☉江蘇省泰州市蘇陳中學 韓新正

知識與能力并重方法與思想兼顧
——以“圓”為例談復習課的例題設(shè)計

☉江蘇省泰州市蘇陳中學 韓新正

初三復習除了梳理概念、構(gòu)建知識框架等，還離不開例題的選擇和教學，選擇什么樣的例題是每個初三老師都必須面對的問題.本文以“圓”這一章為例，立足“知識與能力并重，方法與思想兼顧”的選題思路，談?wù)剰土曊n的例題選擇和設(shè)計，供參考.

一、設(shè)計理念

1.教學內(nèi)容分析

本文以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》為復習用書，本書關(guān)于“圓”這一章內(nèi)容中的“垂徑定理”和“切線長定理”標注了“※”號（不作為考試內(nèi)容）；刪除了“弦心距”、“圓的兩條平行弦所夾的弧相等”、“圓與圓的位置關(guān)系”等內(nèi)容，這和《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的要求是一致的.本章的復習重點是點和圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)和判定定理；難點是借助于例題教學，歸納解題方法，形成數(shù)學思想，培養(yǎng)學生“通性通法”的解題能力，養(yǎng)成“回到概念”的解題習慣.

2.例題編排意圖

本章例題選擇的策略是放慢節(jié)奏，小坡度起步，教學目標分階段達成.對每道例題，力求從知識、方法、能力、數(shù)學思想多個方面進行挖掘，充分發(fā)揮例題的最大效益.例1盡量多地涵蓋“圓”中涉及的基本概念和知識，目的是借助于例題梳理本章知識結(jié)構(gòu)，同時關(guān)聯(lián)其他知識，如直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)、特殊四邊形的判定和性質(zhì)、二次根式的化簡等知識；例2突出“模型思想”教學，使學生會從生活背景中抽象出數(shù)學模型，初步感知解答圓的“通法”；例3側(cè)重解題方法歸納，通過列方程、運用相似形、構(gòu)造勾股定理等方法解題，歸納解題方法，提煉解題思想，培養(yǎng)學生“通法”解題習慣；例4綜合運用所學知識，引導學生關(guān)注中考重點和熱點，在傳統(tǒng)題中注入時尚元素，培養(yǎng)學生“用數(shù)學思考”的習慣.比如，通過巧妙編排，融合平面直角坐標系、函數(shù)、點的運動等，培養(yǎng)學生綜合解決問題的能力.

二、例題設(shè)計

例1如圖1，已知：P為⊙O的直徑BA延長線上的一點，PC與⊙O相切，切點為C，點D是圓上一點，連接PD，且圓的半徑r=4，PC=PD=BC．下列結(jié)論：①PD與⊙O相切；②四邊形PCBD是菱形；③PO=AB；④∠PDB=120°；⑤（的長為正確的序號是____________________.

圖1

圖2

解析：①如圖2，連接CO，DO，由PC與⊙O相切，得∠PCO=90°，易證△PCO≌△PDO（SSS），得∠PCO=∠PDO=90°，所以D與⊙O相切.

②易證△CPB≌△DPB（SAS），由BC=BD，得PC= PD=BC=BD，所以四邊形PCBD是菱形.

③連接AC，易證△PCO≌△BCA（ASA），得AC=CO，所以AC=CO=AO，得∠COA=60°，所以∠CPO=30°，PO= AB.

④根據(jù)四邊形PCBD是菱形，∠CPO=30°，得DP=DB，所以∠DPB=∠DBP=30°，得∠PDB=120°.

⑤在Rt△PCO中，∠PCO=90°，∠CPO=30°，得∠POC=60°，所以∠DOC=120°，的長

說明：本例設(shè)計的目的，主要幫助學生系統(tǒng)整理本章基本知識，并進一步關(guān)聯(lián)起和圓有密切聯(lián)系的相關(guān)知識，幫助學生建構(gòu)解決圓的問題的知識體系，同時，對本章題目的解題方法、思想方法進行滲透，兩次通過“全等三角形的判定”解決問題，引導學生發(fā)現(xiàn)“全等三角形的判定”是解決這部分題目的“通法”，為解決綜合題準備知識和方法.

例2如圖3是裝有三個小輪的手拉車在“爬”樓梯時的側(cè)面示意圖，定長的輪架桿OA、OB、OC抽象為線段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折線NG—GH—HE—EF表示樓梯，GH、EF是水平線，NG、HE是鉛垂線，半徑相等的小輪子⊙A、⊙B與樓梯兩邊相切，且AO∥GH.

圖3

圖4

圖5

解析：（1）如圖4，設(shè)P為⊙B與HE的切點，連接BP并延長，過點O作OL⊥BP于點L，交GH于點M，所以∠BPH=∠GHE=90°，所以BL∥GH.因為AO∥GH，所以BL∥ AO∥GH.因為∠AOB=120°，所以∠OBL=60°.又因為OL∥HE，所以∠BHP=30°.在Rt△BPH中

（2）如圖5，作HD⊥OB，設(shè)P為⊙B與HE的切點，連接BP，PH的延長線交BD的延長線于點L，所以∠LDH=∠LPB=90°，所以△LDH∽△LPB，所以AO∥PB，∠AOD=120°，所以∠B=60°，所以∠BLP=30°，所以DL=■3DH，LH=2DH.因為因為0≤DH≤3，所以解得

說明：本例的設(shè)計基于兩點考慮，一是對課標核心概念“模型思想”的建立，讓學生經(jīng)歷三個小輪的手拉車在“爬”樓梯的情境，從中抽象出幾何圖形，并利用相似三角形、解直角三角形、特殊角的三角函數(shù)等知識求解模型的過程；二是培養(yǎng)學生解決問題的能力，設(shè)計具有實際背景的問題，本例的手拉車是現(xiàn)實生活中常見情景，從這一常見的背景中，引導學生思考并解決問題.

例3如圖6，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A， OA=5，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C.

（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）若在⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍.

圖6

圖7

解析：（1）略.

（2）延長AP交⊙O于點D，連接BD，設(shè)圓的半徑為r，則由OA=5，OP=OB=r，在Rt△ABO中，AB2=OA2-OB2=52-AC，所以52-r2=-（5-r）2，解得r=3，所以AB=AC= 4.因為PD是直徑，所以∠PBD=90°=∠PAC.因為∠DPB=∠CPA，所以△DPB∽△CPA，所以所以⊙O的半徑是3，線段PB的長

（3）如圖7，作線段AC的中垂線MN，過點O作OE⊥ MN，所為⊙O與直線MN相交，所⊙O與直線l相離，所以r＜5，所

說明：本例設(shè)計側(cè)重于基礎(chǔ)知識和基本技能的訓練，使學生養(yǎng)成“回到概念”解題的良好習慣.本例具有代表性、典型性，有著一類題目共性的解法，能通過例題的講解，使學生獲得解一類題目的方法，并形成穩(wěn)定的思維模式.

（1）求證：直線FC是⊙A的切線；

（2）求點C的坐標及直線FC的解析式；

（3）有一個半徑與⊙A的半徑相等，且圓心在x軸上運動的⊙P.若⊙P與直線FC相交于M、N兩點，是否存在這樣的點P，使△PMN是直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖9

解析：（1）略.

（3）存在，當點P在點C左側(cè)時，若∠MPN=90°，過點P作PH⊥MN于點H，易證△CPH∽△CAF，點P在點C右側(cè)時，記為P′，設(shè)∠M′P′N′=90°，過點P′作P′Q⊥M′N′于點Q，則P′Q=P′Q=PH，可知P′與P關(guān)于點C中心對稱，根據(jù)對故存在這樣的點P，使得△PMN為直角三角形，P點坐標

說明：本例一方面考查學生綜合運用知識解決問題的能力，另一方面讓學生感受到“通法”的力量，很多難題都是通過轉(zhuǎn)化為基本題目或基本方法（通法）來解決的.本例中第（3）問難度較大，但解題思路正常，不強調(diào)技巧，在順利解答前面的問題后，充分利用第（1）、（2）問的結(jié)論和思路，第（3）問的解決順理成章.

三、幾點思考

例題教學以“題目串”的形式展開為好，讓不同的例題承載不同的作用，相互結(jié)合，共同發(fā)揮教育功效.例題設(shè)計既要注重知識關(guān)聯(lián)，又要注重能力發(fā)展；既要歸納解題方法，更要提煉數(shù)學思想；既要突出教學重點，也要關(guān)注中考熱點.

1.知識與能力并重

設(shè)計“題目串”要起點低，坡度小，圖形簡單，但知識點的容量大，便于學生系統(tǒng)建構(gòu)知識體系，感悟解題方法，培養(yǎng)解題能力，做到知識與能力并重.例1的設(shè)計以知識梳理為主，為解答題目做相關(guān)知識準備，例3的第（3）問利用臨界位置（或特殊位置）求參數(shù)的取值范圍，這一設(shè)計不僅考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、圓的知識，同時也培養(yǎng)了學生的空間想象能力.這些題目的設(shè)計不僅體現(xiàn)了數(shù)學知識、技能、經(jīng)驗的內(nèi)在價值，更突出了對學生運用這些知識的能力培養(yǎng).

2.思想與方法兼顧

利用典型例題教學，不僅能使學生獲得基礎(chǔ)知識和基本技能，更能掌握解題“通法”，深化數(shù)學思維.例2創(chuàng)設(shè)的“三輪車上樓”這一生活背景，既體現(xiàn)了“數(shù)學模型”思想，讓學生感受到數(shù)學來源于生活，又歸納出解答本章習題的“通法”，即構(gòu)造“相似三角形和勾股定理”.例3通過求參數(shù)的取值范圍提煉出運動模型，并借助特殊位置巧妙解題.例4通過分類討論，讓需要考慮的點（位置）不漏不重，并順勢提煉出分類思想.上述設(shè)計不僅使學生獲得了解題方法，更培養(yǎng)了學生的思維能力，收獲了數(shù)學思想，真正做到了思想和方法的兼顧.

3.重點與熱點并行

重點知識是一章的核心知識，它既是學習的重點，也是考試的重點.圍繞核心知識，不僅要注重知識的建構(gòu)，更要加強相關(guān)題型的歸納.熱點題型就是結(jié)合生活背景，注入時尚元素，綜合各章知識的綜合題，旨在引導學生關(guān)注生活、關(guān)注社會、靈活運用所學知識和方法去解決問題，教師一定要關(guān)注重點和熱點題型，加強對這些題目的研究和總結(jié)，以適應課標和社會需要“.切線的性質(zhì)與判斷定理”是本章的重點知識，筆者在4個例題中均有體現(xiàn)，并漸次深化對該知識的認識，不斷歸納切線的解題方法.同時，對生活中的“三輪車上樓”、點的運動、參數(shù)變化范圍、函數(shù)與圓的結(jié)合、圓與點的運動等熱點題型均給予重視，所以，中考復習時，重點與熱點并行，兩者不可偏頗.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.陳志勇．同步中考：二輪復習課的教學指向［J］．中學數(shù)學（下），2015（1）.

3.高之風．透視中考熱點——動態(tài)問題的求解策略［J］．中學數(shù)學（下），2013（1）