摘 要： 提出一種基于數(shù)字采樣任意波形的交流信號真有效值計算方法。該算法通過等間隔采樣獲得信號一定時長的樣本數(shù)據(jù)并對樣本數(shù)據(jù)進行逐點平方，依據(jù)信號的最低頻率分量和精度要求設計合適的數(shù)字低通濾波器，通過對信號樣本平方序列進行低通濾波并對結(jié)果開方就可獲得信號的真有效值。經(jīng)過仿真分析和實際測量表明，該算法結(jié)果和波形無關(guān)，能夠滿足頻率及波形隨機變化的應用要求。

關(guān)鍵詞： 數(shù)字測量； 真有效值； 整周期采樣； 低通濾波器

中圖分類號： TN713+.4?34； TM930.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）13?0053?03

Abstract： In this paper， the true RMS algorithm for AC signal based on digital sampling arbitrary waveform is presented， with which the certain duration sample data is acquired by equal interval sampling， and then squaring is proceeded point?by?point. The digital low?pass filter was designed according to the lowest frequency component and accuracy requirements of AC signal. The true RMS of AC signal is obtained by conducting low?pass filtering of signal sample square sequence and squaring filtering results. Simulation analysis and practical measured results show that the result from the algorithm is independent of waveform， and can meet the application requirements of random variation for frequency and waveform.

Keywords： digital measurement； true RMS； whole period sampling； low?pass filter

0 引 言

RMS（真有效值）是交流信號幅度的基本量度，能反映電流流過導體產(chǎn)生的熱效應， 具有實際的應用價值。由于電力電子技術(shù)的飛速發(fā)展，各種電力電子裝置在工業(yè)、交通及電力系統(tǒng)中的應用日益廣泛，電壓、電流波形的畸變也日趨嚴重，在科學實驗和實際生產(chǎn)中， 會遇到大量的非正弦波，而傳統(tǒng)測量儀表將被測信號假定為標準的正弦波，采用的是平均值轉(zhuǎn)換法對其進行測量，然后乘以修正系數(shù)，這將導致非正弦信號測量時誤差比較大。

交流信號有效值測量既可以借助專用硬件[1?3]也可以通過數(shù)字測量技術(shù)實現(xiàn)，而數(shù)字測量技術(shù)只要滿足奈奎斯特采樣頻率條件就可測得真有效值。硬件的方法主要使用專門設計的真有效值RMS/DC轉(zhuǎn)換器來作為儀表的前端轉(zhuǎn)換電路，通過測量熱電偶的輸出電勢間接獲得電流有效值，而數(shù)字采樣法分為簡單數(shù)值積分算法[4]、準同步算法[5]及插值算法[6]，這些算法都是基于信號真有效值的定義，先通過采用同步或準同步及插值等方法來減小信號的采樣泄漏，再根據(jù)信號兩個由負到正的上升沿確定信號周期，最后通過均方根法計算信號的有效值。

上述專用硬件方法都借助特殊的硬件將交流有效值轉(zhuǎn)換為直流，再通過ADC轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號。雖然準確度高、頻帶寬，但結(jié)構(gòu)復雜，系統(tǒng)成本高，轉(zhuǎn)換器件非線性引入的測量誤差將隨著被測信號頻率的降低而急劇增大。目前的數(shù)字采樣方法基于信號真有效值的定義，利用數(shù)值積分的方法實現(xiàn)有效值計算，通過采用同步、準同步或插值等方法來減小采樣泄漏，不但計算復雜，而且波形復雜，一個周期存在多個過零點的情況會導致計算出錯。

針對上述問題，本文提出一種基于低通濾波的真有效值計算方法，簡單快速、計算精度高。

1 算法的理論基礎

根據(jù)奈奎斯特采樣定理，需要將數(shù)字化的模擬信號的帶寬限制在采樣頻率[fs]的一半以下。設待測信號為周期信號，具有離散頻譜，如圖1所示。經(jīng)過前置模擬低通濾波器后得到[x（t）]，其最高頻率為[fmax，]對應的最高諧波（或間諧波）次數(shù)為[hmax，]則下式成立：

[fmax

式中[Ts]為采樣間隔。

可得[x（t）]的傅里葉展開式為：

[x（t）=a0+k=1hmaxakcos（ωkt+φk）] （2）

式中：[ω1]為信號最低角頻率；[a0，a1，a2，a3，…]分別為直流分量和各次諧波分量的最大值；[φ1，φ2，φ3，…]是各次分量的初相角。

對式（2）兩邊取平方，有：

[x2（t）=a0+k=1hmaxakcos（ωkt+φk）2=a20+12k=1hmaxa2k+12k=1hmaxa2kcos（2ωk+2φk）+2a0k=1hmaxakcos（ωk+φk）+k=1hmaxakj=k+1hmaxajcos[（ωk-ωj）+（φk-φj）]+k=1hmaxakj=k+1hmaxajcos[（ωk+ωj）+（φk+φj）] （3）]

令：

[X2=a20+12k=1hmaxa2k] （4）

[R2=12k=1hmaxa2kcos（2ωk+2φk）+2a0k=1hmaxakcos（ωk+φk）+k=1hmaxakj=k+1hmaxajcos[（ωk-ωj）+（φk-φj）]+k=1hmaxakj=k+1hmaxajcos[（ωk+ωj）+（φk+φj）]]（5）

則有：

[x2（t）=X2+R2] （6）

式中：[x2（t）]為信號[x（t）]的瞬時能量，它由兩部分組成，其中[X2]為信號瞬時能量中的直流分量，而[R2]則代表信號瞬時能量中的交流部分。

根據(jù)信號真有效值的定義， 信號[x（t）]的有效值[X]表示如下：

[X=1T0Tx2（t）dt=1T0Ta0+k=1hmaxakcos（ωkt+φk）2dt] （7）

根據(jù)式（6）和式（7），有：

[X2=1T0TX2dt+1T0TR2dt=X2+1T0TR2dt≈X2] （8）

在保證同步采樣條件下，式（8）中[R2]周期數(shù)值積分為0，而非同步采樣時，式（8）中[R2]周期數(shù)值積分不為0導致計算誤差，當[x（t）]中包含間諧波分量時，將導致難以選擇一個合適的積分周期。若設式（5）中[R2]最低頻率為[ωmin，]則：

[ωmin=min{ωk-ωj}，1≤k≤hmax，1≤j≤hmax，k≠j] （9）

顯然[ωmin≤ω1，]而當[x（t）]中不含間諧波分量時有[ωmin=ω1，]參照文獻[7]，在考慮間諧波影響時保證[ωmin<]5 Hz即可。若利用一個阻帶截止頻率為[ωmin]的理想低通濾波器對式（6）進行濾波，濾除[R2]分量后將得到和式（8）同樣的結(jié)果，再對濾波器的結(jié)果取平方根即得信號的真有效值。顯然，采用低通濾波法比積分法優(yōu)越，無需同步采樣的條件，只要濾波器選擇合適就可以得到滿意的結(jié)果。

2 具體實現(xiàn)方式

本文給出的算法可通過下面的步驟實現(xiàn)：

（1） 以間隔[Ts]對信號[x（t）]進行等間隔連續(xù)采樣，得到離散序列{[x（nTs）]}（以下簡稱{[x（n）]}）；

（2） 對序列{[x（n）]}進行點到點相乘得到序列{[y（n）]}，且保證[y（n）=x2（n）]；

（3） 根據(jù)采樣率[fs=1Ts]和[x2（t）]最低的差頻分量[ωmin]確定低通濾波器阻帶截止頻率[ωs，]根據(jù)信號最大幅值和計算精度確定低通濾波器的阻帶衰減，并據(jù)此設計濾波器，得到單位取樣響應[h（n）]；

（4） 對序列{[y（n）]}進行數(shù)字濾波：

[X（n）=m=-∞∞y（n-m）h（m）=m=-∞∞x2（n-m）h（m）] （10）

（5） 對式（10）的結(jié)果開方即得信號[x（t）]在[nTs]時刻的有效值。

3 低通濾波器參數(shù)選擇

在本文中，低通濾波器直接影響計算量和計算精度，而式（9）中[R2]的最低差頻分量為[ωmin，]對應周期為[Tmax（=][2πωmin），]故濾波器的單位取樣響應[h（n）]的長度[N]應滿足下式：

[N>TmaxTs] （11）

式中：[Ts]為采樣間隔。[N]取決于信號中最低差頻頻率分量的周期，而為保證濾波效果，濾波的沖擊響應長度一般要取到信號周期的4倍以上，考慮間諧波影響時，[N]取值應進一步延長。根據(jù)式（5），為保證算法誤差滿足要求，濾波器的通帶增益應為1，且必須對[R2]有足夠的衰減，阻帶截止頻率應滿足[ωs<ωmin。]

4 誤差分析

數(shù)字采樣法計算信號真有效值的誤差主要由ADC的綜合誤差及算法所產(chǎn)生的誤差造成。由于用離散求和代替積分，不可避免地會產(chǎn)生積分余項導致結(jié)果出現(xiàn)偏差，按文獻[8]， 積分余項與每個周期內(nèi)采樣點數(shù)[N]的平方成反比，[N]越大測量結(jié)果的準確度越高。此外，非同步采樣導致的泄漏會對傳統(tǒng)算法的精度帶來很大影響。而本文采用低通濾波器來獲得信號的真有效值且采樣點數(shù)超過信號一個完整周期，能有效抑制非同步采樣帶來的精度損失。

進一步研究式（5）發(fā)現(xiàn)，[R2]中包含差頻分量（beat frequency）[R2b，]基波[ω1]以上頻率分量[R2h，]定義[R2b]和[R2h]為：

[R2b=k=1hmaxakj=k+1hmaxajcos[（ωk-ωj）+（φk-φj）]] （12）

[R2h=12k=1hmaxa2kcos（2kω1+2φk）+2a0k=2hmaxakcos（kω1+φk）+k=1hmaxakj=k+1hmaxajcos[（ωk+ωj）+（φk+φj）]] （13）

按照低通濾波器理論，只要濾波器的截止頻率和阻帶衰減足夠大，則[R2h]對誤差的影響可以忽略不計，此外式（12）中差頻大于[ωs]的分量也將被濾除。結(jié)合式（4）和式（12），在經(jīng)過低通濾波器后，相對誤差可以用下式表示：

[ε≈R2bX2

考慮到公用電網(wǎng)中以基波分量為最大，直流分量、諧波和間諧波分量較?。ㄈ缥墨I[7]規(guī)定公用電網(wǎng)的間諧波分量不超過1%），實際使用時應根據(jù)諧波和間諧波含量及精度要求并結(jié)合式（14）選擇低通濾波器的阻帶衰減。由于間諧波之間的差頻分量及間諧波和整次諧波之間的差頻分量比較小，實際誤差主要為基波的間諧波集的均方根[7]和基波的均方根之比，比式（14）要小。而當間諧波譜線較密時，會導致[ωmin]變小，考慮其影響，應選擇較小的[ωs]和較長的采樣數(shù)據(jù)窗。當間諧波影響較小時，可選擇[x（t）]中基波變化到最低頻率時的頻點作為濾波器的截止頻率，可以減小計算量提高響應時間。

5 結(jié) 語

由于本文采用數(shù)字低通濾波器的方法進行真有效值計算，算法結(jié)果與信號波形無關(guān)，只要采樣頻率滿足奈奎斯特采樣頻率條件，理論上通過選擇合適的數(shù)據(jù)窗長度和低通濾波器就可用該算法來計算其真有效值，算法特別適用于需要對全數(shù)字采樣的含諧波交流信號真有效值進行準確計算的場合。算法和同類方法相比具有明顯的優(yōu)勢：

（1） 全數(shù)字計算，算法結(jié)構(gòu)簡單，無需專門RMS/DC的轉(zhuǎn)換硬件；

（2） 沒有以往算法因采樣泄漏導致的誤差[6]；

（3） 不受信號波形影響，無需檢測信號零點來計算周期；

（4） 低通濾波器的引入可以減少高頻噪聲的影響；

（5） 通過合理選擇低通濾波器的帶寬可以滿足低頻信號真有效值測量。

通過仿真、現(xiàn)場運行和行業(yè)入網(wǎng)測試表明，本文給出的算法精度完全可以滿足電力系統(tǒng)真有效值測量要求。目前該算法已成功應用在我公司的DMP5500智能變電站保護測控設備中，且獲國家知識產(chǎn)權(quán)局的發(fā)明專利授權(quán)[10]。

參考文獻

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