☉江蘇省金湖縣實驗中學 高峰

思想引領(lǐng)感悟方法學會思考
——一則“特殊化”思想指引下的解題教學案例的思考

☉江蘇省金湖縣實驗中學 高峰

自從“課標”把數(shù)學思想作為“四基”之一提出后，關(guān)于數(shù)學思想的教學就一直備受大家的關(guān)注，但是大家強調(diào)都是在知識的形成過程中進行體驗，最后進行歸納才會提出來，那么能否在章節(jié)復(fù)習時，利用專題復(fù)習的形式，對數(shù)學思想進行強化教學呢？本文作如下嘗試.

本節(jié)課將蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學七年級下冊第36頁的閱讀材料“特殊化”和第42頁“探索研究”第19題結(jié)合起來進行教學，讓學生體驗在“特殊化”思想的指引下，學會“尋找基本圖形和構(gòu)造基本圖形及一般想特殊轉(zhuǎn)化”的方法，掌握特殊化思想的應(yīng)用和幾何問題的一般思考方法.

一、教學過程

1.指導閱讀，切入課題

上課伊始，多媒體屏幕播放動畫.

（1）用橡皮筋構(gòu)成△ABC，使頂點B、C固定，頂點A移動（如圖1）.

頂點A越靠近BC，∠BAC越接近180°，∠ABC與∠ACB越來越小，接近于0°，當頂點A在BC上時，∠ABC=∠ACB=0°，∠BAC=180°，這時∠ABC+∠ACB+∠BAC= 180°.于是，我們猜想，一般情形下，△ABC的內(nèi)角和可能是180°.

圖1

圖2

（2）將多邊形A1A2A3…An逐步“變小”（形狀不變），當多邊形“變小”到一點時，它的所有外角就會成為一個“周角”了，那就是360°（如圖2）.

師：動畫1是通過對△ABC的頂點A的位置進行特殊化，動畫2是通過多邊形各個外角的頂點的位置的特殊化，我們通過特殊情形獲得了結(jié)論，從而猜想出一般情形的結(jié)論.

解決某個問題有困難時，我們可以考慮問題的特殊情形，然后利用問題的特殊情形獲得的結(jié)論或解決方法來探索問題的一般情形，最終使問題得到解決，這種解決問題的思想稱為特殊化.

特殊化思想不僅能獲得數(shù)學結(jié)論，還可以獲得解決問題的方法.我們可以將實驗1的過程與過點A作BC的平行線的方法聯(lián)系起來，即實驗1是將∠B、∠C變?yōu)榱愣?，∠A變?yōu)?80度，可以看作如何將∠B、∠C轉(zhuǎn)給∠A，也就是將∠B、∠C補到∠A處，則輔助線就自然生成了（如圖3）.

圖3

今天，就讓我們一起親身經(jīng)歷“特殊化”思想指引下的解題之旅吧！

2.操作實驗，尋找特殊

問題：將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)部點A′的位置（如圖4），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

圖4

師：對于這個問題，我們今天就用特殊化思想進行探究.

（1）請將課前準備好的三角形紙片記為△ABC，同時在練習本上畫出這個三角形.

（2）折疊△ABC一個角，折疊線與邊AB、AC分別交于E、D點，折疊后A的對應(yīng)字母記為A′，在圖中畫出折疊后的圖形，標出相應(yīng)字母.

（3）通過移動點A′，確定點A′的位置有哪些情形，請將折疊后的三角形貼至黑板（同類的貼一種），并指出哪些是特殊情形.

經(jīng)過討論，學生按照點A′相對于△ABC的位置分三種（如圖5）：（1）點在內(nèi)部，如圖5（1）；（2）點在外部，如圖5（2）～（4）；（2）點在邊上，如圖5（4）～（5）.最后確定“點在邊上”為特殊情形.（注：學生在折疊的過程中基本能將所有情形列出，若學生能根據(jù)點A′相對于∠BAC的位置分類更好，不要直接告知，學生會難以接受，可最后進行修正）

圖5

3.探究特殊，獲得猜想

師：動畫1中隨著點A的位置特殊化，∠ABC、∠ACB的度數(shù)也特殊化，那么本題中，點A′的位置的特殊化，∠1、∠2、∠A′的度數(shù)是否也隨之特殊化？

生1：圖5（5）中∠2不見了，這時可看作∠2=0°.圖5（5）中看不出∠1、∠2、∠A′的度數(shù)有什么特別之處.

師：好！那我們就從圖5（5）入手進行探究，根據(jù)此特殊情形能獲得什么結(jié)論？為什么？

生2：因為∠1是△AEA′的外角，所以∠1=∠A+∠A′.

師：能得到∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

生3：由折疊可得∠A=∠A′.又∠2=0°，所以可猜想∠1+∠2=2∠A′.

師：我們從圖5（5）這種特殊情形得到猜想的關(guān)鍵是找到了與∠1、∠2、∠A′相關(guān)的△AEA′，利用三角形的外角得到猜想，即“圖形隱含著數(shù)量關(guān)系，要找關(guān)系先找相關(guān)圖形”.下面我們就可以利用這個結(jié)論和解決問題的方法來解決其他一般情形的問題了.

4.借助特殊，解決一般

師：我們先研究圖5（1）所示的情形.根據(jù)特殊情形的經(jīng)驗，你能找出與∠1、∠2、∠A′相關(guān)的圖形嗎？根據(jù)你找出的圖形，你能確定哪些角之間的關(guān)系？

生4：與∠1、∠2、∠A′相關(guān)的圖形是四邊形AEA′D，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可得∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′=360°.

師：∠1、∠2怎么與∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′= 360°聯(lián)系起來呢？

生2：根據(jù)平角的定義可得∠1+∠AEA′=180°，∠2+∠ADA′=180°，所以∠1+∠AEA′+∠2+∠ADA′=360°，所以∠A+∠A′=∠1+∠2，再根據(jù)折疊得∠A=∠A′，即可得到結(jié)論.

師：主要是找出與∠1、∠2、∠A′相關(guān)的圖形，如四邊形、三角形、平角，然后利用這些圖形中角之間的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化，將已知角與要求的角聯(lián)系起來，從而解決問題.請大家再思考一下，我們在研究圖5（5）所示的情形時，用到了△AEA′，但是本圖形中卻沒有這個三角形，我們有辦法讓它出現(xiàn)嗎？

生5：連接AA′，……

師：這個思路實際上就是類比，即將一般與特殊進行類比，尋找它們之間類似的東西，然后將一般情形轉(zhuǎn)化為與特殊情形類似的情形來解決問題.

其他幾種情形，在教師同樣方法的引導下，大部分學生都能自主解決.

5.反思總結(jié)，促智生慧

（1）先讓學生對圖5中的各個結(jié)論進行觀察，然后對分類進行修正，得到結(jié)論與三角形沒有關(guān)系，應(yīng)該根據(jù)點A′相對于∠BAC的位置將結(jié)果分為三種情形.

（2）引導學生對特殊化思想應(yīng)用的關(guān)鍵點進行總結(jié)，即如何尋找特殊情形，如何運用特殊情形獲得的結(jié)果和解決問題的方法去探究一般情形.

（3）回顧問題解決的過程，引導學生總結(jié)解決問題過程中用到的數(shù)學思想方法和相關(guān)知識.

（4）總結(jié)解決與圖形有關(guān)的幾何問題的一些基本套路，即要認真分析條件和結(jié)論，而分析條件和結(jié)論就是將它們與相關(guān)“基本圖形”結(jié)合起來，利用這個“基本圖形”的性質(zhì)，獲得相應(yīng)的結(jié)論，有時圖形中不一定有與它們匹配的“基本圖形”，這時還需聯(lián)想相關(guān)知識作輔助線構(gòu)造出相關(guān)的“基本圖形”，再利用這個“基本圖形”的性質(zhì)，獲得相應(yīng)的結(jié)論，從而達到解決問題的目的.

二、教學反思

章建躍教授在文中指出：“我們要把學生的眼前利益和長期利益結(jié)合起來，使學生掌握解題技巧而成為獲取高分的能手，同時，還要用數(shù)學內(nèi)在的力量去感化他們，提升他們的內(nèi)心修為，實現(xiàn)數(shù)學育人的崇高目標.”“數(shù)學內(nèi)在的力量”就是數(shù)學思維能力，數(shù)學教學的核心任務(wù)是培養(yǎng)學生的思維能力，數(shù)學思想方法教學是培養(yǎng)思維能力的重要途徑.

解題教學是數(shù)學教學非常關(guān)鍵的一環(huán)，不僅關(guān)乎學生對數(shù)學概念、定理、性質(zhì)、公式等知識的掌握和綜合運用，更是對學生的數(shù)學思維方式、思維品質(zhì)的關(guān)鍵示范.本節(jié)課嘗試利用解題教學讓學生體驗“如何在數(shù)學思想的指引下，學會運用恰當?shù)姆椒ㄟM行思考”的數(shù)學思維方式，促進學生學會數(shù)學地思考.這種課型的實施需要注意以下幾個方面.

1.教學內(nèi)容的選擇

這種課型的關(guān)鍵是如何將數(shù)學思想方法與適當?shù)膯栴}進行匹配，所以問題的選擇和設(shè)計是我們要重點思考的內(nèi)容.同時，這種課型應(yīng)該在單元或章節(jié)結(jié)束時進行，每章進行2～3次即可.蘇科版教材中有許多有關(guān)數(shù)學思想的閱讀材料，章節(jié)復(fù)習中有單獨的數(shù)學思想方法的歸納，習題中有豐富的典型性很強的習題，將它們結(jié)合起來，會得到豐富的教學素材.通過與問題的整合，可以充分發(fā)揮閱讀材料的價值，更大程度地發(fā)揮閱讀材料的作用.教學前可將課本單元或章節(jié)涉及的數(shù)學思想方法進行歸納分析，再從課本練習題中尋找綜合性較強的問題作為載體進行教學，這樣可以在進行數(shù)學思想教學的同時，促使我們深入研究挖掘課本習題的典型意義，并將其進行變化拓展，這樣更能發(fā)揮習題的導向作用，充分展示典型性習題蘊含的豐富價值.

2.教學過程的展開

我們的許多課例都是“舉一些例子讓學生做，然后總結(jié)出其中隱含的數(shù)學思想方法”.這樣做的目的是為了讓學生體驗數(shù)學思想的作用，然后在潛移默化中積累經(jīng)驗學會應(yīng)用.但是有時候“話也要明說”，本節(jié)課就是要學生明確學會一個基本套路“在數(shù)學思想的指引下，學會運用恰當?shù)姆椒ㄟM行思考”.本節(jié)課首先引導學生體驗特殊化思想的一些應(yīng)用，然后按照特殊化思想運用的具體步驟：操作分類，再找特殊，特殊探究，類比特殊解決一般，引導學生一步一步深刻地體驗特殊化思維的過程.在探究的過程中，不斷地進行提示、總結(jié)，為學生指明方向，積累經(jīng)驗，最終獲得運用特殊化思想解決問題的能力.所以在教學時，首先注意問題設(shè)計要體現(xiàn)一些基本套路，如特殊化的套路，我們要思考一些數(shù)學思想方法究竟是怎樣實施的，而不能只有名稱，沒有套路，最終只是會總結(jié)，卻不會用；其二，要注意讓學生真正體會，也就是要讓學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動的過程，并及時總結(jié).

1.章建躍.發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量，為學生謀取長期利益［J］.數(shù)學通報，2013（2）.

2.潘紅玉.類比推理讓規(guī)律探究更深入——由一則教學案例談起［J］.中學數(shù)學（下），2015（4）.Z