摘 要： 討論了在無(wú)線傳感器定位節(jié)點(diǎn)（文中稱為錨節(jié)點(diǎn)）位置已知條件下，基于信號(hào)到達(dá)時(shí)間差（TDOA）的時(shí)間同步算法。根據(jù)所有傳感器定位節(jié)點(diǎn)彼此之間周期性地廣播信號(hào)，測(cè)量信號(hào)到達(dá)時(shí)間（TOA）來(lái)估計(jì)時(shí)間頻率的偏移。當(dāng)信源發(fā)送信號(hào)，由于傳感器鐘差造成的初始TDOA誤差可以通過(guò)一系列補(bǔ)償計(jì)算來(lái)減少誤差。在一個(gè)加性高斯白噪聲模型里，通過(guò)卡爾曼濾波提高鐘差和頻差的估計(jì)精度。在此基礎(chǔ)上改善標(biāo)簽節(jié)點(diǎn)的定位精度。

關(guān)鍵詞： 無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)； 卡爾曼濾波； 定位； 到達(dá)時(shí)間差； 到達(dá)時(shí)間； 鐘差估計(jì)

中圖分類號(hào)： TN911?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2015）07?0023?05

0 引 言

隨著無(wú)線電技術(shù)的發(fā)展，人們?cè)诶眯畔⑸弦呀?jīng)不再滿足于相互之間的通信和聯(lián)絡(luò)，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行有效定位和跟蹤，獲取有用信息加以利用，成為人們更進(jìn)一步的技術(shù)追求和現(xiàn)實(shí)需要。伴隨著物聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)逐漸成為其概念應(yīng)用的重要技術(shù)支撐。傳感器節(jié)點(diǎn)必須明確自身位置才能詳細(xì)說(shuō)明“在什么位置或區(qū)域發(fā)生了特定事件”，實(shí)現(xiàn)對(duì)外部目標(biāo)的定位和追蹤[1]，從而為人們獲知事態(tài)，做出相應(yīng)決策提供依據(jù)。諸多新近的定位技術(shù)，較為準(zhǔn)確的定位方法是基于傳感器定位節(jié)點(diǎn)的測(cè)距方法。這些方法通常使用TOA、TOF或者TDOA進(jìn)行定位。在基于TOA/TDOA的無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位中，都會(huì)根據(jù)各自系統(tǒng)需要獲得相對(duì)準(zhǔn)確的時(shí)間同步從而進(jìn)行定位。

在諸多文獻(xiàn)中無(wú)線傳感器的時(shí)間同步方法有很多。其中引用較多的方法是參考廣播同步算法（Reference Broadcast Synchronization）[2]、傳感器時(shí)間同步協(xié)議（TPSN）[3]、泛洪時(shí)間同步協(xié)議（FTSP）[4]。另外，Noh等人提出基于雙向消息交換數(shù)學(xué)評(píng)估時(shí)間同步方法的性能[5]。他們提到的方法被用來(lái)解決不同系統(tǒng)中存在的問(wèn)題。但是，兩個(gè)連續(xù)不斷的TOA測(cè)量估計(jì)時(shí)間同步仍沒(méi)有達(dá)到滿意的效果。

本文使用一個(gè)補(bǔ)償算法來(lái)補(bǔ)償鐘差以達(dá)到提高定位精度的目的。無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的錨節(jié)點(diǎn)彼此之間周期性地廣播信號(hào)或者數(shù)據(jù)包。每個(gè)錨節(jié)點(diǎn)利用自身接收器的本地時(shí)鐘將信號(hào)的TOA信息記錄下來(lái)。骨干網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)器收集所有的時(shí)間戳來(lái)估計(jì)計(jì)算每對(duì)錨節(jié)點(diǎn)之間的頻差。采用卡爾曼濾波進(jìn)一步提高鐘差和頻差的精確性。

1 模型建立

TDOA定位技術(shù)是通過(guò)檢測(cè)信號(hào)到達(dá)兩個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的時(shí)間差來(lái)確定標(biāo)簽節(jié)點(diǎn)（即需定位節(jié)點(diǎn)）的位置[6]。當(dāng)標(biāo)簽節(jié)點(diǎn)向多個(gè)錨節(jié)點(diǎn)發(fā)送信號(hào)時(shí)，由于錨節(jié)點(diǎn)距離標(biāo)簽節(jié)點(diǎn)不一樣，不同的錨節(jié)點(diǎn)接收信號(hào)有一個(gè)時(shí)間差。而信號(hào)波在同一個(gè)介質(zhì)中的傳輸速率相同，因此可以計(jì)算出標(biāo)簽節(jié)點(diǎn)到達(dá)兩個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的距離差[7]，由雙曲線計(jì)算原理得出定位位置。

假設(shè)一個(gè)有[N]個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)，其錨節(jié)點(diǎn)位置為：[xi，]其中[i=1，2，…，N，]一個(gè)標(biāo)簽節(jié)點(diǎn)的位置設(shè)為[x0。][N]個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的內(nèi)部時(shí)鐘的標(biāo)稱頻率為[f0，]未知時(shí)鐘偏移為[εi，]每個(gè)錨節(jié)點(diǎn)有一個(gè)未知的起始時(shí)間[Ωi。]同時(shí)將這種錨節(jié)點(diǎn)周期性的廣播信號(hào)稱為“眨眼”信號(hào)。

第[i]個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的時(shí)鐘實(shí)際頻率可以表示為：

[fi=f0（1+εi）] （1）

假設(shè)當(dāng)前發(fā)送廣播包為錨節(jié)點(diǎn)[p，]在錨節(jié)點(diǎn)[j]處測(cè)量的TOA時(shí)間可以表示為：

[tj，p（k）=kTs+djp1+εj1+εp+Ωj+nj，p（k）] （2）

式中：[djp=xj-xpc]為兩個(gè)錨節(jié)點(diǎn)之間的傳播時(shí)延；[Ωj，j=1，2，…，N]為各個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的起始時(shí)間；[Ts]為前后兩個(gè)廣播包發(fā)送的時(shí)間間隔；[nj，p（k）]為TOA的測(cè)量噪聲，可以看作加性高斯白噪聲（AWGN）。經(jīng)過(guò)泰勒級(jí)數(shù)展開有：

[1+εj1+εp≈1+εj-εp] （3）

TOA可以近似表示為：

[tj，p（k）=kTs+djp1+εj-εp+Ωj+nj，p（k）] （4）

令[ejp=εj-εp]為兩個(gè)錨節(jié)點(diǎn)之間的頻差，由于晶振制作工藝和水平等原因其數(shù)值通常介于點(diǎn)典型值[10-6]和[10-4]之間。對(duì)于無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)，錨節(jié)點(diǎn)之間的距離通常在300 m以內(nèi)，[djpejp]則為一個(gè)遠(yuǎn)小于[10-10]的時(shí)間數(shù)值，對(duì)于定位結(jié)果的影響不大，這里可以略去。本地測(cè)量的TOA可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

[tj，p（k）≈kTs+kTsejp+djp+Ωj+nj，p（k）] （5）

則標(biāo)簽節(jié)點(diǎn)到錨節(jié)點(diǎn)[i]和錨節(jié)點(diǎn)[j]之間的TDOA為：

[ti，p（k）-tj，p（k）=kTs+kTseip+dip+Ωi+ni，p（k）-kTs+kTsejp+djp+Ωj+nj，p（k）=kTseij+dip-djp+Ωi-Ωj+ni（k）-nj（k） ] （6）

2 估計(jì)頻差和鐘差

通過(guò)對(duì)連續(xù)兩次錨節(jié)點(diǎn)廣播獲得的TOA進(jìn)行分析計(jì)算，可獲得錨節(jié)點(diǎn)鐘差和頻差的估計(jì)值。每個(gè)錨節(jié)點(diǎn)按照時(shí)間間隔[T]發(fā)送信號(hào)，其他錨節(jié)點(diǎn)根據(jù)他們各自的時(shí)鐘接收信號(hào)并記錄TOA時(shí)間。連續(xù)兩次“眨眼”信號(hào)的TDOA測(cè)量過(guò)程如圖1所示。

圖1 連續(xù)兩次“眨眼”測(cè)量的TOA信息

[ti，p（k+1）-tj，p（k+1）-（dip-djp）=ti，q（k）-tj，q（k）-（diq-djq）+T?eij（k）+ni（k）-nj（k）] （7）

令[xij（k）]為錨節(jié)點(diǎn)[q]發(fā)送信號(hào)測(cè)量的鐘差：

[xij（k）=ti，q（k）-tj，q（k）-diq-djq] （8）

[xij（k+1）=xij（k）+T?eij（k）+ni（k）-nj（k）] （9）

式中：[eij（k）]為錨節(jié)點(diǎn)之間存在的頻差；[ni（k）]為測(cè)量噪聲，可以看作高斯白噪聲。錨節(jié)點(diǎn)之間的鐘差實(shí)際上是由頻差隨時(shí)間累積造成的，在實(shí)際系統(tǒng)中錨節(jié)點(diǎn)之間的頻差可能會(huì)隨著時(shí)間而發(fā)生偏移，因此本文采用卡爾曼濾波對(duì)鐘差和頻差進(jìn)行濾波估計(jì)。

由于[eij（k）]是晶振的相對(duì)頻率偏移，這里可以把隨機(jī)頻率偏移看成是一個(gè)方差為[σ2f]的加性高斯白噪聲。

錨節(jié)點(diǎn)[i]和[j]之間的頻偏可表示為：

[eij（k+1）=eij（k）+nf，i（k）-nf，j（k）] （10）

式中：[nf，i（k）]為錨節(jié)點(diǎn)晶振的隨機(jī)頻率擾動(dòng)，可以看作AWGN。讓[?ij（k）]為錨節(jié)點(diǎn)[q]發(fā)送信號(hào)的本地真實(shí)鐘差，真實(shí)鐘差可表示為：

[?ij（k+1）=?ij（k）+T?eij（k）] （11）

假設(shè)[sil（k）]為狀態(tài)向量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以用[Φ]來(lái)表示：

[sil（k）=?il（k）eil（k），Φil=1T01，]

[nil（k）=T?nf，i（k）-T?nf，l（k）nf，i（k）-nf，l（k）]

得到時(shí)鐘偏移狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

[si1（k+1）=Φi1si1（k）+ni1（k）， i=2，3，…，N] （12）

將[N-1]個(gè)方程合并：

[s（k+1）=Φs（k）+Γv（k）] （13）

其中：

[s（k）=s21（k）s31（k）?sN1（k）2（N-1）×1]

[Φ=Φ21Φ31?ΦN1]

[Γ=-TT0…0-110…?-T0T…0-101…0?????-T00…T-100…12（N-1）×N]

[v（k）=nf，1（k）nf，2（k）…nf，N（k）T]

其中[v（k）～Ν（0，Qv），][Qv]是頻率波動(dòng)向量的協(xié)方差矩陣，結(jié)合式（9）和式（11），鐘差觀測(cè)方程為：

[xi1（k）=?i1（k）+ni（k）-n1（k），i=2，3，…，N] （14）

設(shè)：

[H=1000010?????????10（N-1）×2（N-1）]

[u（k）=n1（k）n2（k）…nN（k）T]

[C=-110…0-101??????0-10…01（N-1）×N]

鐘差觀測(cè)方程可以轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃囆问剑?/p>

[y（k）=Hs（k）+Cu（k）] （15）

其中[u（k）～Ν（0，Qu）。]

卡爾曼濾波過(guò)程如下：

（1） 預(yù)測(cè)

[s（k+1|k）=Φs（k|k）] （16）

（2） 預(yù)測(cè)誤差方差陣

[Ps（k+1|k）=Φ?Ps（k|k）?ΦT+ΓQv（k）ΓT] （17）

（3） 卡爾曼增益

[K（k+1）=Ps（k+1|k）HT[H?Ps（k+1|k）?HT+CQu（k+1）CT]-1] （18）

（4） 濾波

[s（k+1|k+1）=s（k+1|k）+K（k+1）[y（k+1）-H?s（k+1|k）]] （19）

（5） 濾波誤差方差陣

[Ps（k+1|k+1）=[I-K（k+1）?H]?Ps（k+1|k）] （20）

3 標(biāo)簽定位

3.1 TDOA測(cè)量補(bǔ)償

由于標(biāo)簽根據(jù)各自周期發(fā)射信號(hào)，一些類似于CSMA/CA這樣的介質(zhì)訪問(wèn)方法，可以用于避免錨節(jié)點(diǎn)“眨眼”和標(biāo)簽發(fā)送信號(hào)的沖突。他們發(fā)送信號(hào)的機(jī)制類似圖2所示。

圖2 標(biāo)簽和錨節(jié)點(diǎn)測(cè)量的TOA信息

標(biāo)簽節(jié)點(diǎn)到達(dá)兩個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的TDOA為：

[ψij（kT+τ0）=ti，0（kT+τ0）-tj，0（kT+τ0）=?ij（kT+τ0）+τ0eij（k）+di，0-dj，0+ni，0（kT+τ0）-nj，0（kT+τ0）] （21）

其中[τ0]是最后錨節(jié)點(diǎn)“眨眼”的耗費(fèi)時(shí)間。減去最初TDOA，則得到獲得補(bǔ)償?shù)腡DOA：

[zij（kT+τ0）=ψij（kT+τ0）-?ij（k）-τ0eij（k）] （22）

[zij（kT+τ0）=?ij（kT+τ0）-?ij（k）-τ0eij（k）+di，0-d1，0+ni，0（kT+τ0）-n1，0（kT+τ0）] （23）

對(duì)于所有[N]個(gè)錨節(jié)點(diǎn)，有[N-1]個(gè)獨(dú)立的TDOA補(bǔ)償變量[zi1（kT+τ0），i=2，3，…，N：]

[zi1（kT+τ0）=1τ0??i1（k）-?i1（k）ei1（k）-ei1（k）+-τ0τ0?nf，1（kT+τ0）nf，i（kT+τ0）+di，0-d1，0+-11?n1，0（kT+τ0）ni，0（kT+τ0）] （24）

則標(biāo)簽節(jié)點(diǎn)的TDOA為：

[z=f（x0）+w] （25）

其中：

[z=z21（kT+τ0），…，zN1（kT+τ0）T] （26）

[f（x0）=1cx0-x2-x0-x1??x0-xi-x0-x1?x0-xN-x0-x1] （27）

[w=Dse（k）+Cτv0（kT+τ0）+Cu0（kT+τ0）] （28）

[se（k）=s（k）-s（k）] （29）

[D=1τ00……0001τ00…?……………?00…01τ0（N-1）×2（N-1）] （30）

[Cτ=-τ0τ00…0-τ00τ0??????0-τ00…0τ0（N-1）×N] （31）

由于[se（k）]和[u0（kT+τ0）]是各自獨(dú)立的，所以[w]的協(xié)方差矩陣為：

[Qw=E（wwT）=CQuCT+CτQvCTτ+DM（kk）DT] （32）

3.2 最大似然估計(jì)

似然方程為：

[p（z，x0）=1（2π）MN/2det（Qw）12?exp-12z-f（x0）TQ-1wz-f（x0）] （33）

[x0]的最大似然估計(jì)為：

[x0=argminz-f（x0）TQ-1wz-f（x0）] （34）

假定在高斯白噪聲下，最大似然估計(jì)有一個(gè)最小二乘估算，但是因?yàn)楹瘮?shù)的非線性，總體而言公式（34）閉合形式的解并不存在，因此需要數(shù)值極小化。在這里，使用一個(gè)連續(xù)的線性算法[8]，概述如下：

（1） 設(shè)[x0（m）]為估計(jì)量經(jīng)過(guò)[m]次迭代的結(jié)果，并有[x0=x0（m）+Δ（m），]對(duì)[f（x0）]在[x0（m）]附近進(jìn)行線性化，得到：

[f（x0）≈f（x0（m））+G（x0（m））Δ（m）] （35）

其中[G（x0（m））]為Jacobian矩陣：

[G（x0）=?f（x0）?x0] （36）

將式（35）代入式（34），可以解決最小線性化問(wèn)題：

[Δ（m）=GT（x0（m））Q-1wG（x0（m））-1?GT（x0（m））Q-1wz-f（x0（m））] （37）

其中：

[G（x0）=1crT2（x0）-rT1（x0），…，rTN（x0）-rT1（x0）T] （38）

[ri（x0）]定義了一個(gè)單位長(zhǎng)度的矢量：

[ri（x0）=x0-xix0-xi，i=1，2，…，N] （39）

（2） [（m+1）]次迭代估計(jì)為：

[x0（m+1）=x0（m）+Δ（m）] （40）

注意到當(dāng)[GT（x0（m））Q-1wG（x0（m））-1]很大的時(shí)候，迭代的方法會(huì)停在某個(gè)局部最小值并且不會(huì)收斂。兩步過(guò)程，即從一個(gè)粗柵格搜索并持續(xù)一個(gè)迭代的過(guò)程可以被用來(lái)尋找全局最小值。通過(guò)公式（40）不斷進(jìn)行迭代的過(guò)程，如果前后兩次迭代的結(jié)果差距大于0.1 mm，則繼續(xù)進(jìn)行迭代過(guò)程，直到二者的差距小于0.1 mm時(shí)，迭代結(jié)束。當(dāng)前所得到的[x0]即為標(biāo)簽定位的結(jié)果。

標(biāo)簽位置估計(jì)的CRLB是Fisher信息矩陣（FIM）的轉(zhuǎn)置：

[J（x0）=E??x0lnp（s；x0）??x0lnp（s；x0）T] （41）

因?yàn)楦咚乖肼?，公式?1）變?yōu)椋?/p>

[J（x0）=?f（x0）?x0TQ-1w?f（x0）?x0=GT（x0）Q-1wG（x0）] （42）

假定[J-1（x0）]存在，[x0]任意元素的方差為[[J-1（x0）]nn，]標(biāo)簽位置估計(jì)的CRLB為：

[σ2x，t=n=12[J-1（x0）]nn] （43）

4 仿真結(jié)果

在本節(jié)，通過(guò)仿真對(duì)時(shí)鐘頻率偏移的補(bǔ)償算法進(jìn)行測(cè)試。定義一個(gè)二維空間，四個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的位置如圖3所示。錨節(jié)點(diǎn)記下其他錨節(jié)點(diǎn)或者標(biāo)簽發(fā)送來(lái)的TOA數(shù)據(jù)包的時(shí)戳，并且將這些信息發(fā)送給定位服務(wù)器，由它進(jìn)行時(shí)鐘偏移估計(jì)計(jì)算。

圖3 錨節(jié)點(diǎn)位置設(shè)置

4.1 時(shí)鐘差異估計(jì)結(jié)果

通過(guò)蒙特卡洛仿真實(shí)現(xiàn)文中提及的頻率偏移估計(jì)算法的評(píng)估，如圖4所示。四個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的頻率各自顯示出10，15，20，30的周期性正弦變化。[{σe（1，j），j=2，3，4}]是三個(gè)各自獨(dú)立的[{e1j，j=2，3，4}]頻率偏移平方根方差。均方根誤差結(jié)果是平均超過(guò)10 000個(gè)獨(dú)立噪聲實(shí)現(xiàn)。

通過(guò)仿真，隨著數(shù)據(jù)量的增加，隨著之前數(shù)據(jù)的代入，誤差估計(jì)效果將進(jìn)一步提高。

4.2 標(biāo)簽定位結(jié)果

在圖5中，隨著不同的[T]周期均方根誤差和CRLB顯示了標(biāo)簽定位結(jié)果，首先能得出如果[T]值取得足夠小，RMSE和CRLB就會(huì)減小，這是由于時(shí)鐘漂移的變化遠(yuǎn)小于“眨眼”周期。雖然在“眨眼”周期[T]很小時(shí)，能得到更加精確的標(biāo)簽定位估計(jì)，但是由于隨之而來(lái)的錨節(jié)點(diǎn)“眨眼”產(chǎn)生的大量的信息和數(shù)據(jù)，從考慮系統(tǒng)穩(wěn)定角度需要限制定位標(biāo)簽的數(shù)量。所以一個(gè)適當(dāng)?shù)腫T]值是必要的。另一方面，當(dāng)TOA測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差在[σf]之下，RMSE會(huì)遠(yuǎn)大于CRLB。這是因?yàn)門OA測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差[σn]小于[σf]時(shí)，由于隨機(jī)的時(shí)鐘波動(dòng)而引起的鐘差占主導(dǎo)因素。

圖4 對(duì)TOA測(cè)量時(shí)鐘頻率偏移RMSE估計(jì)，

T=0.1，0.2，0.4，0.8

圖5 在不同錨節(jié)點(diǎn)眨眼間隔下，標(biāo)簽位置估計(jì)

的CRLB與RMSE比較

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一個(gè)新的無(wú)線傳感器TDOA時(shí)間同步補(bǔ)償算法。所有傳感器或者錨節(jié)點(diǎn)都裝備有相同標(biāo)稱頻率的石英時(shí)鐘。實(shí)際上錨節(jié)點(diǎn)彼此異步工作，錨節(jié)點(diǎn)間的頻率偏移通過(guò)錨節(jié)點(diǎn)“眨眼”估計(jì)?？柭鼮V波被用來(lái)提高估計(jì)性能并減少計(jì)算量。這種方法簡(jiǎn)單并且極大方便異步錨節(jié)點(diǎn)的無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)。

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