龍騰飛　郭巍　申睿

摘 要：奇異性檢測(cè)在類似故障診斷這樣的工程應(yīng)用中意義非凡，其中一項(xiàng)就是關(guān)于信號(hào)故障奇異性特征的提取。通過數(shù)學(xué)軟件Matlab做了關(guān)于小波變換在噪聲信號(hào)的奇異性特征和故障信號(hào)檢測(cè)中的仿真實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，小波分析在非平穩(wěn)信號(hào)特征檢測(cè)中有著較好的穩(wěn)定性和可靠性。

關(guān)鍵詞：小波變換；奇異點(diǎn)；模極大值；Matlab仿真

近年來，小波分析理論成為眾多學(xué)術(shù)團(tuán)體和學(xué)科領(lǐng)域共同關(guān)注的熱點(diǎn)。它是應(yīng)用數(shù)學(xué)家和數(shù)據(jù)處理工程師在各自領(lǐng)域研究中分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的。隨著小波分析在應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程科學(xué)領(lǐng)域的迅速發(fā)展，尤其是計(jì)算機(jī)和信息處理技術(shù)的普及，其在信號(hào)特征檢測(cè)中的應(yīng)用越來越受到人們的關(guān)注。對(duì)于穩(wěn)定不變的信號(hào)來說，傅立葉分析是理想的處理工具，但在實(shí)際工程應(yīng)用中由于絕大多數(shù)信號(hào)是非平穩(wěn)的，其最佳處理工具則是小波分析。

1 信號(hào)奇異性的相關(guān)理論[1-2]

奇異信號(hào)也稱突變信號(hào)，在諸如圖像邊緣檢測(cè)、機(jī)械故障診斷、電力系統(tǒng)故障、腦電圖、心電圖的異常等實(shí)際問題中，每一個(gè)細(xì)小的變化都對(duì)應(yīng)著信號(hào)的突然變化。因此，研究信號(hào)的奇異性突變檢測(cè)有著十分重要的意義。

1.1 奇異信號(hào)的種類

一般說來，信號(hào)的奇異性有兩種：一種是其幅值在某一時(shí)刻內(nèi)由于發(fā)生了突變而產(chǎn)生了非連續(xù)信號(hào)，我們把其幅值的突變點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)；另一種是信號(hào)的外觀很光滑且幅值不發(fā)生突變，而信號(hào)的一階倒數(shù)有突變但不連續(xù)，我們把幅值的突變點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)。

1.2 信號(hào)奇異性與Lipschitz指數(shù)

信號(hào)的奇異點(diǎn)表征了信號(hào)的突變特征，有時(shí)表現(xiàn)為間斷或尖峰，有時(shí)則表現(xiàn)為某階導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)。從數(shù)學(xué)的角度分析，如果函數(shù)f（t）存在間斷點(diǎn)或其某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱該間斷點(diǎn)為函數(shù)f（t）的奇異點(diǎn)。轉(zhuǎn)換成信號(hào)領(lǐng)域，我們習(xí)慣用利普西茲指數(shù)（Lipschitz）α來刻畫信號(hào)f（t）在該點(diǎn)處的奇異程度。

一般情況下，我們用某一點(diǎn)處的利普西茲指數(shù)α表征信號(hào)函數(shù)f（t）在該點(diǎn)處的奇異性大小：α越大信號(hào)的光滑度越好，在該點(diǎn)處擁有越小的奇異性；反之，α越小信號(hào)的光滑度越差，在該點(diǎn)處擁有越大的奇異性。

如果信號(hào)函數(shù)f（t）在時(shí)間點(diǎn)t0處可導(dǎo)，則該點(diǎn)的利普西茲指數(shù)α>1；如果f（t）在t0連續(xù)不可導(dǎo)，則該點(diǎn)的利普西茲指數(shù)α=1；假若f（t）在t0點(diǎn)不連續(xù)且其值有限，則該點(diǎn)的利普西茲指數(shù)0<α<1。如表1所示，給出了沖擊函數(shù)、階躍函數(shù)、斜升函數(shù)以及白噪聲在奇異點(diǎn)處的利普西茲指數(shù)一覽。

2 小波變換在奇異性信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用

2.1 小波變換與信號(hào)的奇異性檢測(cè)的相關(guān)理論

在工程應(yīng)用中，故障的發(fā)生往往會(huì)帶來信號(hào)峰值的突然變化。因此，研究奇異點(diǎn)所隱含的信息將為解決實(shí)際問題提供極大幫助[3]。

研究表明，小波變換的模極大值與變換尺度和奇異指數(shù)α之間有如下關(guān)聯(lián)：當(dāng)α=0時(shí)，無論尺度如何變化，小波變換的模極大值都不變；當(dāng)α>0時(shí)，隨著尺度的增大，小波變換的模極大值跟著增大；當(dāng)α<0時(shí)，隨著尺度的增大，小波變換的極大值隨之減小。白噪聲是一種特殊的隨機(jī)分布信號(hào)，它的利普西茲指數(shù)保持α<0，故隨著尺度的增大，其小波變換的極大值將減小。

據(jù)此，結(jié)合已有研究成果可以進(jìn)一步推導(dǎo)得出：信號(hào)f（t）的小波變換模極值點(diǎn)就是它自身的信號(hào)奇異點(diǎn)，描述該奇異點(diǎn)特征的利普西茲指數(shù)則可以通過計(jì)算小波變換尺度的衰減細(xì)況得到。

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.2.1 故障奇異信號(hào)檢測(cè)的Matlab仿真

系統(tǒng)如果發(fā)生故障會(huì)出現(xiàn)噪聲信號(hào)，我們可以通過小波變換提取噪聲特征的方式進(jìn)行系統(tǒng)故障的精確定位，進(jìn)而做到故障修復(fù)。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，對(duì)信號(hào)f（t）先進(jìn)行多尺度分解，隨后重構(gòu)其不同尺度的高頻部分[4，5]，得到了相應(yīng)的噪聲成分。實(shí)驗(yàn)中使用db3小波基對(duì)系統(tǒng)異常時(shí)的輸出信號(hào)進(jìn)行了六層多分辨率分析。如圖1所示。

仿真結(jié)果分析：由圖1可以看出，該實(shí)例中出現(xiàn)的間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn)，通過db3小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度分析，由細(xì)節(jié)信號(hào)可以很明顯判斷出故障的位置，在t=500時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了異常情況，在t=1000時(shí)，系統(tǒng)工作恢復(fù)了正常。觀察圖1，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過用db3小波對(duì)系統(tǒng)異常時(shí)輸出信號(hào)進(jìn)行六層多分辨率分析的過程，實(shí)際上是每層分解是用不同的高、低通濾波器對(duì)上一層的低通信號(hào)進(jìn)行濾波處理，最終的分解信號(hào)中第六層的低頻信號(hào)ca6是得到的信號(hào)的低頻成分，而經(jīng)過六層分解得到的高頻信息成分分別為dl、d2、d3、d4、d5、d6，它們?cè)陬l率分辨率和時(shí)間分辨率兩項(xiàng)數(shù)據(jù)上的表現(xiàn)剛好相反，即頻率分辨率越來越高，而時(shí)間分辨率會(huì)越來越小。第一層分解的d1高頻系數(shù)清楚地確定了故障信號(hào)所持續(xù)的時(shí)間段。

2.2.2 用Matlab檢測(cè)噪聲奇異信號(hào)

在實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)往往都夾雜著噪聲，這無疑增加了檢測(cè)奇異點(diǎn)的難度。本仿真實(shí)例中引入的是一個(gè)含高斯白噪聲的矩形波信號(hào)，如圖2所示。在利用小波變換對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行奇異點(diǎn)檢測(cè)時(shí)有兩種方法：一是對(duì)含噪信號(hào)采用適當(dāng)?shù)奶幚矸椒ㄟM(jìn)行去噪處理，然后對(duì)消噪信號(hào)進(jìn)行小波分解；二是利用小波函數(shù)對(duì)含噪信號(hào)f（t）進(jìn)行直接分解，通過分解出來的的第一層細(xì)節(jié)信號(hào)特征估算出噪聲所在的大體位置，進(jìn)而在小波分解的更深層次上展現(xiàn)出信號(hào)的奇異點(diǎn)[5，6]。

使用db3小波對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行六層多分辨率分析，得到的小波分解圖，如圖3所示，在第一層細(xì)節(jié)信號(hào)中可以清晰地看到奇異點(diǎn)的位置。接下來，對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行去噪處理，即抑制信號(hào)中的無用部分，增強(qiáng)信號(hào)中的有用部分。觀察圖2，處理后的信號(hào)大體上保留了初始信號(hào)的特征，同時(shí)去除了噪聲干擾，去噪效果比較明顯。對(duì)消噪信號(hào)進(jìn)行小波分解，由第一層和第二層細(xì)節(jié)信號(hào)能夠粗略地判斷出奇異點(diǎn)的位置，而直接對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行小波分解，第一層細(xì)節(jié)信號(hào)噪聲影響是很明顯的，信號(hào)奇異性在更深層次的細(xì)節(jié)信號(hào)d3、d4表現(xiàn)了出來，如圖4所示。

因此，如果一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生了故障，往往會(huì)帶來輸出信號(hào)的奇變，所混雜的噪聲信號(hào)也會(huì)隨之增強(qiáng)。因此，在提取系統(tǒng)輸出信號(hào)特征時(shí)進(jìn)行去噪處理，同時(shí)重點(diǎn)分析系統(tǒng)輸出信號(hào)的高頻分量特征可以有效實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)故障的檢測(cè)。

3 結(jié)語

小波變換在信號(hào)處理中被稱為顯微鏡，通過局部模極大值的性質(zhì)能精確分析信號(hào)在小波變化下的局部奇異性，給出各奇異點(diǎn)的位置。實(shí)驗(yàn)表明，小波變換在故障信號(hào)、噪聲信號(hào)的奇異性特征檢測(cè)方面有著較好可靠性和穩(wěn)定性，正成為當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域。

[參考文獻(xiàn)]

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