模式和電流不連續(xù)模式下都可用的建模方法。本文采用注入?吸收電流法對(duì)工作于電流斷續(xù)模式下的串聯(lián)諧振變換器的建模展開研究，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了滿足要求的補(bǔ)償器。

1 串聯(lián)諧振斷續(xù)模式建模

當(dāng)不考慮變壓器時(shí)，串聯(lián)諧振變換器如圖1所示。其中Vdc為輸入端電壓；Lr為諧振電感；Cr為諧振電容；Cf為濾波電容；R為負(fù)載電阻；開關(guān)S1～S4是輸入端開關(guān)；4個(gè)二極管為全橋整流模塊。假設(shè)所有的開關(guān)和整流器件均為理想原件，不考慮雜散損耗。

1.1 傳遞函數(shù)推導(dǎo)

根據(jù)電感電流的連續(xù)與否，變換器工作模式分為兩種：連續(xù)導(dǎo)電模式（CCM）和不連續(xù)導(dǎo)電模式（DCM）。當(dāng)開關(guān)頻率大于[12]的諧振頻率時(shí)，串聯(lián)諧振變換器是工作在電流連續(xù)模式下的；當(dāng)開關(guān)頻率小于[12]的諧振頻率時(shí)，串聯(lián)諧振變換器是工作在電流斷續(xù)模式下的，這樣開關(guān)工作在零電流（ZCS）條件下，可以降低開關(guān)損耗，提高電源的效率。斷續(xù)工作模式的半個(gè)開關(guān)周期包含a，b，c三種工作狀態(tài)。假設(shè)負(fù)載電容值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于諧振電容的電容，因此在一個(gè)諧振周期內(nèi)，負(fù)載電容的電壓上升非常小，在分析過(guò)程中將其看成一個(gè)恒壓源。根據(jù)以上分析；a，b工作模式的等效電路如圖2所示。c表示諧振電流為零時(shí)的工作模式（其狀態(tài)電路圖省去）。

（1） 工作模式a：導(dǎo)通輸入端S1，S4，輸入端電壓正想接入，與諧振電感和諧振電容、負(fù)載等效恒壓源構(gòu)成一個(gè)回路，其工作模式持續(xù)時(shí)間為半個(gè)諧振周期。

此階段的諧振電感電流為：

[iL（t）=Vin-Vo-VmZsinω（t-t0）] （1）

諧振電容電壓為：

[VCr（t）=（Vin-Vo）-（Vin-Vo-Vm）cosω（t-t0）] （2）

其中[Z0=LrCr，ω=1LrCr]，諧振電感的初始電流和諧振電容的初始電壓分別為：[iLr（t0）=0，VCr（t0）=-Vm]。

（2） 工作模式b：導(dǎo)通輸入端開關(guān)S2，S3導(dǎo)通，輸入端電壓反向接入電路中。其工作模式持續(xù)時(shí)間也是半個(gè)諧振周期。

此階段的電感電流為：

[iL（t）=Vin+Vo-VaZsin ω（t-t1）] （3）

諧振電容電壓為：

[VCr（t）=（Vin+Vo）-（Vin+Vo-Va）cos ω（t-t1）] （4）

其中[VCr（t1）=Va]；

（3）工作狀態(tài)c：輸入端開關(guān)全部斷開，這個(gè)階段電感電流為0；諧振電容電壓為：

[VC（t）=-Vm] （5）

綜上可以求得：

[Vm=2V0，Va=2Vin] （6）

故一個(gè)周期的諧振電感平均電流為：

[I0=2T0t2iL（t）dt=4Vin?fnπ?Z0] （7）

平均電流還可以寫成[I0=V0R。]其中[fn=fsf0，Z0=LrCr]，故增益[M=V0Vin=4fn?rπ]，其中：

[r=RZ0] （8）

綜合式（6）、式（7）可得：

[Vm=V024Vin?fs?Cr?R， Va=V04?fs?Cr?R] （9）

對(duì)比式（6）與式（9）可知，這兩個(gè)公式是等效的，將Vm和Va寫成與頻率相關(guān)的表達(dá)式是為了求解輸出電壓到控制頻率的小信號(hào)傳遞函數(shù)。根據(jù)電流注入法，輸出平均電流可以寫成如下形式：

[i0=2fsZ0w0· Vin-V0+Vm（1-cosωta）-Vin+V0-Va（1-cosωta）] （10）

式中設(shè)定[cosωta=Vin-V0-VaVin-V0+Vm]。

式（10）包含了所有的擾動(dòng)變量：輸入電壓、輸出電壓以及控制頻率。令[A=di0dfs，B=-di0dv0，C=di0dvin]，所以輸出到控制的傳遞函數(shù)是：

[Hes=AR01+BR0+sCfR0] （11）

從式（11）可以看出，串聯(lián)諧振變換器的開環(huán)輸出電壓到控制（頻率）的傳遞函數(shù)是一個(gè)一階的表達(dá)式，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單清晰。

1.2 結(jié)果對(duì)比

通過(guò)改變電路開關(guān)頻率和輸出電壓這兩個(gè)的參數(shù)，對(duì)電路輸出電壓曲線和傳遞函數(shù)輸出電壓曲線進(jìn)行仿真對(duì)比。諧振頻率根據(jù)諧振電感和諧振電容系數(shù)確定為500 kHz；開關(guān)頻率在50～200 kHz之間變化；相應(yīng)的輸出電壓在1.528～6.11 V之間變化。表1中的幾組數(shù)據(jù)為傳遞函數(shù)和變換器輸出電壓的仿真曲線的對(duì)比。圖3為輸出電壓對(duì)比圖。

從圖3中可以看出開關(guān)頻率從50 kHz變化到200 kHz，其傳遞函數(shù)輸出電壓曲線和變換器傳出電壓曲線都基本吻合，可以得出結(jié)論：根據(jù)注入?吸收電流法所求解的串聯(lián)諧振（工作在斷續(xù)模式下）輸出到控制的傳遞函數(shù)是較為準(zhǔn)確的。通過(guò)分析控制?輸出傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性，就可以分析出變換器的動(dòng)態(tài)特性，從而為變換器動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)，設(shè)計(jì)出合理的補(bǔ)償器。

2 補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

2.1 開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

變換器各項(xiàng)參數(shù)為：輸入電壓Ui=537 V；諧振電感值Lr=8 μH；諧振電容值Cr=0.8 μF ；濾波電容值Cf=200 μF；負(fù)載電阻R=4.8 Ω 。使用Matlab工具對(duì)控制到輸出的小信號(hào)傳遞函數(shù)進(jìn)行仿真，可得變換器開環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性，如圖4所示。

開環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)如圖5所示。從圖4可知，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，穩(wěn)定裕度是無(wú)窮，但是其穿越頻率為0 Hz；由圖5可知，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間大約為6 ms，響應(yīng)速度太慢了。所以需要加入適當(dāng)?shù)难a(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)來(lái)改善其動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

2.2 補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

結(jié)合變換器主要參數(shù)，以及變換器輸出到控制的小信號(hào)傳遞函數(shù)公式，可以求解出系統(tǒng)未加補(bǔ)償器時(shí)的開環(huán)傳遞函數(shù)如式（2）所示：

[G（s）=0.014 880.000 96s+0.903 7] （12）

采用PID控制器為開關(guān)變換器串聯(lián)補(bǔ)償器。補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)形式為：

[G（s）=K·1+sωz11+sωz2s1+sωp1] （13）

第一個(gè)零點(diǎn)與位于原點(diǎn)的極點(diǎn)組成PI補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，用來(lái)緩和PI控制器極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的不利影響；第二個(gè)零點(diǎn)設(shè)置在系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率附近，用來(lái)抵消系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率處兩個(gè)極點(diǎn)的其中一個(gè)極點(diǎn)的影響，提高系統(tǒng)相交裕度；極點(diǎn)設(shè)置在補(bǔ)償后系統(tǒng)的穿越頻率附近，用來(lái)提高系統(tǒng)的高頻抑制能力；增益K的確定是通過(guò)SISOTOOL工具獲得。

確定補(bǔ)償后的系統(tǒng)穿越頻率：穿越頻率越高，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性越好，但是同時(shí)需要考慮開關(guān)頻率和其諧波噪聲，以及寄生震蕩引起的高頻分量的有效抑制問題。因此一般設(shè)置為0.1～0.2倍開關(guān)頻率。

最終確定的補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)如下所示：[G（s）=3.045 9×105×1+0.001s1-4.7×10-7ss1+4.1×10-5s] （14）

利用Matlab中的SISOTOOL工具對(duì)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)行了仿真，加入補(bǔ)償器后的開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖6所示。在補(bǔ)償器控制下，開環(huán)系統(tǒng)的穿越頻率4.52 kHz，表明系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度得到明顯的提高；幅值裕度是53.3 dB（幅值裕度至少大于10 dB）；相角裕度是78.3°（相位裕度至少大于45°），符合設(shè)計(jì)要求。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證補(bǔ)償器的性能，對(duì)串聯(lián)諧振變換器閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真分析。圖7為串聯(lián)諧振變換器加入閉環(huán)控制后的輸出電壓波形。開環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間大約為6 ms（如圖4所示），閉環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間大約為0.8 ms，超調(diào)量大約為1%，響應(yīng)速度有明顯的提高。當(dāng)負(fù)載電阻由4.8 Ω跳變至8 Ω時(shí)（其他參數(shù)固定不變），電路輸出電壓動(dòng)態(tài)仿真波形如圖8所示。從圖8可以看出，當(dāng)負(fù)載發(fā)生較大突變時(shí)，輸出電壓能較快的調(diào)節(jié)穩(wěn)定，調(diào)節(jié)時(shí)間大約為1 ms，達(dá)到了較好的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)性能。

4 結(jié) 語(yǔ)

采用注入?吸收電流的方法，建立工作在電流斷續(xù)模式下串聯(lián)諧振變換器的小信號(hào)傳遞函數(shù)，其傳遞函數(shù)輸出電壓曲線和變換器傳出電壓曲線基本吻合，驗(yàn)證了傳遞函數(shù)的準(zhǔn)確性。其傳遞函數(shù)是一階的，雖然不完全精確，但足以通過(guò)分析其頻率特性來(lái)分析電路的動(dòng)態(tài)特性。通過(guò)仿真可得到變換器控制?輸出的小信號(hào)傳遞函數(shù)的頻率特性曲線， 在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了合理的補(bǔ)償器。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于串聯(lián)諧振變換器的小信號(hào)模型設(shè)計(jì)的補(bǔ)償器改善了電路穩(wěn)定性以及電路負(fù)載瞬變的動(dòng)態(tài)特性。

圖8 負(fù)載突變變換器輸出電壓波形（V）

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