任蘊麗,張麗娟,2,陳佐利,俞百印

(1 河北科技師范學院數(shù)學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004；2 河北省定州市實驗中學)

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兩個符號半動力系統(tǒng)的乘積系統(tǒng)的動力學性質

任蘊麗1,張麗娟1,2,陳佐利1,俞百印1

(1 河北科技師范學院數(shù)學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004；2 河北省定州市實驗中學)

動力系統(tǒng)；周期點；拓撲傳遞；拓撲混合；正向可擴

動力系統(tǒng)的一個核心問題是研究軌線的漸近性態(tài)和拓撲結構[1]。由于一般動力系統(tǒng)的動力性質是很難研究的，如非線性微分方程定義的動力系統(tǒng)。因此，選擇一個典型的容易研究的非線性動力系統(tǒng)，并通過該動力系統(tǒng)來研究一般動力系統(tǒng)的動力性質就顯得尤為重要[2]。一個典型動力系統(tǒng)就是符號動力系統(tǒng)[3～5]。正是由于符號半動力系統(tǒng)是研究一般動力系統(tǒng)軌線的漸近性態(tài)和拓撲結構的強有力的工具，越來越多的學者投入到符號半動力系統(tǒng)相關問題的研究。動力學性質的研究是一個遠未解決的課題[6]，麥結華等[7]討論了有限個符號生成的符號動力系統(tǒng)的幾乎周期點、回復點及混沌集，以及它們之間的拓撲共軛問題。陳秀慶[8]討論了可列無窮個符號組成的無窮序列空間∑(z*)上移位映射σ的一些動力學性質。目前，有關符號動力系統(tǒng)的研究多是圍繞一個符號半動力系統(tǒng)所進行的，筆者主要考察兩個符號半動力系統(tǒng)的乘積系統(tǒng)的動力學性質，包括周期性、拓撲傳遞性、拓撲混合性以及正向可擴性和混沌性質。

1 基本概念及引理

定義1[9]設X為緊致度量空間， f:X→X為連續(xù)映射。X上的連續(xù)自映射列{f0, f1, f2,…}叫做“X上由連續(xù)自映射f經迭代而生成的離散拓撲半動力系統(tǒng)”；當f為同胚映射時，則得到{…f-1, f0, f1, f2,…}，叫做“X上由連續(xù)自映射f經迭代而生成的離散拓撲動力系統(tǒng)”，記作(X, f),稱為動力系統(tǒng)。

定義3[9]設f為X上的連續(xù)映射。如果對任意的開集U，V，存在正整數(shù)N，使得當n≥N時，有fn(U)∩V≠Φ，則稱f是拓撲混合的。

定義4[9]設f為X上的連續(xù)映射。如果存在δ>0，使得對于任意的x,y∈X, x≠y，存在n≥0，使得d(fn(x), fn(y))≥δ，則稱f為正向可擴的。

定義5[9]如果存在δ>0，使得對每一點x∈X和x的任意鄰域Ux，存在y∈Ux和n>0滿足d(fn(x), fn(y))>δ，則稱f對初值敏感依賴，δ稱為敏感常數(shù)。

定義6[9]如果下述3個條件得到滿足，則稱f在Devaney意義下是混沌的。

(1)f是拓撲傳遞的；

(3)f對初值敏感依賴。

下面介紹本次研究中要用到的幾個引理。

引理2 對任意集合A，B，C，D，有(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)。

證明 一方面，任取(x,y)∈(A×B)∩(C×D)，那么(x,y)∈A×B并且(x,y)∈C×D。所以x∈A并且x∈C，即x∈A∩C。同理，y∈B∩D。所以(x,y)∈(A∩C)×(B∩D)，即(A×B)∩(C×D)?(A∩C)×(B∩D)。

另一方面，任取(x,y)∈(A∩C)×(B∩D)，則x∈A∩C, y∈B∩D，故(x,y)∈A×B，且(x,y)∈C×D。因此(x,y)∈(A×B)∩(C×D)。從而(A∩C)×(B∩D)?(A×B)∩(C×D)。故(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)。

引理3 設拓撲空間X沒有孤立點， f為X上的連續(xù)映射。若f是正向可擴的，則f對初值敏感依賴。

證明 由于f是正向可擴的，故存在δ>0，使得對于任意x，y∈X， x≠y,存在n≥0，使得d(fn(x), fn(y))≥δ。

2.1 σ×σ的周期性

對于研究動力系統(tǒng)中點的軌道的漸近性質和拓撲結構這一問題，只有具有某種回復性的點的軌道才是重要的。本次研究討論的周期性便是一種特殊的回復性質。

2.2 σ×σ的拓撲傳遞性

(1) 施做注漿錨桿：由于普通自進式中空注漿錨桿在TBM掘進過程中會對刀盤形成嚴重損壞，因此掌子面注漿采用Φ32玻璃纖維自進式中空注漿錨桿，通過刀孔或人孔向掌子面施做。錨桿長度根據刀盤內空間和錨桿具體施做位置確定，一般為2.0 m～3.0 m，間排距取1.0 m～1.5 m。

2.3 的拓撲混合性

映射f在X上的作用可以看做f在X上引起的一個運動，不同的作用引起不同的運動，有的復雜劇烈，有的簡單平緩。在某種意義上給出這種運動的混亂和復雜程度的一種描述或者分類十分重要，拓撲混合性就是描述系統(tǒng)復雜程度的一個概念。下面討論σ×σ的拓撲混合性。

取N=max{k+1, l+1}，則當n≥N時，σnU∩U1≠Φ且σnV∩V1≠Φ。由引理2.2知，(σnU∩U1)×(σnV∩V1)=(σnU×σnV)∩(U1×V1)=(σ×σ)n(U×V)∩(U1×V1)。

因此，當n≥N時，(σ×σ)n(U×V)∩(U1×V1)≠Φ，故σ×σ是拓撲混合的。

2.4 σ×σ的正向可擴性和混沌性質

混沌是描述系統(tǒng)復雜性的一個重要概念，自20世紀70年代以來，混沌性質的研究已經成為動力系統(tǒng)的核心問題之一。本次研究借助正向可擴性討論σ×σ的混沌性質。

故σ×σ是正向可擴的。

證明 根據引理3，定理2，定理3，定理5可得。

[1] 楊蕓.平面動力系統(tǒng)極限集的新性質[D].合肥:安徽大學,2010.

[2] 成丹丹.乘積符號動力系統(tǒng)[D].西安:西北大學,2009.

[3] Akashi S.Embedding of expansive dynamical systems into symbolic dynamical systems[J].Reports on Mathematical Physics，2000,46:11-14.

[4] Douglas Cenzer,S Ali Dashti,Jonathan L F King.Effective symbolic dynamics[J].Electronic Notes in Theoretical Computer Science,2008,202:89-99.

[5] 葉向東,黃文，邵松.拓撲動力系統(tǒng)概論[M].北京:科學出版社,2008.

[6] 黎日松,吳華明.符號動力系統(tǒng)(∑(z+)，σ)的若干性質[J].湛江海洋大學學報:自然科學,2006,26(5):71-74.

[7] 麥結華,林桂蓮.符號動力系統(tǒng)的若干性質[J].廣西大學學報：自然科學版,1993,18(3):23-30.

[8] 陳秀慶.一般符號動力系統(tǒng)子位移的拓撲混合[D].杭州:浙江大學,2003.

[9] 周作領.符號動力系統(tǒng)[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?1997.

(責任編輯：朱寶昌)

Properties of the Product System of Two Symbolic Semi-dynamical Systems

REN Yun-li1,ZHANG Li-juan1,2,CHEN Zuo-li1,YU Bai-yin1

(1 School of Mathematics and Information Science & Technology,Hebei Normal University of Science & Technology,Qinhuangdao Hebei,066004;2 Dingzhou Experimental Middle School of Hebei Province;China)

This paper discusses dynamical properties of the product of two symbolic semi-dynamical systems in the respects of the system’s recurrence, indecomposability and complexity. The results are as follows:(1) for every positive integern, the system has a periodic point with periodn; (2) by constructing a point whose orbit is dense, the topological transitivity of the system is proved; (3) the system is topological mixing; (4) by means of discussing the positive expansiveness, the result that the system is chaos in the sense of Devaney is obtained.

dynamical system; periodic point; topological transitivity; topological mixing; positive expansiveness

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.004

2015-04-15; 修改稿收到日期: 2015-06-23

O

A

1672-7983(2015)02-0016-04

任蘊麗(1981-)，女，講師，碩士。主要研究方向：動力系統(tǒng)。