常景娜，高慧斌，喬冠宇

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春130033;2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100039)

0 引 言

光電經(jīng)緯儀對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤測量［1］時，目標(biāo)的運(yùn)動參數(shù)是確定捕獲和瞄準(zhǔn)技術(shù)要求的主要依據(jù)。將目標(biāo)的運(yùn)動參數(shù)反饋給光電經(jīng)緯儀的伺服控制系統(tǒng)或武器平臺的發(fā)射系統(tǒng)，作為目標(biāo)繼續(xù)捕獲或攻擊參數(shù)確定的參考。因此，提高目標(biāo)運(yùn)動參數(shù)的精度，在經(jīng)緯儀目標(biāo)跟蹤測量中具有非常重要的現(xiàn)實意義。

為了獲得目標(biāo)的速度，首先要根據(jù)經(jīng)緯儀輸出的測量數(shù)據(jù)計算目標(biāo)的空間坐標(biāo);其次，擬合目標(biāo)的運(yùn)動軌跡，采用相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理方式得到目標(biāo)的運(yùn)動參數(shù)。動態(tài)目標(biāo)的跟蹤測量一般選用兩臺或兩臺以上的光電經(jīng)緯儀對目標(biāo)進(jìn)行交會跟蹤測量。多站交會測量［2，3］時，多臺經(jīng)緯儀要滿足多站布站的原則，測量數(shù)據(jù)較多，需切換交會公式，因此，數(shù)據(jù)的利用率低，且?guī)磔^多的誤差項，后續(xù)誤差計算較麻煩;對于雙站交會測量［4］方法，當(dāng)目標(biāo)位于兩臺經(jīng)緯儀基線上方時，交會精度不高，測量數(shù)據(jù)不可用;采用一臺光電經(jīng)緯儀匹配激光測距傳感器［5］，根據(jù)其輸出的角度值和距離值就可以確定目標(biāo)的空間坐標(biāo)，適用于靶場光電測量試驗和外場試驗，但易發(fā)生單站丟失目標(biāo)的情況，且測量精度低于雙站交會測量方法。目前，應(yīng)用在經(jīng)緯儀上擬合目標(biāo)運(yùn)動軌跡的方法大多采用最小二乘法［6～9］，最小二乘法是根據(jù)均方根誤差最小的原理得到目標(biāo)的運(yùn)動軌跡。對于做復(fù)雜運(yùn)動，且速度較快的目標(biāo)來說，要達(dá)到較高的擬合精度，擬和函數(shù)的階次較高，計算量大，實時性不好。

本文提出了一種兩臺經(jīng)緯儀僅一臺匹配激光測距儀，單站、雙站綜合測量目標(biāo)空間位置;采用三次樣條插值函數(shù)擬合目標(biāo)運(yùn)動軌跡的測量方法。相比于傳統(tǒng)方法，既避免了一臺經(jīng)緯儀測站丟失目標(biāo)的情況，又具有較高的測量精度;且三次樣條插值函數(shù)具有二階光滑度和良好的收斂性，在理論和應(yīng)用上均有重要意義。

1 激光測距傳感器

激光測距傳感器是通過測量激光往返目標(biāo)所需時間來確定目標(biāo)距離的一種傳感器。光電經(jīng)緯儀上安裝的激光測距子系統(tǒng)由激光器、激光發(fā)射裝置、激光接收裝置以及處理電路組成。傳感器工作時，由激光二極管向目標(biāo)發(fā)射脈沖極窄的激光脈沖，經(jīng)目標(biāo)反射后激光脈沖向各個方向散射，部分散射光返回到傳感器的接收裝置，記錄并處理從激光脈沖發(fā)出到返回被接收所經(jīng)歷的時間，即可確定目標(biāo)的距離，如式(1)所示

其中，R 為目標(biāo)距光電經(jīng)緯儀的距離，c 為光速，t 為激光脈沖從發(fā)射到返回接收器的時間。本文采用的激光測距傳感器測量距離可達(dá)6 000 m，當(dāng)測量距離小于2 000 m 時，測距精度為0.2 m。

2 空間坐標(biāo)測量原理

將滿足交會測量條件的兩臺光電經(jīng)緯儀其中一臺安裝激光測距裝置，兩臺經(jīng)緯儀的布站方式如圖1 所示。OXYZ為發(fā)射坐標(biāo)系，兩臺經(jīng)緯儀的光心位置分別為O1，O2，兩測站之間的距離為L，基線與X 軸正向的夾角為φ。以O(shè)1，O2為坐標(biāo)原點建立符合右手定則的坐標(biāo)系O1X1Y1Z1，O2X2Y2Z2。為簡便起見，布站時將坐標(biāo)原點O1，O2和O 設(shè)置于同一平面內(nèi)，且坐標(biāo)軸的方向一致。在發(fā)射坐標(biāo)系下，兩測站原點的坐標(biāo)分別為(X10，Y10，Z10)，(X20，Y20，Z20)。目標(biāo)沿M0M1M2…Mn軌跡飛行，在測量水平面的投影為M0'M1'M2'…Mn'。在跟蹤測量的ti時刻，目標(biāo)位于Mi點，兩臺光電經(jīng)緯儀測得的方位角和俯仰角分別為A1i，A2i，E1i，E2i，由三角形正弦定理，可得目標(biāo)在發(fā)射坐標(biāo)系下基于A 站O1X1Y1Z1的空間坐標(biāo)方程，如式(2)所示

根據(jù)函數(shù)誤差傳遞原理對式(2)中的各自變量分別求偏微分，易知，當(dāng)目標(biāo)位于兩臺經(jīng)緯儀基線上方時，(A2i－A1i)約等于π，分母上sin2(A2i－A1i)為極小值，給空間坐標(biāo)帶來較大的測量誤差。這時，采用激光測距儀輸出的空間距離和經(jīng)緯儀輸出的測角數(shù)據(jù)，通過式(3)實現(xiàn)單站空間定位，可以有效地避免雙站交會帶來的測量誤差。由此可見，采用單站、雙站交會綜合測量的方法可以有效地提高目標(biāo)空間位置的測量精度

圖1 經(jīng)緯儀布站圖Fig 1 Station-distribution of theodolite

3 建立三次樣條插值函數(shù)

根據(jù)光電經(jīng)緯儀輸出的數(shù)據(jù)可以得到目標(biāo)各時間節(jié)點的空間位置，獲得目標(biāo)的離散空間運(yùn)動軌跡。為了獲取目標(biāo)的連續(xù)運(yùn)動軌跡往往需要求出不在時間節(jié)點上的目標(biāo)方位坐標(biāo)，因此，選擇插值方法來獲得目標(biāo)運(yùn)動軌跡的變化規(guī)律。

三次樣條插值函數(shù)由分段三次曲線并接而成，不僅在連接點上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)、具有二階光滑度，還克服了高次插值既不收斂又不穩(wěn)定的特點，因此，更適合于目標(biāo)運(yùn)動參數(shù)的求取。將目標(biāo)的復(fù)合運(yùn)動分解成X，Y，Z 三個方向的分運(yùn)動，沿X，Y，Z 三個方向隨時間變化的分量分別為(ti，Xi)，(ti，Yi)，(ti，Zi)。其中，在ti～ti+1時間段中，X 方向上的三次樣條插值函數(shù)如式(4)所示

其中，hi為步長。

利用起始點和終止點的導(dǎo)數(shù)值已知并連續(xù)的條件建立固支樣條可得矩陣式(5)，并求得N0N1N2…Nn

得到目標(biāo)在各時間節(jié)點間的三次樣條插值函數(shù)，對目標(biāo)各方向分運(yùn)動函數(shù)分別求取一階導(dǎo)數(shù)，就可以得到目標(biāo)在X，Y，Z 三個方向分運(yùn)動的速度值。

4 實驗結(jié)果與分析

為驗證本文提出算法的合理性與可靠性，根據(jù)現(xiàn)有的實驗條件設(shè)計以下實驗予以驗證。在圖1 所示的坐標(biāo)系下，目標(biāo)沿M0M1M2…Mn軌跡做躍升機(jī)動運(yùn)動。兩臺經(jīng)緯儀分別位于目標(biāo)軌跡的兩側(cè)，A，B 兩觀測站相對于發(fā)射坐標(biāo)系的坐標(biāo)分別為(－900，0，－200)m 和(1200，0，200)m。為了充分驗證本文提出方法的可靠性，實驗將分為兩部分進(jìn)行，首先根據(jù)兩臺光電經(jīng)緯儀和激光測距儀輸出的數(shù)據(jù)計算目標(biāo)的空間位置、擬合目標(biāo)的運(yùn)動軌跡、計算運(yùn)動參數(shù)，然后對比本文提出方法與傳統(tǒng)方法的測量精度。

通過A，B 兩臺光電經(jīng)緯儀輸出的角度信息采用交會測量方法利用式(2)可計算目標(biāo)的空間位置;當(dāng)目標(biāo)位于兩臺經(jīng)緯儀基線上方時，采用A 站光電經(jīng)緯儀輸出的方位角、俯仰角和激光測距儀輸出的目標(biāo)距離通過式(3)得到目標(biāo)的空間位置。兩臺經(jīng)緯儀匹配編碼器的測角精度均為20″，激光測距儀的測距精度為0.2 m(R ＜2 000 m)，由函數(shù)誤差傳遞原理求得目標(biāo)空間位置的測量精度，目標(biāo)空間位置坐標(biāo)及測量誤差如圖2 所示。由圖易知，當(dāng)目標(biāo)位于兩臺經(jīng)緯儀基線上方時，測量精度出現(xiàn)極大值，給空間位置測量帶來極大的誤差。因此，采用本文提出的空間坐標(biāo)計算方法可以有效地減小空間坐標(biāo)的測量誤差。

將目標(biāo)的空間運(yùn)動分解到X，Y，Z 三個方向，由上述得到的目標(biāo)在各時間節(jié)點的空間坐標(biāo)，以及目標(biāo)在起始點和終止點的速度分量建立固支樣條，通過式(4)、式(5)計算目標(biāo)在各時間段的三次樣條插值函數(shù)，獲得目標(biāo)的分運(yùn)動軌跡，如圖3 所示。由矢量合成方法得到目標(biāo)的空間運(yùn)動軌跡如圖4 所示，符合目標(biāo)的躍升機(jī)動運(yùn)動狀態(tài)。

圖2 目標(biāo)的空間位置坐標(biāo)與測量誤差Fig 2 Spacial position coordinates of target and measurement errors

圖3 目標(biāo)分運(yùn)動軌跡Fig 3 Moving track of target

圖4 目標(biāo)的空間運(yùn)動軌跡Fig 4 Spacial moving track of target

對目標(biāo)的分運(yùn)動軌跡進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得到目標(biāo)的速度，如圖5 所示。由軌跡圖和速度圖易知，目標(biāo)在空間內(nèi)做躍升機(jī)動運(yùn)動。在X 軸方向上基本沒有位移，速度趨近于零;在Y 軸方向上，目標(biāo)從1000 m 躍升到1500 m，隨著躍升高度的增加，速度先增加然后保持穩(wěn)定又逐漸降低;在Z 軸方向上，從Z 軸的正向運(yùn)動到了Z 軸的負(fù)向，速度始終為負(fù)值，在躍升運(yùn)動的初始階段速度加速降低，隨后保持平穩(wěn)，最后又加速降低，反映了目標(biāo)先平穩(wěn)飛行然后機(jī)動躍升再平穩(wěn)飛行的實際情況。

圖5 目標(biāo)分速度曲線圖Fig 5 Velocity components curves of target

由誤差傳遞原理易知，利用三次樣條插值方法擬合目標(biāo)的運(yùn)動軌跡，在X，Y，Z 三個方向的測速精度分別為0.194，0.514，0.347 m/s。由此可見，三次樣條插值方法可以很好地擬合目標(biāo)的運(yùn)動軌跡，在測量距離不超出2 000 m的空間范圍內(nèi)測速精度可以達(dá)到0.649 m/s，測速精度提高了0.351 m/s。同時，三次樣條插值方法的數(shù)據(jù)處理速度優(yōu)于傳統(tǒng)方法，更適合應(yīng)用于實際目標(biāo)的實時跟蹤。

5 結(jié) 論

本文結(jié)合光電經(jīng)緯儀伺服控制系統(tǒng)的需求，提出了一種計算目標(biāo)運(yùn)動參數(shù)的新方法。本方法主要基于空間坐標(biāo)理論和曲線擬合的相關(guān)算法，首先將光電經(jīng)緯儀和激光測距儀輸出的測量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成目標(biāo)的空間坐標(biāo)，其次采用三次樣條插值方法擬合目標(biāo)的運(yùn)動軌跡，最后通過數(shù)據(jù)處理得到目標(biāo)的運(yùn)動參數(shù)及其測量精度。實驗證明:該方法提高了目標(biāo)運(yùn)動參數(shù)的測量精度，在X，Y，Z 各方向上測量誤差都在0.6 m/s 以內(nèi)，驗證了該方法的可行性。

［2］ 賈 濤，吳能偉，陳 濤.光電經(jīng)緯儀組網(wǎng)測量位置估計的Cramer－Rao 限［J］.光電工程，2005，32(7):4－6.

［3］ 顧 青，毛建民.光電經(jīng)緯儀空中軌跡交會測量方法研究及誤差分析［J］.地礦測繪，2009，25(1):12－14.

［4］ 譚振江，郭麗虹，于 涌，等.經(jīng)緯儀目標(biāo)交匯測量及航跡曲線擬合［J］.光電工程，2002，29(6):17－20.

［5］ 張黎明，張 毅，趙 欣.基于TDC 的激光測距傳感器飛行時間測量研究［J］.傳感器與微系統(tǒng)，2011，30(12):71－72.

［6］ 蔡 山，張 浩，陳洪輝，等.基于最小二乘法的分段三次曲線擬合方法研究［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2007，7(3):352－355.

［7］ 陳嵐峰，楊靜瑜，崔 崧，等.基于Matlab 的最小二乘曲線擬合仿真研究［J］.沈陽師范大學(xué)學(xué)報，2014，32(1):75－79.

［8］ Jens Hacker，Bernd－H Kroplin.An experimental study of visual flight trajectory tracking and pose prediction for the automatic computer control of a miniature airship［J］.SPIE Intelligent Computing，2003，5103(3):25－36.

［9］ 李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2001:90－97.