☉江蘇省南京市雨花臺(tái)中學(xué)（春江分校） 杭秉全

基于現(xiàn)實(shí)，運(yùn)用類比，立意能力
——“圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

☉江蘇省南京市雨花臺(tái)中學(xué)（春江分校） 杭秉全

“圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時(shí)）”是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)經(jīng)典課例．讀了本刊近期沈曄老師的《預(yù)設(shè)操作跟進(jìn)追問，掌握知識(shí)發(fā)展思維——圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)與解讀》，很受啟發(fā)．在這節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐中，筆者有不一樣的思考與設(shè)計(jì)，現(xiàn)整理成文，與同仁交流．

一、課標(biāo)要求與教學(xué)分析

第一學(xué)段（1～3年級(jí)）結(jié)合實(shí)例，感受旋轉(zhuǎn)對(duì)稱現(xiàn)象．

第二學(xué)段（4～6年級(jí)）通過觀察、操作等，在方格紙上認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn)，會(huì)在方格紙上將簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)90°．能從旋轉(zhuǎn)的角度欣賞生活中的圖案，并運(yùn)用它們?cè)诜礁窦埳显O(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的圖案．

第三學(xué)段（7～9年級(jí)）通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)．探索它的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等．

從課標(biāo)要求看，“旋轉(zhuǎn)”的學(xué)習(xí)貫穿于義務(wù)教育各學(xué)段，遵循由具體到抽象、從感性到理性、由定性認(rèn)知到定量研究，認(rèn)知呈螺旋式上升．

小學(xué)階段（即第一、二兩個(gè)學(xué)段）關(guān)于“旋轉(zhuǎn)”的學(xué)習(xí)，主要結(jié)合實(shí)例初步認(rèn)識(shí)圖形的運(yùn)動(dòng)，通過觀察與動(dòng)手操作積累感性認(rèn)識(shí)，形成初步表象，不要求給出定義，離定性的認(rèn)識(shí)、定量的研究還有一定距離．

初中階段（即第三學(xué)段）教材的編排遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，將“旋轉(zhuǎn)”安排在“平移”、“軸對(duì)稱”之后．

因此，關(guān)于“旋轉(zhuǎn)”的學(xué)習(xí)，要基于小學(xué)階段對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)的感性認(rèn)知，要基于初中階段在“平移”、“軸對(duì)稱”學(xué)習(xí)中積累的經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生研究如何定義平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)．

二、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)

基于學(xué)生對(duì)“旋轉(zhuǎn)”的生活體驗(yàn)、感性認(rèn)識(shí)，基于學(xué)生在平移、軸對(duì)稱學(xué)習(xí)中積累的對(duì)“圖形的變化”的研究經(jīng)驗(yàn)，基于課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于“旋轉(zhuǎn)”的要求，結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容、根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：

（1）通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)；

（2）類比平移、軸對(duì)稱，定義圖形的旋轉(zhuǎn)、探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)；

（3）能畫出簡(jiǎn)單圖形關(guān)于給定旋轉(zhuǎn)中心，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的圖形．

教學(xué)重點(diǎn)：認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)．

教學(xué)難點(diǎn)：探索旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)．

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖分析

（一）課前預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

填寫下表：

平移軸對(duì)稱定義性質(zhì)

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)“平移”、“軸對(duì)稱”定義及性質(zhì)的回顧，喚醒學(xué)生在這兩種圖形的變化學(xué)習(xí)中積累“圖形的變化”研究經(jīng)驗(yàn)，為本節(jié)課的類比學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．

（二）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：從現(xiàn)象到定義，認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)

圖1

（2）生活中還有與上述情景類似的現(xiàn)象嗎？請(qǐng)舉例．

設(shè)計(jì)意圖：通過生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)獲得的對(duì)“旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象”的感性認(rèn)知，為后面“數(shù)學(xué)中關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)”的探討做準(zhǔn)備．

（3）課件顯示運(yùn)動(dòng)的鐘擺，再數(shù)學(xué)抽象，用“幾何畫板”展示鐘擺旋轉(zhuǎn)的過程．

（4）上述情境中的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象有什么共同的特征？

（5）以前我們還學(xué)過哪些圖形運(yùn)動(dòng)？你能類比它們的概念，歸納出旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，并嘗試給“旋轉(zhuǎn)”下個(gè)定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)中運(yùn)用抽象、找共同屬性、類比的教學(xué)方法，讓學(xué)生經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的抽象過程．其中，由實(shí)物圖片抽象成幾何圖形，是研究生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的一般方法．尋找共同特征，揭示概念本質(zhì)屬性，是常用的邏輯思維、認(rèn)知方式．通過這樣的設(shè)計(jì)，提高學(xué)生類比、概括的能力．

工程建設(shè)前期準(zhǔn)備工作會(huì)影響使用過程中的具體狀況。工程質(zhì)量是決定工程是否合格的關(guān)鍵。農(nóng)田水利工程對(duì)工程質(zhì)量要求十分嚴(yán)格。判定工程建設(shè)是否合格一般通過兩個(gè)環(huán)節(jié)，即實(shí)際應(yīng)用與監(jiān)督管理。實(shí)際應(yīng)用情況多與工程本身或自然因素有關(guān)。監(jiān)督管理一般是針對(duì)工程建設(shè)過程中材料選擇、工程步驟監(jiān)控、質(zhì)量評(píng)定等方面。

（5）如圖2，正方形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，將三角板從△CDE位置沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△CBF位置．

①請(qǐng)指出三角板旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度；

圖2

②三角板內(nèi)框從△GHK位置變化到△PMN位置，是旋轉(zhuǎn)嗎？若是，請(qǐng)指出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度；若不是，請(qǐng)說明理由．

（6）“旋轉(zhuǎn)中心”、“旋轉(zhuǎn)方向”、“旋轉(zhuǎn)角度”是旋轉(zhuǎn)的“三要素”，以圖2為例，分析缺少一個(gè)“要素”，會(huì)得到什么結(jié)果？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的“三要素”，并體會(huì)缺少其中任何一個(gè)都不能唯一確定一個(gè)旋轉(zhuǎn)，從而加深對(duì)“平面圖形旋轉(zhuǎn)”這一概念內(nèi)涵的理解．

環(huán)節(jié)2：從目標(biāo)到思路，探究旋轉(zhuǎn)性質(zhì)

（1）我們對(duì)圖形研究，通常在概念之后研究其性質(zhì)，研究“旋轉(zhuǎn)”的性質(zhì)就是要研究什么？

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形研究的基本套路，明確旋轉(zhuǎn)性質(zhì)研究的目標(biāo)就是研究旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的關(guān)系．

（2）在“平移”前后兩個(gè)圖形的關(guān)系、“軸對(duì)稱”前后兩個(gè)圖形的關(guān)系的研究中，我們通過具體研究了什么，歸納得出它們的性質(zhì)？

（3）類比“平移”、“軸對(duì)稱”性質(zhì)的探究思路，你認(rèn)為研究“旋轉(zhuǎn)”的性質(zhì)具體要研究什么？

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生回顧“平移”、“軸對(duì)稱”的研究，明確圖形變化前后兩個(gè)圖形關(guān)系的研究，具體就是它們對(duì)應(yīng)元素之間關(guān)系的研究．

（4）“平移”、“軸對(duì)稱”前后兩個(gè)圖形全等，“旋轉(zhuǎn)”呢？

（5）“旋轉(zhuǎn)”前后兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，與“旋轉(zhuǎn)中心”有何關(guān)系？

（6）“旋轉(zhuǎn)”前后兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，與“旋轉(zhuǎn)角度”有何關(guān)系？

（7）請(qǐng)你歸納圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：圖形變化的研究順序通常是先圖形整體關(guān)系研究、再微觀到對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)系研究；對(duì)應(yīng)“元素”之間的關(guān)系的研究一定要與概念中的“要素”聯(lián)系．使學(xué)生明確旋轉(zhuǎn)性質(zhì)研究的思路．用問題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，并養(yǎng)成有序思考的習(xí)慣，提高歸納、類比的思維能力．

環(huán)節(jié)3：從思考到操作，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)畫圖

（1）如圖3，△M′N′P′是△MNP繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后的圖形.

圖3

①圖中有哪些線段相等，哪些角相等？

②旋轉(zhuǎn)后的△M′N′P′是怎樣畫出的？請(qǐng)說說你的想法．

設(shè)計(jì)意圖：畫圖是性質(zhì)的運(yùn)用，假設(shè)法（畫出要畫圖形的草圖，分析畫圖中要保證的數(shù)量與位置關(guān)系）是分析畫圖思路的常用方法．用“說畫圖想法”取代“動(dòng)手操作畫圖”，可節(jié)省學(xué)生盲目畫圖的操作時(shí)間，增加學(xué)生思考、交流時(shí)間，真正讓思考“走”在操作前．

（2）例題：

①如圖4，已知點(diǎn)A和點(diǎn)O，畫出點(diǎn)A繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°后的圖形．

②如圖5，已知線段AB和點(diǎn)O，畫出線段AB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°后的圖形．

③如圖6，已知△ABC和點(diǎn)O，畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°后對(duì)應(yīng)的三角形．

圖4

圖5

圖6

設(shè)計(jì)意圖：本例設(shè)計(jì)遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的思路，讓學(xué)生動(dòng)手操作體驗(yàn)，進(jìn)一步認(rèn)知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

環(huán)節(jié)4：從回顧到提煉，小結(jié)旋轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)

（1）回顧今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲（包括知識(shí)、技能、思想、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）？

（2）“旋轉(zhuǎn)”與“平移”、“軸對(duì)稱”有何區(qū)別與聯(lián)系？請(qǐng)完善課前預(yù)習(xí)時(shí)填寫的“圖形的變化”知識(shí)圖表．

（3）回顧我們探索圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的過程，你對(duì)“圖形的變化”基本性質(zhì)的探究目標(biāo)、思路、方法有哪些認(rèn)識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}式小結(jié)，是為了幫學(xué)生回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容，明晰圖形研究的基本思路與方法，建構(gòu)初中“圖形的變化”知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成整體認(rèn)知．

四、教學(xué)反思

1.研究關(guān)系，讓探究思路更清晰、知識(shí)生成更自然

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．初中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容都是在研究“關(guān)系”，例如：數(shù)之間的大小關(guān)系、運(yùn)算關(guān)系，方程、不等式刻畫數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，圖形的性質(zhì)與判定研究圖形相關(guān)元素之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等．研究“關(guān)系”是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容，正是在“關(guān)系”的研究中，生成了數(shù)學(xué)模型、圖形性質(zhì)等．用研究“關(guān)系”的問題引領(lǐng)，可以讓學(xué)生的研究目標(biāo)更明確，思路更清晰，讓探究過程真正變成一個(gè)學(xué)生主動(dòng)參與的思維過程，讓知識(shí)生成的更自然．

2.運(yùn)用類比，讓教學(xué)更輕松、認(rèn)知結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)聯(lián)系的整體，特別是有些并列的數(shù)學(xué)知識(shí)，它們研究的對(duì)象同類、研究的內(nèi)容相近、研究的方式相同，因而它們學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)可相互借鑒．在這些知識(shí)的教學(xué)中，我們可以合理地運(yùn)用“類比”的策略，引導(dǎo)學(xué)生在“類比”中探究，在“探究”中建構(gòu)新知識(shí)，形成穩(wěn)定、清晰且整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

本節(jié)課環(huán)節(jié)2的第（2）個(gè)問題，就是要讓學(xué)生回顧、分析得到：平移、軸對(duì)稱變換前后的兩個(gè)圖形整體都全等；因圖形是由點(diǎn)構(gòu)成，還需研究對(duì)應(yīng)點(diǎn)與相應(yīng)圖形變換要素之間的關(guān)系．平移的要素是平移的方向與距離，軸對(duì)稱的要素是對(duì)稱軸．平移的性質(zhì)是：圖形經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線互相平行或在同一條直線上，與平移方向一致，并且相等，都等于平移的距離；軸對(duì)稱性質(zhì)是：圖形經(jīng)過軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分．類比平移、軸對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的研究，首先要觀察旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)圖形整體是否全等？而后研究旋轉(zhuǎn)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”與旋轉(zhuǎn)“要素”之間的關(guān)系．旋轉(zhuǎn)的要素是旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角，這樣后面的問題（5）、（6）的提出就非常自然．

3.數(shù)學(xué)教學(xué)要貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí)是典型的建構(gòu)學(xué)習(xí)過程．“建構(gòu)學(xué)習(xí)”是以學(xué)習(xí)者為參照中心的自身思維構(gòu)造的過程，是主動(dòng)活動(dòng)的過程，是積極創(chuàng)建的過程，最終所建構(gòu)的意義固著于親生經(jīng)歷的背景，溯源于學(xué)習(xí)者熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)，扎根于學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知．因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，教學(xué)要貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．

本節(jié)課“旋轉(zhuǎn)”概念、性質(zhì)的學(xué)習(xí)建構(gòu)，溯源于學(xué)生熟悉的生活中的旋轉(zhuǎn)，因而創(chuàng)設(shè)“生活中的旋轉(zhuǎn)”的情境引入；固著于親生經(jīng)歷了平移、軸對(duì)稱的學(xué)習(xí)研究過程，扎根于學(xué)生已有平移、軸對(duì)稱的認(rèn)知．

4.數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注新舊知識(shí)之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識(shí)博大精深，彼此聯(lián)系緊密，是一個(gè)聯(lián)系的整體．我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，不能只教給學(xué)生一個(gè)個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)，而應(yīng)設(shè)法幫助學(xué)生串成知識(shí)鏈、結(jié)成知識(shí)網(wǎng)．

平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)都屬于全等變換，它們定義的語言表述結(jié)構(gòu)、方式一致，性質(zhì)的研究思路相同．所以，本節(jié)課所學(xué)習(xí)的“旋轉(zhuǎn)”雖是一個(gè)“新知識(shí)”，但學(xué)生有“平移”、“軸對(duì)稱”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)．在探究活動(dòng)中運(yùn)用“類比”的策略，可以使學(xué)生認(rèn)知更輕松；在“問題式小結(jié)”中關(guān)注三種圖形變化的區(qū)別聯(lián)系的分析，可以幫助學(xué)生將“旋轉(zhuǎn)”的學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)，納入到基于“平移”、“軸對(duì)稱”學(xué)習(xí)，初步建立起來的圖形全等變換認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中．這樣加強(qiáng)了新舊知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)一步豐富并鞏固了全等變換的認(rèn)知策略、認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

5.數(shù)學(xué)教學(xué)要立意于思想滲透、能力提升

著名的日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏有這樣一段話：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益．”數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)．因此，數(shù)學(xué)教學(xué)在關(guān)注知識(shí)、技能的同時(shí)，應(yīng)立意于：在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)建構(gòu)的過程之中，滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．

本節(jié)課類比平移、軸對(duì)稱，讓學(xué)生明確旋轉(zhuǎn)性質(zhì)研究的目標(biāo)，帶領(lǐng)學(xué)生理順旋轉(zhuǎn)的研究思路，真正讓探究活動(dòng)具有思維含金量.在增強(qiáng)思維的邏輯性和條理性的同時(shí)，讓他們領(lǐng)悟到“圖形的變化”研究的一些“基本套路”，感悟“類比”的思想方法、學(xué)習(xí)策略．這樣的教學(xué)立意是對(duì)思想方法和數(shù)學(xué)思維能力的追溯．

五、寫在最后

數(shù)學(xué)教學(xué)要基于學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)；數(shù)學(xué)教學(xué)的立意要高，不能只關(guān)注知識(shí)與技能，應(yīng)立意于數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)思維能力的提升；數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系，合理運(yùn)用“類比”的策略，引導(dǎo)學(xué)生在“類比”中探究，在“探究”中建構(gòu)，形成穩(wěn)定、清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

1.中華人民共和國(guó)教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

2.章建躍．如何實(shí)現(xiàn)“思維的教學(xué)”——以“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（4）．

3.沈曄．預(yù)設(shè)操作跟進(jìn)追問，掌握知識(shí)發(fā)展思維——圖形的旋轉(zhuǎn)（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)與解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（7）．

4.杭秉全．了解教學(xué)基點(diǎn)注重教學(xué)方法反思教學(xué)效果——以“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)為例［J］.教學(xué)月刊（中學(xué)版），2012（7）．H