孫孟琴

（長(zhǎng)春工程學(xué)院機(jī)電學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 13001230012）

對(duì)球頭銑刀銑削加工過(guò)程簡(jiǎn)化為具有相互垂直的兩個(gè)自由度的集中質(zhì)量塊，系統(tǒng)在X與Y方向的數(shù)學(xué)模型［1］表達(dá)式如下：

球頭銑刀的動(dòng)力學(xué)模型被假設(shè)為在二維坐標(biāo)系X，Y下的二個(gè)自由度的振動(dòng)模型，進(jìn)給方向延著X軸。銑刀的N個(gè)齒被假設(shè)為等距，當(dāng)?shù)趈齒切削位置時(shí)，將參與切削的切削刃上的切削力累加后，在X與Y方向上總球頭銑刀的動(dòng)態(tài)銑削力表達(dá)式如下：

第j齒的轉(zhuǎn)角位移為：

R0為球頭刀最大半徑；φ為螺旋滯后角。

由方程式1-3可以看到，由于球頭銑刀銑具有2個(gè)以上刀齒，對(duì)及切削厚度的再生效應(yīng)，兩個(gè)方程均為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，這類非齊次線性微分方程的解析基本無(wú)法實(shí)現(xiàn)，由20世紀(jì)80年代以來(lái)開(kāi)始的計(jì)算機(jī)技術(shù)，用計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算進(jìn)行仿真的方法越來(lái)越多地被應(yīng)用到復(fù)雜的模型當(dāng)中，即用仿真算法將原始的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)上能運(yùn)行的仿真模型，用仿真算法求解這類常系數(shù)非齊次線性微分方程，從而對(duì)球頭銑刀的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行仿真。

1 球頭銑刀動(dòng)力學(xué)模型常見(jiàn)的計(jì)算機(jī)仿真算法

通常求解常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法可分為兩類：

單步法：計(jì)算第i個(gè)點(diǎn)處的值時(shí)，只用到第i-1個(gè)點(diǎn)處的數(shù)值信息；

多步法：計(jì)算第i個(gè)點(diǎn)處的值時(shí)，要用到第i+1個(gè)點(diǎn)之前的多個(gè)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)處的數(shù)值信息；

用數(shù)值方法求解常系數(shù)非齊微分次方程時(shí)，現(xiàn)常用到的數(shù)值算法有：Simpson方法、Eluer方法、顯式Runge-Kutta方法、Adams方法、基于數(shù)值積分的Eluer方法等［2］。

1.1 Euler方法

在一段兩點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間上，任取一些節(jié)點(diǎn)，將這些節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散化，離散化的方法采用數(shù)值微分，即將常系數(shù)非齊微分次方程轉(zhuǎn)化為差分方程，算法簡(jiǎn)單，把原來(lái)方程降階為一階的方程，將節(jié)點(diǎn)處離散的解作為近似的解。此Euler方法在求解的過(guò)程中，節(jié)點(diǎn)間的仿真步長(zhǎng)較大時(shí)，求解時(shí)仿真步數(shù)就會(huì)增加，帶來(lái)的誤差將慢慢擴(kuò)大。如果節(jié)點(diǎn)間的仿真步長(zhǎng)較小時(shí)，求解步數(shù)增加，求解效率下降。求解過(guò)程中，誤差的產(chǎn)生與各離散點(diǎn)的計(jì)算值誤差有關(guān)，也與步長(zhǎng)大小相關(guān)。此Euler方法在求解常系數(shù)非齊微分次方程時(shí)，雖然簡(jiǎn)單，但是精度只用一位數(shù)，精度不高。

1.2 基于數(shù)值積分的Eluer方法

基于數(shù)值積分Eluer方法是將區(qū)間內(nèi)的節(jié)點(diǎn)采用高階數(shù)值積分來(lái)對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散化，即將常系數(shù)非齊微分次方程轉(zhuǎn)化為數(shù)值微分方程?；跀?shù)值積分的Eluer方法，解決了步長(zhǎng)對(duì)求解精度的影響，只要節(jié)點(diǎn)步長(zhǎng)適當(dāng)，方程的收斂性與求解精度都高于基于數(shù)值微分的Eluer方法，但是如果節(jié)點(diǎn)步長(zhǎng)不合適，使求解時(shí)誤差被放大，仿真結(jié)果會(huì)失真，計(jì)算失敗，它的精度是二位數(shù)。

1.3 Simpson方法

Simpson算法是近似計(jì)算定積分的方法，由此導(dǎo)出常系數(shù)非齊微分次方程求解公式屬于隱式求解，多步算法，也由此常系數(shù)非齊微分次方程的求解精度為四位，不能再提高了，但是方程求解的收斂性與穩(wěn)定性都高于前兩者（基于數(shù)值微分的Eluer方法、基于數(shù)值積分的Eluer方法），可是求解時(shí)一直有較大誤差。

1.4 顯式Runge-Kutta方法

目前是一種應(yīng)用很廣的算法，該方法是單步算法，簡(jiǎn)單的理解是一階Runge-Kutta方法是基于數(shù)值微分的Eluer方法，二階Runge-Kutta方法是基于數(shù)值積分的Eluer方法，最經(jīng)典的是四階Runge-Kutta算法，即對(duì)節(jié)點(diǎn)上的離散值進(jìn)行線組合來(lái)代替求解高階導(dǎo)數(shù)，也就是用Taylor離散法建立的差分方程，此方法在求解動(dòng)力學(xué)方程時(shí)具有很好的收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性，方法簡(jiǎn)練，但是離散方法要求方程解具有良好的光滑性，才能使近似解準(zhǔn)確趨近，如果沒(méi)有好的光滑性，那么數(shù)值解的精度也許只是一位數(shù)。此算法的缺點(diǎn)是每一步的計(jì)算工作量都較大，四階以上的Runge-Kutta算法較少被采用。從實(shí)際出發(fā)，按所要求求解的精度選擇合適的算法，在采用顯式Runge-Kutta方法時(shí)，節(jié)點(diǎn)處離散解的誤差大于迭代允許誤差時(shí)，步長(zhǎng)減到一半，再計(jì)算，反復(fù)到離散點(diǎn)誤差小于迭代允許誤差值為止。反過(guò)來(lái)，節(jié)點(diǎn)處離散解的誤差小于迭代允許誤差時(shí)，步長(zhǎng)增加，再計(jì)算，反復(fù)到離散點(diǎn)誤差累加到迭代允許誤差值為止。它的精度是四位的，適合在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行迭代數(shù)值計(jì)算。當(dāng)該方法在球頭銑刀動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)微分方程時(shí)表現(xiàn)出了較好的收斂性及穩(wěn)定性，同時(shí)在求解過(guò)程中始終保持較小的計(jì)算誤差。

1.5 Adams方法

Adams方法是多步方算法，它是對(duì)節(jié)點(diǎn)處采用Lagrange型離散法來(lái)進(jìn)行求解。方程求解的收斂性較好，但是求解過(guò)程的穩(wěn)定性低于Simpson方法和Runge-Kutta方法。因?yàn)榇朔椒ǖ某跏贾嫡`差累積導(dǎo)致最終的誤碼差較大。

2 總結(jié)

由上可以看到Simpson方法、Eluer方法、顯式Runge-Kutta方法、Adams方法、改進(jìn)的Eluer方法的算法、精度、方程求解的收斂性及穩(wěn)定性都不同，通過(guò)分析與比較，適合兩自由度球頭銑刀銑削加工動(dòng)力學(xué)方程的算法為四階顯式Runge-Kutta方法，求解過(guò)程中計(jì)算誤差較小，能更好進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性能仿真。

［1］孫孟琴，王立臣.球頭銑刀動(dòng)力學(xué)模型及其銑削加工穩(wěn)定性的研究［J］.機(jī)床與液壓，2012，40（9）：52-54.

［2］吳志強(qiáng)，張晏銘，秦浩東.成格-庫(kù)塔法與差分法的比較［J］.成都大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，33（4）：337-338.