李志秀

（晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，山西晉中030619）

（編輯 郭繼榮）

0 引言

給定了一個群G，若能夠找到另外的一個群H，H Z（H ）?G，則稱G為capable群.最早是在1938年Baer開始對中心商問題研究，后來P.Hall和M.Hall等學(xué)者都對此問題做過研究.近年來也有一些學(xué)者取得了新的結(jié)果.2003年，Michael R.Bacon和Luise-Charlotte Kappe借助于他們對二元生成的類2的p（p＞2）群的分類結(jié)果，在文[2]給出了此類群是capable群的充要條件.此外，還給出了類2的p（p＞2）群是capable群的一個必要條件.2005年，Arturo Magidin利用冪零積的概念對capable群進行研究，推廣了P.Hall和Baer的結(jié)果，給出了類為k的群是capable群的必要條件，并且在文[3]給出了二元生成的類為2的p（p＞2）群是capable群的充要條件的另一種證明.但是，迄今為止，對于這個問題的研究總的來看還是不夠的，還有必要進一步探索.

1 主要結(jié)果

引理1.1 （[1]）設(shè)G是有限p-群.

（1）若 c（G ）＜p，則G正則.

（3）若p＞2且G′循環(huán)，則G正則.

（4）若 exp（G ）＝p，則G正則.

引理 1.2 （[1]）設(shè) G 是有限正則p-群，a，b∈G，s，t為非負整數(shù)，則

定理1.3 設(shè)m是正整數(shù)，p是素數(shù)，且滿足p≥5.則群

是capable群當且僅當m≤2.

證明 “?”因為c（G ）＝3，所以若存在p群H，使得H Z（H ）?G時,有c（H ）＝4，由引理1.1可知H正則，H為正則p群的中心商.設(shè).則cp∈Z（H ），由引理 1.2可知，即，若 m大于 2，則矛盾與.所以 m≤2.

“?”m＝1時，G是 p3階群，存在

事實上，H可由交換群〈a〉×〈e〉出發(fā)，依次添加兩個元素c，b做兩次循環(huán)擴張得到.可設(shè)，在 A 中規(guī)定映射：

則ab＝a，C誘導(dǎo)A的一個p階自同構(gòu)，得到B，

在B中規(guī)定映射：

則ab＝a，b誘導(dǎo)B的一個p階自同構(gòu)，可得到H.Z（）G ＝〈e〉，H Z （ ）

H?G.G是capable群.m＝2時，令

［1］徐明曜.有限群導(dǎo)引：下冊［M］.北京：科學(xué)出版社，1999.

［2］M.Bacon，L.C.Kappe.On capablep-group of nilpotency class two［J］.lllinois Journal of Mathematics Volume，2003（47）：49~62.

［3］Magidin.Arturo.Capability of nilpotent productsof cyclic groups［J］.J.Grpup Theory，2005，8（4）：431~452.