師 海，白明洲，李 麗，田 崗，張?jiān)讫?/p>

（1．北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京100044；2．中國(guó)地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測(cè)院，北京100081）

巖溶隧道施工條件和地質(zhì)環(huán)境復(fù)雜，一直是困擾隧道設(shè)計(jì)與施工人員的技術(shù)難題，傳統(tǒng)的獲得巖石信息和監(jiān)測(cè)的方式工作量大、效率較低，且存在安全隱患［1］。三維激光掃描技術(shù)具備高采樣率，可較快速、精準(zhǔn)地反映出待測(cè)目標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)，因此將三維激光掃描應(yīng)用到隧道等地下工程的巖體的結(jié)構(gòu)面信息采集工作中［2－4］，以便可以確切的反映隧道內(nèi)地學(xué)目標(biāo)點(diǎn)的切實(shí)、復(fù)雜狀態(tài)。但利用三維激光掃描儀快速獲取的隧道掌子面掃描區(qū)域的海量巖體三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)中，由于在掃描過(guò)程中受到巖溶隧道內(nèi)機(jī)械設(shè)備的遮擋、長(zhǎng)距離、大入射角掃描等影響，引起掃描點(diǎn)異常的可能性較大，不可避免的對(duì)獲取的巖體信息—結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀的精度產(chǎn)生影響［5－7］。因此，有必要對(duì)獲取的海量點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波插值，只有將這些影響精度的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波插值后，才能在巖溶隧道巖體信息獲取和分析中有效利用，為最終生成DEM服務(wù)［5］。目前，點(diǎn)云數(shù)據(jù)插值方法主要包括平面擬合法、最小二乘法、基于分類的算法、基于地形坡度的方法、基于形態(tài)學(xué)開(kāi)運(yùn)算方法等［6－8］。但是，巖溶隧道圍巖的變形主要是由巖塊的轉(zhuǎn)動(dòng)、滑移，巖石彈塑性變形等引起，形態(tài)比較復(fù)雜，而且傳統(tǒng)的單一插值方法很難同時(shí)考慮到各種影響因素的關(guān)系，為了發(fā)揮各種方法的優(yōu)勢(shì)，提高巖體結(jié)構(gòu)面信息--產(chǎn)狀獲取的精度，提出將Kriging算子和最小二乘法插值理論結(jié)合，形成組合插值方法，借助三維激光掃描技術(shù)更加準(zhǔn)確的獲取正在施工中的巖溶隧道巖體信息—結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀。

1 點(diǎn)云插值理論模型的建立

利用三維激光掃描技術(shù)獲取大量的巖溶隧道巖體的點(diǎn)云數(shù)據(jù)之后，一個(gè)重要的步驟是插值，使用單一的插值模型具有不穩(wěn)定性，因此應(yīng)用基于Kriging算法和最小二乘法的組合方法，它是在原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用最小二乘法的原理建立遺傳算法目標(biāo)函數(shù)，改進(jìn)Kriging算法的變異函數(shù)理論模型，使得獲取信息的精度提高，也即為組合插值理論，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證優(yōu)化Kriging插值方法在處理點(diǎn)云、獲取巖溶隧道巖體信息的實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)。

1．1 Kriging插值理論

Kriging算法既考慮已知點(diǎn)云位置與待估點(diǎn)云位置相關(guān)關(guān)系，還考慮各個(gè)掃描點(diǎn)的空間相關(guān)性，是一種擁有無(wú)偏性、方差小和線性等特征的空間插值方法，應(yīng)用它可計(jì)算出各個(gè)估值的誤差，而且可得到估值的可信度。在應(yīng)用三維激光掃描技術(shù)獲得巖溶隧道掌子面點(diǎn)云數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，構(gòu)建出一個(gè)只與點(diǎn)云之間的空間距離間隔關(guān)聯(lián)的半方差函數(shù)，則可求出各擬合點(diǎn)的權(quán)系數(shù)，據(jù)此進(jìn)行點(diǎn)云之間的高程內(nèi)插，并通過(guò)后處理獲取巖體的信息［9－10］。

假設(shè)Z＊（xi，yi）是掃描獲取的點(diǎn)云承載區(qū)域化的變量，在掃描區(qū)域內(nèi)的n個(gè)位置上取樣，記為Z＊（x1，y1），Z＊（x2，y2），…，Z＊（xn，yn），則 在 點(diǎn)云區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)（xp，yp）的估值為

式中：μ為拉格朗日乘子；γ（xi，yi）為變異函數(shù)，求出λi后便可以計(jì)算出預(yù)估點(diǎn)云的高程值。

根據(jù)以上原理就可將通過(guò)三維激光掃描技術(shù)獲得的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。Kriging算子的優(yōu)點(diǎn)是：采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)可多可少。因此，用此方法插值的結(jié)果往往更接近實(shí)際情況。但針對(duì)正在施工的巖溶隧道，點(diǎn)云數(shù)據(jù)較多，所以基于Kriging算子的插值方法計(jì)算較復(fù)雜，且速度慢。

1．2 最小二乘法擬合理論

最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。應(yīng)用其擬合三維激光掃描技術(shù)獲得巖溶隧道掌子面點(diǎn)云曲線關(guān)鍵在于利用最小化誤差的平方和尋求數(shù)據(jù)的最有利函數(shù)匹配。

設(shè)獲取的已知點(diǎn)云數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，m）及各點(diǎn)的權(quán)系數(shù)ai，求出點(diǎn)云數(shù)據(jù)x與擬合的曲線y 之間的函數(shù)關(guān)系y＝s（x；a0，a1，…，an），其中i＝0，1，…，m（m＜n），由于最小二乘法只要求誤差的最小值。則假設(shè)逼近函數(shù)為

式（3）的最小值

將式（5）根據(jù)內(nèi)積的定義，改成關(guān)于a0，a1，…，an的線性方程組，其矩陣形式為

由于φ0x φ1x φnx 是線性無(wú)關(guān)的，則可求出其唯一解ak＝a＊k，k＝0，1，…，n。

利用最小二乘法進(jìn)行差值只需求解目標(biāo)函數(shù)的極值，因而計(jì)算簡(jiǎn)單、速度快。但是其存在一個(gè)缺點(diǎn)，即所有插值點(diǎn)云數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的貢獻(xiàn)都是均等的，它沒(méi)有考慮到其中對(duì)最后結(jié)果有影響的異常點(diǎn)，因而往往使得最后得到的結(jié)果與實(shí)際情況存在差異［12］。

1．3 基于Kriging算法和最小二乘法的組合理論

針對(duì)上述情況，根據(jù)巖溶隧道巖性較差、施工環(huán)境相對(duì)惡劣等因素，可知在三維激光掃描技術(shù)中獲取巖石產(chǎn)狀，受到許多因素綜合作用的影響，如果只是采用一種插值模型，則不能夠全面、精確的提取出產(chǎn)狀信息。在參考和總結(jié)以前的研究后，針對(duì)上述情況及Kriging算子和最小二乘擬合法在濾波插值中本身的缺點(diǎn)，提出一種利用函數(shù)參數(shù)估計(jì)插值的方法，即將Kriging算子插值法與最小二乘法曲面擬合相結(jié)合。

基于Kriging算法和最小二乘法組合方法是針對(duì)Kriging插值函數(shù)在距離不同的區(qū)域內(nèi)，插值的點(diǎn)云數(shù)目的不同，確定和分析其可信度。即點(diǎn)云數(shù)目越多，插值函數(shù)越可信，所以在插值擬合時(shí)考慮在式（4）的基礎(chǔ)上增加權(quán)重系數(shù)。其主要根據(jù)是最小二乘法原理對(duì)原始的點(diǎn)云數(shù)據(jù)實(shí)施變換，加入合適的權(quán)重系數(shù)ωi，據(jù)此分析，權(quán)重系數(shù)：

其中n（h）為距離相隔h的點(diǎn)云的數(shù)目。則組合插值模型的目標(biāo)函數(shù)為

2 工程實(shí)例

新建滬昆鐵路客運(yùn)專線湖南段雪峰山1號(hào)隧道為特長(zhǎng)隧道，涌水量大，穿越多條斷層及石水坑、吉祥村大型背斜構(gòu)造，地質(zhì)條件極為復(fù)雜，工期風(fēng)險(xiǎn)很大。其構(gòu)造屬于剝蝕、溶蝕中低山地貌。隧道范圍內(nèi)地表為第四系全新統(tǒng)沖洪積巖（Q4），上更新統(tǒng)殘坡積層（Q3），下伏基巖為震旦系上統(tǒng)金家洞組（Z2j），下統(tǒng)洪江組（Z1hj）。針對(duì)本區(qū)域內(nèi)巖溶隧道的情況，使用徠卡HDS－4400三維激光掃描儀見(jiàn)圖1（a）。

2．1 巖溶隧道掌子面點(diǎn)云數(shù)據(jù)的獲取

由于三維激光掃描儀架設(shè)基點(diǎn)的確定需要進(jìn)行大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，但是受到此巖溶隧道復(fù)雜的施工場(chǎng)地及起伏地形的限制，為了方便快速識(shí)別坐標(biāo)控制基點(diǎn)，在巖溶隧道點(diǎn)云數(shù)據(jù)獲取時(shí)應(yīng)用三維激光掃描儀和地質(zhì)羅盤(pán)相互配合進(jìn)行簡(jiǎn)單、迅速的定位［13］。掃描操作：架設(shè)三腳架時(shí)，先按照測(cè)平的水泡，不斷調(diào)整腳支架直至將三腳架頂部調(diào)整至水平，使得腳架固定好。利用標(biāo)靶進(jìn)行拼接，根據(jù)所測(cè)隧道的特點(diǎn)及隧道內(nèi)的環(huán)境，確定測(cè)站數(shù)為2個(gè)，設(shè)置4個(gè)標(biāo)靶，并且使得掃描儀在兩個(gè)測(cè)站位置都能觀測(cè)；啟動(dòng)掃描軟件，設(shè)置亮度，掃描精度，并設(shè)置掌子面區(qū)域的掃描角度，設(shè)定采集間距，對(duì)測(cè)區(qū)掌子面和標(biāo)靶進(jìn)行高密度掃描，獲取標(biāo)靶和掌子面點(diǎn)云數(shù)據(jù)，并基于標(biāo)靶進(jìn)行拼接，得到測(cè)區(qū)完整點(diǎn)云圖，如圖1所示。

圖1 點(diǎn)云數(shù)據(jù)的獲取

2．2 巖溶隧道掌子面點(diǎn)云數(shù)據(jù)濾波、插值

三維激光掃描系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)為點(diǎn)云數(shù)據(jù)，點(diǎn)云數(shù)據(jù)首先處理濾波、插值。

為了驗(yàn)證該組合插值方法在基于三維激光掃描技術(shù)的巖溶隧道巖體信息——巖石產(chǎn)狀獲取中的有效性。根據(jù)式（7）的推導(dǎo)過(guò)程設(shè)置插值計(jì)算流程，建立組合插值模型的步驟如圖2所示。

1）首先建立變異函數(shù)模型。按照原始數(shù)據(jù)直方圖對(duì)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，剔除點(diǎn)云數(shù)據(jù)中的瑕點(diǎn)，繪制試驗(yàn)變異函數(shù)圖形；再采用球狀和高斯模型擬合變異函數(shù)解析式

2）調(diào)用Matlab軟件工具箱中的適應(yīng)度函數(shù)，并帶入式（6）中的權(quán)重系數(shù)，完成基于組合模型的巖溶隧道掌子面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)的插值。

圖2 建立組合插值模型的流程

2．3 巖溶隧道掌子面巖體信息——結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀

將點(diǎn)云數(shù)據(jù)應(yīng)用建立的組合插值理論處理后，導(dǎo)入到HDS－4400三維激光掃描儀自身攜帶的軟件I－site中，進(jìn)行巖石結(jié)構(gòu)面的辨別。原理：首先將要獲取產(chǎn)狀的結(jié)構(gòu)面點(diǎn)云數(shù)據(jù)選中，并將按選中結(jié)構(gòu)面點(diǎn)云擬合成一個(gè)平面——結(jié)構(gòu)面。而后得出該平面的參數(shù)方程，即平面方程式中：A，B，C，D 均為參數(shù)，其中A，B，C 組成平面法向量坐標(biāo)n，即n＝｛A，B，C｝。在掃描點(diǎn)云坐標(biāo)系統(tǒng)中y軸對(duì)應(yīng)工程坐標(biāo)中的N（北）方向，x軸對(duì)應(yīng)E（東）方向，z軸為垂直方向，由此可求出相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)面信息產(chǎn)狀（見(jiàn)圖3）。

圖3 選中、識(shí)別的結(jié)構(gòu)面

2．4 精度的評(píng)定

經(jīng)過(guò)Kriging算法和最小二乘法的組合理論插值處理后的點(diǎn)云，根據(jù)結(jié)構(gòu)面識(shí)別的方法，識(shí)別出其中30個(gè)結(jié)構(gòu)面，并且解譯出其結(jié)構(gòu)面的產(chǎn)狀，與單一的最小二乘法進(jìn)行插值得到結(jié)果和羅盤(pán)獲取的巖體信息—結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀進(jìn)行了對(duì)比，見(jiàn)表1。

表1 組合模型、最小二乘法和羅盤(pán)獲取產(chǎn)狀對(duì)比

根據(jù)表1中三種巖體信息，分別繪制傾向、傾角對(duì)比圖，見(jiàn)圖4。

圖4 傾向、傾角對(duì)比圖

由文獻(xiàn)［15，16］統(tǒng)計(jì)的羅盤(pán)測(cè)量?jī)A向和傾角的中誤差可知，其值分別為4°和3°，然后根據(jù)測(cè)量學(xué)中限差分析可知，其值一般取中誤差的2倍或3倍作為限差，則由此確定羅盤(pán)一次測(cè)量?jī)A向和傾角的限差值為12°和9°。并將兩種方式解譯的30組結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀與羅盤(pán)獲得的結(jié)果進(jìn)行比較，并依據(jù)式9計(jì)算出傾向、傾角的中誤差。

通過(guò)計(jì)算可知，單一的最小二乘法插值處理后的中誤差：m單－傾角＝±2．54，m單－傾向＝±2．94，基于Kriging算子和最小二乘法組合的插值方式插值結(jié)果 的 中 誤 差：m組合－傾向＝±1．586，m組合－傾角＝±1．455。對(duì)比結(jié)果表明：兩者之差均≤8°，合限率為100%，則基于三維激光掃描技術(shù)獲取的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，經(jīng)最小二乘法和組合方法解譯近似結(jié)構(gòu)面的產(chǎn)狀都滿足限差要求，證明了組合方式解譯出的結(jié)構(gòu)面信息—巖體產(chǎn)狀是有效的。

再將羅盤(pán)獲得的產(chǎn)狀值記為“實(shí)際監(jiān)測(cè)值”，并計(jì)算出利用三維激光掃描儀獲得的結(jié)構(gòu)面信息—巖體產(chǎn)狀時(shí)采用的不同差值方法：?jiǎn)我蛔钚《朔?、組合模型與“實(shí)際監(jiān)測(cè)值”的誤差值，繪制成傾向和傾角的誤差分布圖，見(jiàn)圖5。

圖5 傾向傾角誤差分布圖

由圖5可知，對(duì)于滬昆鐵路客運(yùn)專線雪峰山隧道—巖溶隧道選取里程內(nèi)巖體，在應(yīng)用三維激光掃描技術(shù)獲取巖體表面信息—結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀的過(guò)程中，基于Kriging算子和最小二乘法組合的插值方法解譯獲取的結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀的精度要比單一的最小二乘法獲取的結(jié)果高，能夠反映出三維激光掃描技術(shù)在巖溶隧道獲取巖體信息—結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀時(shí)的長(zhǎng)距離、高效性和精度高的特點(diǎn)，能夠?yàn)閹r溶隧道的施工提供一定的指導(dǎo)作用。

3 結(jié) 論

1）三維激光掃描技術(shù)突破了人工羅盤(pán)接觸式獲取巖溶隧道掌子面巖體信息——結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀的傳統(tǒng)方式，可以快速、有效、全面獲取結(jié)構(gòu)面的信息。

2）基于三維激光掃描技術(shù)的Kriging算子和最小二乘法組合的插值方法可以快速解譯獲取結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀，結(jié)合傳統(tǒng)單一的最小二乘法解譯，通過(guò)與人工羅盤(pán)獲取結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀的方法對(duì)比驗(yàn)證，證明方法的正確性和有效性。

3）在通過(guò)三維激光掃描技術(shù)獲取巖溶隧道掌子面巖體信息—結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀時(shí)，基于Kriging算子和最小二乘法組合的插值處理方法比單一的最小二乘法的插值方法精度更高，能夠更加有效的、精確地獲取結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀，可以更好的指導(dǎo)隧道的建設(shè)、施工，提高施工效率。

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