☉江蘇省金湖縣呂良中心初級中學 喬太華

剖析思路知立意，品悟精神識導向
——2015年淮安中考卷第28題的思考

☉江蘇省金湖縣呂良中心初級中學 喬太華

隨著2015年全國各地中考大幕徐徐落下，一份份凝聚了命題組教師心血的試卷大放異彩，中考壓軸題作為一份試卷的核心，具有知識容量豐富、解題方法多樣、能力要求較高、思想方法運用活等特點，其承載的教學價值令人回味無窮，導向深遠.現(xiàn)以2015年淮安中考卷第28題為例，談談筆者的一些認識.

題目（江蘇淮安中考第28題）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=6，BC=8．動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向點B勻速運動；同時，動點N從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿BA向點A勻速運動．過線段MN的中點G作邊AB的垂線，垂足為點G，交△ABC的另一邊于點P，連接PM、PN.當點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．

圖1

（1）當t=_______秒時，動點M、N相遇.

（2）設△PMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式.

（3）取線段PM的中點K，連接KA、KC.在整個運動過程中，△KAC的面積是否變化？若變化，直接寫出它的最大值和最小值；若不變化，請說明理由．

一、探索思路

第一問屬于“同時出發(fā)相向而行到第一次相遇問題”，通過列一元一次方程或直接利用算術方法即可求出t=2.5，屬于送分題.但是此問可以引導考生對M、N兩點的運動情形進行初步分析，同時因為簡單可以緩解考生的焦慮情緒.

第二問是求動態(tài)情形下圖形的面積問題，圖中△PMN由邊MN和高PG確定，所以解題思路是：首先，對M、N兩點的運動情形進行分析，確定邊MN的變化，對邊MN進行分類；第二步，根據(jù)邊MN的每一種情形，再對高PG進行分類，確定總的分類情形；第三步，針對每一種情形畫出圖形，觀察△PMN的位置和形狀，最后確定求△PMN的面積的方法.

分類的難點是高PG，為了準確對高PG進行分類，對M、N兩點位置的精確性要求比較高，所以畫圖不能太隨意.通過對條件分析和畫圖觀察可確定高PG的運動規(guī)律，從起始位置開始畫圖，讓點M、N運動，觀察中點G是如何運動的.相遇前，因為“動點N的速度是動點M的速度的3倍”，所以NG縮短快，而MG縮短慢，所以點G一直向點A運動，又相遇點在AB邊上的高的左邊，因此相遇前高PG的位置有2種，即點P先在CB上，再到CA上.相遇后，GN增加快，GM增加慢，所以點G也一直向點A運動，因此到結束點P就一直在AC上，所以本問可分3種情形.

圖2

圖3

圖4

接下來，先分析計算確定分界點的時間，即要求出高PG與△ABC的高CH重合的時間，M、N兩點相遇的時間，動點N到終點的時間，以及點M的位置，分類計算即可.

對于每種情形，先用含t的代數(shù)式表示出MN的長，然后利用相似三角形的性質或三角形函數(shù)求出高PG即可.結果如下所示.

①當0＜t≤1.4時（如圖2），MN=10-4t，PG=（t+5）.

第三問是求動態(tài)情形下圖形面積的最值問題，這里提供三種思路.

思路1：（特殊猜想法）中考壓軸題的問題設計，往往都是層層遞進的命題方式.因為點K是線段PM的中點，所以可以考慮把第二問中的起點、兩個分界點、終點計算出來，取其中的最大值和最小值.

上面的思路1并不能確定結果的正確性，但是時間不夠或沒有其他方法的同學不妨一試.思路2可以使結果的正確性大大提高.

思路2：（操作觀察法）首先利用圓規(guī)截取的方法，確定幾個點M、N的位置，然后觀察點K的運動軌跡，可以發(fā)現(xiàn)，點K一直在邊AB的某一條固定的垂線上做折返型運動，由于△KAC的邊AC確定，所以只需探索點K到AB的距離的變化規(guī)律即可，結果如下所示.

當點P與點C重合，即t=1.4s上時（如圖6），△KAC的面積最小，此時△KAC的面積為1.68.

圖5

圖6

圖7

思路3：（代數(shù)法）根據(jù)第三問的三種情形，分別求出K到AC的距離，列出△KAC的面積與t的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)關系式和t的取值范圍來確定△KAC的面積的最大值和最小值.

數(shù)學學習本身就是一個過程，如何在考試中考查“看不見、摸不到”的活動過程呢？從上述思路探析中不難看出，本題各問層級分明，逐級遞進，引導學生不斷思考，變考試過程為學習、研究的過程.學生在解決這一系列問題的過程中，可以表現(xiàn)自己的觀察、猜想、比較、構造及證明等數(shù)學活動方面的能力，有效考查學生的數(shù)學素養(yǎng)，在一定程度上體現(xiàn)了對過程性目標的考查.從而促使教師在平時的數(shù)學教學中重視過程的教學，使學生經歷知識的發(fā)生、發(fā)展及運用過程，并啟發(fā)學生及時進行歸納、總結和反思，積累解決問題的策略及經驗，不斷提升數(shù)學能力.

二、品悟精神

近幾年來，淮安市中考壓軸題都以圖形運動中探求圖形面積或判斷圖形形狀為背景進行命題.今年的圖形更加簡單，運動過程也不復雜，但是考查的各項指標和需求并沒有減少.

1.擯棄繁難堆砌，重視數(shù)學能力

本題涉及的知識點不多，沒有將大量的數(shù)學知識進行堆砌，重點考查學生的數(shù)學能力.在分析圖形運動時，對于底MN和高PG的分類，需要較強的動手操作能力和空間想象能力，捕捉圖形信息及對信息處理和轉化的能力.對于△KAC的面積的最大值和最小值的確定，需要幾何直觀能力、動手操作能力和合情推理能力.歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法，對底MN和高PG的分類及對△KAC的面積的最大值和最小值的探求充分體現(xiàn)了這些方法.在具體三角形的面積計算中，需要從復雜圖形中分解基本圖形和作輔助線構造基本圖形，需要較強的化歸遷移能力和利用模型解決問題的能力.

2.突出數(shù)學思想，注重數(shù)學思考

哈佛校長M.勞厄爾曾說“教育，是指所有學會的東西都忘卻了以后仍然留下來的那些東西.”本題并非解題方法和技巧的機械運用，而是巧妙考查分類討論思想、模型思想、化歸思想等，從培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)及綜合能力的層面上關注學生的數(shù)學理性思維，展現(xiàn)了數(shù)學的學科價值和人文價值.

分類思想：求△PMN的面積時，需要對底MN和高PG的位置進行分類，求△KAC的面積時，需要對K的位置進行分類.

模型思想和化歸思想：通過對相似三角形的基本圖形的提取和作輔助線構造基本圖形，體現(xiàn)了模型思想和化歸思想的應用.

3.關注學習過程，體現(xiàn)數(shù)學觀念

對于運動型問題，首先由于運動產生變化，會出現(xiàn)眾多的情形，所以要進行分類，然后一類一類地解決問題；對于第三問，可以通過操作，然后觀察、猜想、驗證一系列的活動進行求解.“用適當?shù)姆椒óa生若干個研究對象，用抽象、概括的方法確定研究對象的本質特征后下定義，用特殊到一般合情推理的方法猜想規(guī)律，用演繹推理的方法證明結論”，這些都是思考問題的一般方法、套路，體現(xiàn)了數(shù)學觀念.

三、啟示教學

鑒于上述思考，在平時教學中，我們要加強以下三個方面的教學.

1.養(yǎng)成認真審題的習慣

從閱卷和考試后的調查發(fā)現(xiàn)，好多學生對高PG的位置變化弄不清楚，一部分學生認為高PG就在CB上，原因是根本沒有明白“動點N的速度是動點M的速度的3倍”這個隱含條件，從他們畫的圖上面即可看出，另一部分學生認為高PG的位置應該分三種情形，點P先在CB上，再到CA上，最后又回到CB上，雖然他們對“動點N的速度是動點M的速度的3倍”這個隱含條件有關注，但是對點M的最終位置思考太隨便，畫出的圖形誤差太大，從而出現(xiàn)點P最后又回到CB上的情形，還有一部分學生根本沒有注意動點的終點，從而出現(xiàn)了錯誤.

“授人以魚不如授人以漁.”平時教學，我們不能代替學生讀題、審題，要教給學生快速捕捉有用信息的方法，如在閱讀過程中采用“劃去無關語句”的方法提取關鍵語句，或畫出關鍵語句，在圖形上標出已知數(shù)據(jù)和未知數(shù)據(jù)，把相關的量用含變量的式子表示出來等.

2.提升動手操作的能力

對于本題，從閱卷和考試后的調查發(fā)現(xiàn)，許多學生沒有能通過畫圖發(fā)現(xiàn)高PG的位置變化情形和點K的運動軌跡，原因是無法精確畫出BN=3AM，其實，直接在原圖上，用圓規(guī)以適當?shù)拈L度從A、B兩端分別截取一些相等的線段即可.

我們在平時的教學中，一定要加強學生動手操作的教學指導，不能因為麻煩而隨意將動手操作活動舍棄.首先要加強尺規(guī)作圖和畫圖的教學，在掌握一些基本的作圖方法的基礎上，要讓學生深刻掌握畫圖工具（圓規(guī)、直尺、三角板、量角器等）的基本功能，如圓規(guī)的截取、畫弧等功能，同時還要能根據(jù)問題情景選擇匹配的畫圖工具，如遇到旋轉問題，想到用圓規(guī)；其次，要培養(yǎng)學生就地取材、合理利用現(xiàn)有的材料進行操作的能力，如利用長方形稿紙、長方體狀的橡皮、圓柱體狀的鉛筆進行即時操作.

“紙上得來總覺淺，絕知此事要躬行.”“動手操作”不僅是為了考試，“動手操作”是一種重要的學習方式，“動手操作”猶如數(shù)學課堂的“強心劑”，一方面幫助學生理解知識，增強學生的學習興趣和自信心，另一方面對教師來說，在教學中很容易達到事半功倍的效果.數(shù)學教學中，教師要向學生提供充分的操作活動機會，讓學生在動手操作中體驗到數(shù)學的樂趣，并引導學生在動手操作中加深對知識的感悟，在動手操作中提高解決問題的能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維.

3.夯實基礎，重視通法、通則

對于本題，許多學生在第二問和第三問得零分，其實第二問學生認真算出一種情況應該還是可以的，第三問找?guī)讉€特殊位置算一算也能“蒙”到不少分數(shù)，可是就是不會算，幾種情形都畫對的同學中有許多都在計算上功虧一簣.

絕大部分中考試題源于教材，是教材中題目的引申、變化或組合.中考題的形式和知識背景千變萬化，但是其中蘊含的數(shù)學思想方法往往是相通的.因此，在日常教學和復習中強調通性通法，同時要處理好通法和技巧的關系，在學習中不應刻意追求特殊方法、技巧，因為這些東西只有在特定的條件下才能應用.考慮到教材的編排遵循“螺旋上升”的原則，知識點比較分散，所以在首輪復習中，我們必須“串讀”教材，把相關內容進行分類、歸納、整理，形成完善的知識鏈.對成績好的學生，應引導他們進行單元內知識點的整合，同時尋求各單元的交叉點、中間地帶，把握它們的異同點.對于學習困難的學生，應指導完成教材中的題目，并要求他們注意解題方法的歸納和整理.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.喬太華，李東.立足師生發(fā)展，盡顯一題之用——一道“探索研究”問題的教學實錄及評析［J］.中學數(shù)學（下），2014（9）.

3.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

4.［美］波利亞.數(shù)學與猜想［M］.北京：科技出版社，2011.

5.王紅兵，卜以樓.從基本聯(lián)想到優(yōu)化思維——解析2015年南京市一道分類討論中考題［J］.中學數(shù)學（下），2015（9）.Z