黃瑞泉，胡 豪

（中航工業(yè)洪都，江西 南昌330024）

0 引 言

現(xiàn)代飛機通常采取電傳飛控系統(tǒng)通過多組機構、環(huán)節(jié)操縱伺服作動器，進而驅動操縱面實現(xiàn)不可逆的動力操縱。分析飛機操縱系統(tǒng)動態(tài)模型時，主要問題是阻尼特性、其次是間隙問題[1]。周志文[2]提到由機械液壓組成的操縱系統(tǒng)存在間隙、摩擦、阻尼等非線性因素，但其研究側重于簡化操縱系統(tǒng)動剛度計算方法，將非線性因素等效線性處理。管德、宗捷[3]研究了水平尾翼結構非線性對顫振特征的影響，指出帶間隙狀態(tài)飛機顫振速度變化情況。張偉偉、王忠波等[4]進一步研究了在迎角改變的情況下帶間隙操縱面極限環(huán)振動，指出間隙為影響氣動彈性穩(wěn)定性的要素之一。姚起航、屈見忠[5]給出了模態(tài)試驗中幾種典型的非線性例子，但只提到受間隙影響的剛度變化定性描述，未開展詳細論述。沃德·海倫、斯蒂芬·拉門茲、波爾·薩斯[6]展示了不同激振力下非線性系統(tǒng)頻響函數(shù)變化趨勢，指出正弦激勵為研究非線性系統(tǒng)的最佳工具。

從上述文獻看，飛機操縱系統(tǒng)造成的非線性問題會改變飛機顫振速度，進而影響飛行安全。故此顫振分析者往往需要知道不同振動量值下的操縱系統(tǒng)固有頻率，給出更加合理的飛行包線。舵面操縱系統(tǒng)是由多個連桿機構串聯(lián)而成的復雜空間機構，從力學的角度其可作為一個帶間隙、摩擦、阻尼的非線性系統(tǒng)，因此，研究此種系統(tǒng)的自由振動衰減周期，可以為操縱面動力學分析及模態(tài)試驗提供理論參考。

1 模型簡化

典型的不可逆助力飛行操縱系統(tǒng)原理圖及其操縱桿桿力特性見圖1所示[7]。

某型飛機操縱面剛度試驗曲線見圖2所示。

從上述桿力特征曲線和操縱剛度試驗結果數(shù)據(jù)看，真實飛機操縱系統(tǒng)存在間隙、摩擦等因素，間隙值表現(xiàn)為操縱桿的空行程段，也是顫振飛行中出現(xiàn)極限環(huán)振動的主要原因，摩擦力與操縱剛度在不同轉角下變化量較小，可視為常數(shù)。因此可將此種操縱系統(tǒng)模型簡化為圖3所示的力學模型。

圖1 典型操縱系統(tǒng)原理圖及桿力特性圖

圖2 某型飛機操縱面剛度試驗曲線

圖3 簡化力學模型

模型為一質量為m的彈簧振子在兩個間隙為δ的彈簧中運動，其中，兩彈簧剛度為k，粘性阻尼系數(shù)為c，在振動過程中摩擦力f不變。取處x坐標為0，向上為正，建立運動坐標系。

模型中的m對于操縱面繞轉軸的轉動慣量，彈簧剛度k對應操縱剛度即單位轉角下的力矩，間隙δ為舵面空行程的最大值，c為操縱系統(tǒng)阻尼 （當做粘性阻尼考慮）。

此模型整個階段的剛度曲線見圖4所示。從圖上看，此模型能夠反映帶間隙、摩擦的操縱系統(tǒng)基本特征。

圖4 模型剛度曲線

2 分段求解運動方程

彈簧振子振動過程可分為兩個部分。一是彈簧振子處于δ的間隙區(qū)內，彈簧振子m為勻減速直線運動，二是超出間隙區(qū)的有阻尼、摩擦的彈性振動。振子在兩種運動狀態(tài)之間交替，即間隙區(qū)的終值為彈簧阻尼區(qū)的初值，彈簧阻尼區(qū)的終值又為下一個間隙區(qū)的初值。

設其初始條件為x0，，其運動方程為：

設其初始條件為 x0，，，設則，其運動方程為：

則上式表示為：

僅考慮欠阻尼狀態(tài)即ξ<1的情況，解得：

回代上式，得：

對t求導得：

將初始條件代入，求得c1，c2：

可以看出，帶摩擦力的粘性阻尼彈性振動，就是將粘性阻尼彈性振動曲線在速度小于零階段曲線上移r，速度大于零階段曲線下移r，對于一個周期的運動，其自振頻率仍為ωd。

3 模型自由衰減周期求解

假定振動起始于彈簧阻尼區(qū)，其初始位移為x0=a (a>0)，初始速度定義自由衰減振動周期T為第一個位移峰峰值之間的時間間隔，其分為六個時間組成，即

其中：t1為從x0=a，到的彈簧阻尼區(qū)衰減時間；

t2為以 t1狀態(tài)結束時的 xt1、為初始狀態(tài)到的勻減速運動時間；

t3為以t2狀態(tài)結束時的xt2、為初始狀態(tài)到xt3最大負位移、的彈簧阻尼區(qū)衰減時間；

t4為以 t3狀態(tài)結束時的 xt3、為初始狀態(tài)到的彈簧阻尼區(qū)衰減時間；

t5為以t4狀態(tài)結束時的xt4為初始狀態(tài)到xt5=的勻減速運動時間；

t6為以t5狀態(tài)結束的xt5、為初始狀態(tài)到xt5最大負位移、的彈簧阻尼區(qū)衰減時間。

3.1 第一階段

由于第一階段為存在摩擦的有阻尼衰減振動，摩擦力影響位移曲線，導致超越方程的求解困難，故此采取泰勒展開方式求解。限于篇幅，本文在第一階段詳述求解過程，其他階段僅給出結果，不做詳述。

將初始條件x0=a代入(6)式中，求得：

(4)式變?yōu)椋?/p>

(5)式變?yōu)椋?/p>

此方程為超越方程無法求解出t1的表達式。

由(7)式可以看出，在此階段摩擦力f使粘性阻尼位移曲線上移r，其中立位置為此時振子振動時間可代入(7)式得：

求解方程，得：

此時刻進行受力分析：

我們將公式(7)在tz-1時刻點用二階泰勒(Taylor)中值定理展開為

忽略高階無窮小量，可以看出，這明顯為勻加速直線運動的公式，其物理意義表現(xiàn)為：在tz_1時刻點到第一階段末時刻點）這個時間段中Δt，我們將彈簧振子的運動看為以tz_1時刻點的速度為初速度，以tz_1時刻點的加速度為恒定加速，運動位移為r的勻加速直線運動。當時，代入上式，求得：

可以看出Δt→0，即r→0。這種等效的誤差是比Δt3高階的無窮小，在實際工程中可近似為精確解。

第一階段的末速度為：

3.2 第二階段：

此階段為勻減速直線運動。初始條件為第一階段結束狀態(tài)。

3.3 第三階段：

第三階段的初始狀態(tài)即第二階段末時刻的狀態(tài)。彈簧振子的運動為有阻尼、摩擦的自由衰減振動。此過程求解得：

3.4 第四階段：

第四階段的初始狀態(tài)即第三階段末時刻的狀態(tài)，彈簧振子的運動為有阻尼、摩擦的自由衰減振動。此過程求解得：，此階段與第一階段相同，出現(xiàn)求解超越方程的問題。因此需用泰勒公式在tz_4時刻展開。tz_4時刻狀態(tài)為

3.5 第五階段

此階段為勻減速直線運動。初始條件為第四階段結束狀態(tài)。

3.6 第六階段

第六階段的初始狀態(tài)即第五階段末時刻的狀態(tài)，彈簧振子的運動為有阻尼、摩擦的自由衰減振動，將初始條件代入(4)、(5)、(6)式中，得：

彈簧振子位移為：

至此，六個時間段求解全部完成。其中，第1、3、4、6階段合成即為一個完整的有摩擦、阻尼的自由振動，存在：

彈簧振子完成一個周期振動的時間：

可以看出，帶間隙、摩擦的有阻尼自由振動周期不光與彈簧、阻尼有關還與間隙大小、摩擦力大小有關，同時與進入振動的初始能量大小有關，即T=f(m, k,ξ,a,f,δ)。進入振動能量大，t2、t5就小，整個周期就小，振動頻率就大，反之亦然。這里的進入振動的能量即初始狀態(tài)的位移a的大小。可以想象當a→+∞時，t2+t5→0，即為有阻尼自由振動周期。

4 算 例

為研究各個參數(shù)對系統(tǒng)自由衰減振動周期的影響，我們假設一個基準模型如下：

圖5 位移、速度及加速度歸一化后的時間歷程

其位移、速度及加速度歸一化后的時間歷程圖見圖5所示?？匆钥闯觯灰魄€與有阻尼自由衰減曲線很相似，而速度曲線在峰值出出現(xiàn)平臺，而加速度在零值附近出現(xiàn)跳變。

由上一節(jié)推導公式可計算得，其有阻尼自振頻率為fd=9.8141Hz，帶摩擦、間隙的有阻尼系統(tǒng)自振頻率為：f=9.2487Hz。為方便研究，將所有參數(shù)進行無量綱化，定義整個帶摩擦、間隙的有阻尼自由振動頻率與有阻尼振動頻率的誤差設為Δ，即對于基準模型，其Δ=-5.76%。假設初始位移a與間隙值δ的比例為λ，即摩擦力f對系統(tǒng)彈簧所產生的靜變形量與間隙值的比值設為γ，即計算結果見圖6所示。

圖6 摩擦力、間隙對系統(tǒng)周期的影響

圖7為二維投影圖，從圖中可以看出，隨著λ的增大，Δ趨于0，γ僅在λ較小時有影響，在相同λ情況下γ值越大，則Δ越小。即：當初始振動幅值遠大于間隙值時，系統(tǒng)自振頻率接近有阻尼振動頻率；在振動幅值與間隙值接近時，摩擦越大，系統(tǒng)自振頻率越低。

5 結 語

本文通過研究現(xiàn)代飛機舵面操縱系統(tǒng)，構建帶間隙、摩擦和阻尼的非線性系統(tǒng)，求解其自由衰減振動頻率的解析表達式，研究間隙、摩擦對系統(tǒng)自振頻率的影響，得出以下結論：

1)當初始振動幅值非常大時，非線性系統(tǒng)自振頻率等于阻尼振動頻率；

2)間隙值越大，非線性系統(tǒng)自振頻率越低；

3)摩擦力僅在系統(tǒng)振動幅值較小的情況下有影響，且隨著摩擦力增大，系統(tǒng)自振頻率降低。

圖7 投影圖

隨著振動幅值的增大，非線性系統(tǒng)頻率逐漸增大并趨穩(wěn)于有阻尼振動系統(tǒng)頻率，這種現(xiàn)象與模態(tài)試驗中力頻曲線后階段一致[8]。在模態(tài)試驗中要得到操縱面旋轉頻率的穩(wěn)定值，需要足夠大的振動量值。從此模型看，在舵面上預加力矩方式，亦可測得操縱面旋轉頻率的穩(wěn)定值。

[1]徐鑫福 .飛機飛行操縱系統(tǒng).北京：北京航空航天大學出版社，1989.

[2]周志文.直升機飛行操縱系統(tǒng)動剛度特性研究.直升機技術,2010(3).

[3]管德,宗捷.結構非線性對顫振特性的影響.北京航空航天大學學報,1994(4).

[4]張偉偉,王忠波,等.迎角對間隙舵面的非線性顫振特性影響研究.機械強度,2011,33(2).

[5]姚起杭,屈見忠.實用振動工程（3）振動測量與試驗.北京：航空工業(yè)出版社,1997.

[6]沃德·海倫,斯蒂芬·拉門茲,波爾·薩斯著.白化同,郭繼忠譯.模態(tài)分析理論與試驗.北京：北京理工大學出版社，2001.

[7]王永熙 .飛機設計手冊,第12冊.飛行控制系統(tǒng)和液壓系統(tǒng)設計.北京：航空工業(yè)出版社,2003.

[8]管德.俄羅斯專家談顫振問題的處理經驗.北京：航空科學技術,1995.