武利猛，張 娟，申玉發(fā)，鄭國萍，楊曉靜

(1 河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，河北 秦皇島，066004；2 河北科技師范學(xué)院科研處)

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時標(biāo)上二階動力方程m點邊值問題的正解

武利猛，張 娟，申玉發(fā)，鄭國萍，楊曉靜

(1 河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，河北 秦皇島，066004；2 河北科技師范學(xué)院科研處)

時標(biāo)；邊值問題；正解

近年來，時標(biāo)作為數(shù)學(xué)的一個新研究分支已引起了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。一方面，它統(tǒng)一和推廣了現(xiàn)有的微分方程和差分方程的理論；另一方面，時標(biāo)上動力方程的研究對于刻畫真實現(xiàn)象和過程的數(shù)學(xué)模型有著重要應(yīng)用。例如：時標(biāo)上的種群動力學(xué)、流行病模型、金融消費過程的數(shù)學(xué)模型等。 越來越多的學(xué)者對在時標(biāo)上利用不動點定理解決動力方程的邊值問題產(chǎn)生了很大興趣[1～7]。目前，關(guān)于時標(biāo)上二階混合導(dǎo)數(shù)動力方程m點邊值問題正解存在性的文章并不多見[8,9]。筆者借助于Guo-Krasnosel'skii不動點定理和Leggett-Williams不動點定理得到了至少存在2個正解和3個正解的判別條件，其中本次研究所討論的邊值問題在方程類型上有別于文獻[8,9]，所得結(jié)果推廣了文獻[3]的研究結(jié)果。

本次將研究時標(biāo)T上具有混合導(dǎo)數(shù)的動力方程m點邊值問題

(1)

(2)

假設(shè)下列條件成立

(H1) q(t)∈Cld([t1,t2],[0,∞)),且存在t0∈[t1,t2]，使得q(t0)>0。

(H2) f:[t1,t2]×[0,∞)→[0,∞)連續(xù)，且在T的任意一個包含t0的子集上f(t,·)>0。

在給出主要結(jié)果之前，先介紹一些基本定義和引理。

定義1 令Banach空間E=Cld[t1,t2]且范數(shù)‖u‖=supt∈[t1,t2]|u(t)|，定義錐P?E，且P={u∈E|u在[t1,t2]中是凹的，非增且非負(fù)}。

(A1) ‖Au‖≤‖u‖,?u∈K∩?Ω1，且‖Au‖≥‖u‖,?u∈K∩?Ω2

或者

(A2) ‖Au‖≥‖u‖,?u∈K∩?Ω1，且‖Au‖≤‖u‖,?u∈K∩?Ω2

引理2[3](Leggett-Williams不動點定理) 令P是實Banach空間E中的錐。定義

Pr={u∈P:‖u‖

(B1) {u∈P(ψ,q,l);ψ(u)>q}≠φ，且對于u∈P(ψ,q,l), ψ(Au)>q。

(B2) ‖Au‖

(B3) ψ(Au)>q，對于u∈P(ψ,q,r)且‖Au‖>l。

為了研究邊值問題(1)，(2)，首先研究如下形式的線性m點邊值問題

(3)

(4)

引理3 如果h(t)∈Cld(T,R)，那么邊值問題(3)，(4)有唯一解

(5)

證明 對式(3)從t1到t進行積分，得到

(6)

再對式(6)從t1到t進行積分，得到

(7)

令t=ξi,t2分別代入式(6)，有

(8)

(9)

(10)

令t=ξi,t2分別代入式(7)，可得

(11)

(12)

(13)

將式(10)，(13)代入式(7)，可以在[t1, t2]得到式(5)。

證明 由uΔ(t)=h(t)≤0, 得到u(t)在[t1, t2]是凹的，那么uΔ(t)是遞減的。uΔ(ξi)≤uΔ(t1), i=1,2,…m-2, 由式(3) 知

引理5 如果u∈P，則

(14)

易知邊值問題(1)，(2)有解， u=u(t)當(dāng)且僅當(dāng)u是算子方程的不動點。

2 主要結(jié)果

則邊值問題(1)，(2)至少有2個正解u1(t)和u2(t)，使得0≤‖u1(t)‖≤p1≤‖u2(t)‖。

證明 由條件(H1)，(H2)，引理4和引理5可知AP?P。容易驗證A:P→P是全連續(xù)映射。設(shè)Ω1={u∈E:‖u‖

則由(i)可知

從而可知‖Au‖≥‖u‖， u∈P∩?Ω1。

首先，工具便利引發(fā)民意浪潮。新媒體平臺上“人人都是發(fā)言人”，對政策的態(tài)度和情緒能夠隨時隨地“漂入”政治流中，而數(shù)據(jù)庫的存在進一步使得這些民意在短期內(nèi)不會“漂出”，決策者需要時可以進行批量采集和提取，為政策變遷提供民意依據(jù)和參考。因此，新媒體工具大大增強了公眾參與政策討論的效能感，網(wǎng)絡(luò)民意不斷涌現(xiàn)。在本研究采集的500條微博文本中，有43條微博反映了普通公民的政策意向，占“政策觀點”類樣本總量的37.5%，遠遠高于傳統(tǒng)媒體中民意表達的數(shù)量占比。

設(shè)Ω2={u∈E:‖u‖

令Ω3={u∈E:‖u‖<λR}，選取u∈P且‖u‖=λR，有

綜上討論可知邊值問題(1)，(2)至少有2個正解u1(t)和u2(t)，使得0≤‖u1(t)‖≤p1≤‖u2(t)‖。

證畢。

推論1 假設(shè)下列條件成立：

(C1) f0=f∞=∞;

則邊值問題(1)，(2)至少有2個正解u1(t)和u2(t)，使得0≤‖u1(t)‖≤p1≤‖u2(t)‖。

定理2 假設(shè)條件(H1),(H2)成立， 0

則邊值問題(1)，(2)至少有3個正解u1(t), u2(t), u3(t)使得‖u1‖b,‖u3‖>a, ψ(u3)

由bλ∈P(ψ,b,bλ)且ψ(bλ)=bλ>b，{u∈P(ψ,b,bλ):ψ(u)>b}≠φ，選取u∈P(ψ,b,bλ)，則b≤u(ξm-2)≤u(t)≤‖u(t)‖≤bλ, t∈[t1, ξm-2]。

由條件(ii)，當(dāng)t∈[t1, ξm-2]得

由條件(iii)可知，當(dāng)‖u‖≤a得

從而可知引理2中的條件(B2)成立。

3 應(yīng)用舉例

例1 令T=[0,1]∪[2,3]考慮邊值問題

(15)

(16)

(17)

(18)

[1] Bohner M,Peterson A.Dynamic Equations on Time Scales:an Introduction with Applications[M].Boston:Birkh?user,2001.[2] Bohner M,Peterson A.Advances in Dynamic Equations on Time Scales[M].Boston:Birkh?user,2003.

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(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Positive Solutions tom-point Boundary Value Problems for Second Order Dynamic Equations on Time Scales

WU Li-meng1, ZHANG Juan2, SHEN Yu-fa1, ZHENG Guo-ping1,YANG Xiao-jing1

(1 School of Mathematics and Information Technology, Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei, 066004;2 Office of Science and research, Hebei Normal University of Science & Technology; China)

time scales; boundary value problem; positive solutions

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.005

國家自然科學(xué)基金項目(項目編號：11171113，11401385)；河北省自然科學(xué)基金項目(項目編號：A2015407063)；秦皇島市科學(xué)技術(shù)研究與發(fā)展計劃項目(項目編號：201401A038)；河北科技師范學(xué)院博士基金資助項目(項目編號：2013YB008)。

2015-05-18; 修改稿收到日期: 2015-06-24

O

A

1672-7983(2015)02-0020-07

武利猛(1983-)，男，博士，講師。主要研究方向：微分方程理論。