姚 翔， 吳盤龍， 陳尚敏

(南京理工大學(xué)自動化學(xué)院，南京 210094)

0 引言

近年來，隨著航天科技的飛速發(fā)展和對月球認(rèn)識的深入，月球已成為人類進(jìn)行深空探測的重要基礎(chǔ)，月球探測成為世界航天的熱點(diǎn)［1］。當(dāng)前月球衛(wèi)星主要依靠地面站進(jìn)行遙控遙測，月球衛(wèi)星與地面站距離較遠(yuǎn)，信號延遲大，月球背面不可見弧段等，且月球衛(wèi)星上必須裝備復(fù)雜而昂貴的測控和通信設(shè)備。因此，對月球衛(wèi)星進(jìn)行自主導(dǎo)航具有重要意義，一方面可以大大降低探測任務(wù)和地面支持的成本，另一方面有助提高月球衛(wèi)星的生存能力［2-4］。

X 射線脈沖星導(dǎo)航(XNAV)是一種適合于深空探測的新興天文自主導(dǎo)航技術(shù)，能夠?yàn)榻剀壍馈⑸羁蘸托请H空間飛行的航天器提供位置、速度、時間和姿態(tài)等高精度導(dǎo)航信息［5-6］。XNAV 不與外界進(jìn)行信息傳輸和交換，具有抗干擾能力強(qiáng)、可靠性高、適用范圍廣和誤差不隨時間積累的優(yōu)點(diǎn)，發(fā)展?jié)摿艽螅诤教祛I(lǐng)域具有巨大的應(yīng)用前景［7］。

本文提出一種基于X 射線脈沖星導(dǎo)航的月球衛(wèi)星自主導(dǎo)航方法。結(jié)合月球衛(wèi)星軌道動力學(xué)方程和脈沖星的量測信息，利用分段式定常系統(tǒng)(PWCS)的可觀測性分析方法對導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分析，并采用航天領(lǐng)域廣泛使用的擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。最后，通過數(shù)學(xué)仿真，驗(yàn)證了該系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)月球衛(wèi)星的自主導(dǎo)航。

1 導(dǎo)航系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1．1 月球衛(wèi)星軌道動力學(xué)方程

選取歷元(J2000．0)月心赤道慣性坐標(biāo)系，月球衛(wèi)星軌道動力學(xué)方程可以表示為［8］

可簡寫為一般的狀態(tài)方程

式中，X(t)=［x，y，z，vx，vy，vz］為狀態(tài)變量，其中，x，y，z，vx，vy，vz分別表示3 個坐標(biāo)軸所在方向航天器的位置與速度2 為航天器與月心的距離;μm=0．49028×1013m3/s2為月球引力常數(shù);J2m=203．8×10-6為月球引力二階帶諧項(xiàng)系數(shù);Rm為月球的平均半徑;Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z表示航天器受到的攝動在x，y，z 3 個方向上的分量，包含月球的非球形因素;w(t)為等效的隨機(jī)白噪聲。

1．2 脈沖星導(dǎo)航量測方程

X 射線脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)的量測量是脈沖到達(dá)航天器與到達(dá)太陽系質(zhì)心(SSB)的時間之差。脈沖到達(dá)航天器的時間通過航天器上的X 射線探測器觀測得到，而到達(dá)SSB 時間是通過脈沖星鐘模型預(yù)報得到的［9］。脈沖星導(dǎo)航基本原理如圖1 所示。

圖1 脈沖星導(dǎo)航原理Fig．1 Geometric navigation principle based on X-ray pulsar

圖中:tsat和tSSB分別為脈沖信號到達(dá)航天器和SSB的時間;r 為航天器相對月球的位置矢量;rm為月球相對SSB 的位置矢量;rsat=rm+r 為航天器相對太陽系質(zhì)心的位置矢量;反映了rsat在脈沖星方向矢量n 上的投影。脈沖星的方向矢量為

式中，λ 和α 分別為SSB 坐標(biāo)系下脈沖星的赤經(jīng)和赤緯。

航天器測得的脈沖到達(dá)時間經(jīng)過時間變換后，相對于太陽系質(zhì)心的位置與時間差之間的關(guān)系可表示為

式中:c 為光速;b 為太陽系質(zhì)心(SSB)相對太陽質(zhì)心的位置矢量;D0為太陽質(zhì)心與脈沖星之間的距離。式(4)右邊開始第一項(xiàng)表示兩個位置間簡單的幾何時間延遲，稱之為Doppler 延遲;第二項(xiàng)是由時差效應(yīng)引起的Roemer 延遲效應(yīng);最后一項(xiàng)是太陽引力場產(chǎn)生的光程彎曲所造成的太陽Shapiro 延遲效應(yīng)。

X 射線脈沖星導(dǎo)航精度主要取決于脈沖到達(dá)時間(TOA)TTOA的測量精度σTOA。而TTOA的測量精度σTOA又是由脈沖輪廓的信噪比(SNR)RS，N決定的［10］。X 射線脈沖星輻射信號的信噪比為信號光子數(shù)Np和噪聲σN的比值，所示［11］為

式中:BX為X 射線背景輻射流量，根據(jù)Naval 實(shí)驗(yàn)室的經(jīng)驗(yàn)，一般取值為0．005 ph/(cm2·s-1);FX為X 射線輻射光子流量;pf為脈沖信號輻射相對脈沖星總輻射的比值;A 為探測器面積;T 為脈沖信號的觀測時間;d 為脈沖寬度W 與脈沖周期P 的比值。

對于一個給定的觀測，TTOA測量精度可通過脈沖寬度和脈沖信噪比確定，即

此精度表示基于單個觀測的脈沖到達(dá)時間分辨率，一個TOA 量測可用于確定在視線方向上探測器到參考點(diǎn)之間的距離，距離測量精度為

設(shè)置探測器面積A=1 m2。表1 給出了X 射線脈沖星的參數(shù)，表2 給出了4 顆脈沖星的距離觀測精度隨觀測時間變化的關(guān)系。

表1 X 射線脈沖星參數(shù)Table 1 Parameters of the X-ray pulsars

表2 距離觀測精度隨時間變化關(guān)系Table 2 Range measure accuracy with observation time

距離觀測精度隨時間變化情況如圖2 所示。

圖2 距離觀測精度隨時間變化圖Fig．2 The range measurement accuracy with the observation time

由圖2 和表2 可知，觀測時間越長，距離觀測精度就越高。但是，累積時間越長會導(dǎo)致累積誤差越大，那么導(dǎo)航系統(tǒng)誤差就越大。

2 系統(tǒng)可觀測性分析

在一個足夠小的時間區(qū)間內(nèi)，如果線性時變系統(tǒng)的系數(shù)矩陣變化量可以忽略不計，那么，在該時間區(qū)間內(nèi)就可以把時變系統(tǒng)當(dāng)作定常系統(tǒng)處理，則稱這樣的系統(tǒng)為PWCS，對其進(jìn)行可觀測分析的步驟和算法稱為PWCS 可觀測性分析方法［12-13］。

對于離散型系統(tǒng)

式中:

為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，I 為6 ×6 階單位矩陣;雅可比矩陣為

其中，03×3為3 ×3 階零矩陣，I3×3為3 ×3 階單位矩陣，

根據(jù)PWCS 可觀測性分析方法，系統(tǒng)可觀測性矩陣O 定義為

3 仿真結(jié)果與分析

月球衛(wèi)星的標(biāo)稱軌跡由STK 生成，選取的4 顆脈沖星如表1 所示。仿真條件如下。

1)月球衛(wèi)星軌道參數(shù):半長軸為1938．2 km，偏心率為0°，傾角為0°，赤經(jīng)為0°，近地點(diǎn)幅角為0°;

2)采樣時間為500 s;

3)X 射線探測器面積為1 m2;

由于系統(tǒng)是非線性的，選擇EKF 濾波算法來估計導(dǎo)航系統(tǒng)的狀態(tài)。仿真結(jié)果如圖3 ～圖4 所示，狀態(tài)估計誤差均值如表3 所示。

圖3 各軸上的位置誤差Fig．3 Position estimation error of each axis

圖4 各軸上的速度誤差Fig．4 Velocity estimation error of each axis

表3 狀態(tài)估計誤差均值Table 3 The average values of estimation errors

圖3 ～圖4 和表3 分別給出了x，y 和z 軸上的位置和速度誤差曲線及誤差均值，該導(dǎo)航方法能夠提供月球衛(wèi)星位置和速度，并且達(dá)到較高的導(dǎo)航精度，是一種適于月球衛(wèi)星自主導(dǎo)航的方法。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于X 射線脈沖星的月球衛(wèi)星自主導(dǎo)航方法，以月球衛(wèi)星的位置和速度作為狀態(tài)量，X射線探測器獲得的脈沖到達(dá)時間作為觀測量，分析了脈沖星的距離測量精度，并采用PWCS 可觀測性分析方法對導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分析，結(jié)果表明系統(tǒng)是完全可觀測的，最后采用衛(wèi)星導(dǎo)航領(lǐng)域廣泛使用的EKF 濾波算法進(jìn)行狀態(tài)估計，該導(dǎo)航系統(tǒng)能夠提供較高精度的位置和速度信息。因此，該方法是一種可行的月球衛(wèi)星自主導(dǎo)航方法。

［1］ 寧曉琳，馬辛．基于天文和陸標(biāo)觀測的月球衛(wèi)星自主導(dǎo)航方法［J］．宇航學(xué)報，2010，31(7):1737-1747．(NING X L，MA X． Autonomous navigation for lunar satellites using celestial objects and landmarks［J］．Journal of Astronautics，2010，31(7):1737-1747．)

［2］ 吳偉仁，王大軼，寧曉琳．深空探測器自主導(dǎo)航原理與技術(shù)［M］． 北京:中國宇航出版社，2011． (WU W R，WANG D Y，NING X L．Autonomous navigation principles and techniques for deep space probes［M］．Beijing:China Astronautic Publishing House，2011．)

［3］ NING X L，F(xiàn)ANG J C． Spacecraft autonomous navigation using unscented particle filter-based celestial/Doppler information fusion［J］．Measurement Science ＆ Technology，2008，19(9)．doi:10．108810957-0233/19/9/095203．

［4］ 潘曉剛，矯媛媛，周海銀．基于多傳感器天文信息的自主主導(dǎo)航算法及可觀測性分析［J］．空間科學(xué)學(xué)報，2014，34(1):116-126．(PAN X G，JIAO Y Y，ZHOU H Y．Algorithm of astronomy autonomous navigation based on multisensor and the analysis of observability［J］．Chinese Journal of Space Science，2014，34(1):116-126．)

［5］ SHEIKH S I，PINES D J，RAY P S，et al．Spacecraft navigation using X-ray pulsars［J］．Journal of Guidance Control and Dynamics，2006，29(1):49-63．

［6］ 楊成偉，鄭建華，李明濤，等．暈軌道X 射線脈沖星自主導(dǎo)航和軌道維持研究［J］．武漢大學(xué)學(xué)報:信息科學(xué)版，2014，39(3):258-261．(YANG C W，ZHENG J H，LI M T，et al．Autonomous navigation and control in halo orbit based on XNAV［J］．Geomatics and Information Science of Wuhan University，2014，39(3):258-261．)

［7］ 費(fèi)?？。?，杜健，等．X 射線脈沖星導(dǎo)航研究的若干問題［J］． 裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報，2013，27(3):1-8．(FEI B J，YAO G Z，DU J，et al．Some problems of research on X-ray pulsar-based navigation［J］．Journal of Academy of Armored Force Engineering，2013，27(3):1-8．)

［8］ 李茂登，荊武興，黃翔宇．考慮月球扁率修正的月球衛(wèi)星自主導(dǎo)航［J］． 宇航學(xué)報，2012，33(7):896-902． (LI M D，JING W X，HUANG X． Autonomous navigation for lunar satellite with lunar oblateness correction［J］．Journal of Astronautics，2012，33(7):896-902．)

［9］ LIU J，MA J，TIAN J W，et al．X-ray pulsar navigation method for spacecraft with pulsar direction error［J］．Advances in Space Research，2010，46(11):1409-1417．

［10］ WU J Y，YANG Z H，YANG N N．The accuracy analysis of the spacecraft autonomous navigation system based on X-ray pulsars［J］． Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part I:Journal of Systems and Control Engineering，2013，227(1):121-128．

［11］ SHEIKH S I，PINES D J．Recursive estimation of spacecraft position and velocity using X-ray pulsars time of arrival measurements［J］．Navigation，Journal of the Institute of Navigation，2006，53(3):149-166．

［12］ 帥平，陳定昌，江涌．GPS/SINS 組合導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測度分析方法［J］．宇航學(xué)報，2004，25(2):219-224．(SHUAI P，CHEN D C，JIANG Y．Observable degree analysis method of integrated GPS/SINS navigation system［J］．Journal of Astronautics，2004，25(2):219-224．)

［13］ GOSHEN-MESKIN D，BAR-ITZHACK I Y．Observability analysis of piece-wise constant system-part I:theory［J］． IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systems，1992，28(4):1056-1067．