周世龍，龔德仁，段登平

(上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海200240)

0 引 言

星敏感器作為一種可以提供高精度姿態(tài)且漂移小的姿態(tài)測(cè)量設(shè)備越來(lái)越受到衛(wèi)星、深空探測(cè)器、宇宙飛船等諸多領(lǐng)域的重視［1］。在近40 年的發(fā)展中，星敏感器大致經(jīng)歷了三個(gè)階段:基于析像管的星敏感器、第一代CCD 星敏感器和第二代CCD 星敏感器。第一代CCD 星敏感器從1974 年到20 世紀(jì)70 年代后期［2］，這個(gè)時(shí)期的星敏感器視場(chǎng)小，質(zhì)量、體積大，存儲(chǔ)容量小，星圖識(shí)別和姿態(tài)角計(jì)算十分復(fù)雜。20 世紀(jì)90 年代以來(lái)，航天行業(yè)的迅速發(fā)展促使了第二代星敏感器的研究和發(fā)展。第二代星敏感器擁有較大的視場(chǎng)、較小的導(dǎo)航星表、探測(cè)星等低，且能夠直接輸出姿態(tài)角，滿足星模式識(shí)別對(duì)探測(cè)星個(gè)數(shù)的要求［3］。與陀螺這種無(wú)源測(cè)量相比，如今的星敏感器可以在不依賴于外部的情況下，獨(dú)自完成初始姿態(tài)捕獲，并且以恒星為參照系，根據(jù)恒星之間的相對(duì)位置確定航天器的姿態(tài)。

1965 年，Wahba G 提出了著名的Wahba 問(wèn)題［4］。在各種姿態(tài)求解算法中，TRIAD［5］算法是一種最簡(jiǎn)單的代數(shù)方法，它利用參考系中兩個(gè)參考矢量和體坐標(biāo)系中兩個(gè)觀測(cè)矢量直接計(jì)算姿態(tài)矩陣。在此基礎(chǔ)上，Shuster M D 提出了QUEST 算法［6］，它是最小二乘意義下Wahba 問(wèn)題的解，它將求解Wahba 最小損失函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解矩陣最大特征值問(wèn)題。2011 年，基于幾何解析的最優(yōu)線性姿態(tài)估計(jì)(optimal linear attitude estimation，OLAE)算法被提出［7］。OLAE算法在與QUEST 算法對(duì)比中有著更好的精度和較快的運(yùn)算速度。

現(xiàn)今大多數(shù)姿態(tài)估計(jì)算法精度較高，運(yùn)行速度較快，但在以星敏感器為姿態(tài)測(cè)量元件設(shè)計(jì)算法的過(guò)程中，多數(shù)算法僅僅將星敏感器噪聲簡(jiǎn)單地按照高斯白噪聲進(jìn)行處理，并沒(méi)有考慮星敏感器噪聲本身的特點(diǎn)。本文分析光子散粒噪聲、暗電流噪聲、電荷轉(zhuǎn)移噪聲以及讀出噪聲四種主要噪聲對(duì)亞像元質(zhì)心法精度的影響，并將圖像處理噪聲與高斯白噪聲在解算姿態(tài)精度方面進(jìn)行了對(duì)比。

1 CCD 噪聲模型對(duì)星點(diǎn)提取的影響

1.1 CCD 噪聲模型

從星光射入到輸出含有恒星信息的數(shù)字信號(hào)，每一個(gè)流程都有信號(hào)和噪聲的疊加。由于圖像傳感器在工作中以電荷作為載體，因此，在電荷的產(chǎn)生、傳送以及檢測(cè)過(guò)程中都會(huì)有噪聲加入。這些噪聲主要有光子散粒噪聲Ns、暗電流噪聲ND、電荷轉(zhuǎn)移噪聲NT以及復(fù)位噪聲NR。表1 表明了這些主要噪聲的強(qiáng)度所等效的電子數(shù)。

表1 CCD 主要噪聲［8］Tab 1 Main noises of CCD［8］

1.2 CCD 信噪比

對(duì)于CCD 中引入的噪聲模型可用一個(gè)等式表示，即輸出圖像的信噪比(SNR)為

SNR 反映了星敏感器系統(tǒng)的一個(gè)總體情況［9］。SNR 不僅與系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)有關(guān)，還與曝光時(shí)間t、CCD 工作溫度等外界條件有關(guān)。如圖1 所示，SNR 隨著曝光時(shí)間t 的延長(zhǎng)而增大。雖然在表1 中光子散粒噪聲Ns與暗電流噪聲ND隨著曝光時(shí)間的增加而增大，但由于隨著曝光時(shí)間的延長(zhǎng)，所產(chǎn)生的光電子數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于引入的噪聲，因此，適當(dāng)?shù)匮娱L(zhǎng)曝光時(shí)間可以提高SNR。較高的SNR 能夠在星目標(biāo)提取中得到較精確的恒星位置信息，從而提高姿態(tài)計(jì)算精度。

圖1 信噪比與曝光時(shí)間的關(guān)系Fig 1 Relationship between SNR and exposure time

1.3 亞像元質(zhì)心法提取星目標(biāo)

目前很多算法可以達(dá)到亞像元甚至更高，由于二維Gaussian 分布可以很好地模擬星光投射到CCD 像元上的強(qiáng)度［10］

其中，{x0，y0}為星點(diǎn)能量的質(zhì)心，I0為總的光強(qiáng)，σPSF為Gaussian 寬度。

如表2 所示，可知窗口開的越大，σPSF取的越小則所含有的星點(diǎn)能量就越多，但大窗口必然會(huì)帶來(lái)計(jì)算大、姿態(tài)解算時(shí)間長(zhǎng)等缺點(diǎn)。因此，窗口和σPSF選擇不是不變的，而是根據(jù)所需要的姿態(tài)精度和所能接受的運(yùn)算時(shí)間綜合考慮得出的。

表2 開窗大小、Gaussian 寬度與星點(diǎn)能量分布關(guān)系Tab 2 Relationship between windowing size，Gaussian radius and star point energy distribution

當(dāng)?shù)弥屈c(diǎn)能量分布后，可以通過(guò)亞像元質(zhì)心法求解各星點(diǎn)的質(zhì)心位置

式中 xij，yij為星點(diǎn)光斑在CCD 像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，Wij為信號(hào)等效電子數(shù)與噪聲等效電子數(shù)之和。

1.4 CCD 噪聲對(duì)星目標(biāo)提取精度的影響

由于有噪聲的引入，星目標(biāo)提取的精度必然會(huì)發(fā)生變化［10］

其中，Uij為噪聲等效的電子數(shù)。由于噪聲的存在，計(jì)算出的(xc，yc)與理想位置(x0，y0)之間的必然有誤差存在，下面分析噪聲對(duì)星點(diǎn)位置的影響

其中，Δx 為誤差，E(Δx)=0，而誤差的方差D(Δx)

由于噪聲的等效電子數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號(hào)的等效電子數(shù)，因此，有

表3 CCD 主要噪聲對(duì)星點(diǎn)定位的影響Tab 3 Effect of main noises of CCD on positioning of star point

雖然暗電流散粒噪聲ND和讀出噪聲本身NR與信號(hào)強(qiáng)度無(wú)關(guān)，但其對(duì)星點(diǎn)定位的影響中包含了星點(diǎn)的等效電子的總和，可以看到等效電子總和S 增大時(shí)會(huì)降低各個(gè)噪聲的影響，增大S 的途徑有很多，例如:使用大視場(chǎng)的光學(xué)系統(tǒng)，增加曝光時(shí)間等。

由于星點(diǎn)中心未知，假設(shè)星點(diǎn)中心服從［－0.5，+0.5］均勻分布。如圖2 所示，在沒(méi)有噪聲、高斯半徑相同的情況下，開窗大小選為7×7，比窗口為3×3，5×5 的精度相同或高出2 ～3 個(gè)數(shù)量級(jí)，這是因?yàn)榇蟠翱诎烁嗟男屈c(diǎn)能量和信息。對(duì)于同一個(gè)窗口，Gaussian 寬度選擇不同所得到的精度差異很大，例如:5×5 的窗口，當(dāng)σPSF=2 時(shí)精度為10－1，而當(dāng)σPSF=0.67 時(shí)，精度為10－3～10－4，幾乎相差2 個(gè)數(shù)量級(jí)。而當(dāng)Gaussian 寬度選取很小時(shí)，即使窗口為3×3也包含了99.99%的星點(diǎn)能量。因此，當(dāng)Gaussian 寬度很小時(shí)，開窗大小對(duì)星點(diǎn)提取精度的影響不大。

根據(jù)圖2 和圖3 對(duì)比可知，當(dāng)引入噪聲時(shí)，亞像元質(zhì)心法的提取精度下降了，并且可以看到開窗相同時(shí)，最高精度對(duì)應(yīng)的Gaussian 寬度變大了。這是由于噪聲干擾了原本的信號(hào)，加入了更多的無(wú)用的信號(hào)，降低了SNR，故星點(diǎn)提取精度降低，因此，需要增大Gaussian 寬度以得到更多恒星星點(diǎn)的信號(hào)。同時(shí)注意到在圖3 中線條在精度最高點(diǎn)的位置周邊變得十分狹窄，這說(shuō)明即使Gaussian 寬度變動(dòng)很小，其對(duì)精度的影響也很大，因此，在有圖像傳感器噪聲時(shí)，選取Gaussian 寬度應(yīng)盡量精確，使其接近精度最高點(diǎn)。

基于以上分析，在星點(diǎn)提取中開窗大小和Gaussian 寬度對(duì)星點(diǎn)提取精度有著直接的影響。因此，在計(jì)算仿真中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際的需求和硬件條件選擇合適的窗口與Gaussian寬度，使其保證精度，且計(jì)算量小、運(yùn)行時(shí)間短。

2 基于幾何法的OLAE

依據(jù)Euler 定理:任一旋轉(zhuǎn)都可以看成繞一個(gè)固定軸旋轉(zhuǎn)一定的角度，即

其中，A 為方向余弦矩陣，a 為單位旋轉(zhuǎn)軸，θ 為旋轉(zhuǎn)的角度，a×為a 向量的反對(duì)稱矩陣。當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)時(shí)，單位向量坐標(biāo)ri變?yōu)閎i

圖2 無(wú)噪聲情況下星點(diǎn)定位精度與Gaussian 半徑提取窗口的關(guān)系Fig 2 Relationship between star point positioning precision and extraction window of Gaussian radius without noise

圖3 星敏感器噪聲模型對(duì)亞質(zhì)心法提取精度的影響Fig 3 Effect of stat sensor noise model on extraction precision of subpixel centroid method

其中，ri，bi都是向量在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，i 為觀測(cè)對(duì){ri，bi}的數(shù)目。

對(duì)于每一對(duì){ri，bi}，都可以建立一個(gè)從屬坐標(biāo)系，根據(jù)GONG［7］提出的方法定義這個(gè)從屬坐標(biāo)系的三坐標(biāo)軸

由以上定義可得到aTyi=0，這表明旋轉(zhuǎn)軸a 僅僅投影到從屬坐標(biāo)系xiOzi平面，因此，a 在從屬坐標(biāo)系下

其中，αi為a 與xi的夾角。

當(dāng)用羅格里斯參數(shù)表示旋轉(zhuǎn)時(shí)

從上式中可以看出:g 也投影在從屬坐標(biāo)系下xiOzi平面內(nèi)。由于存在未知參數(shù)αi，因此，至少需要兩組{ri，bi}才能算出g 的具體大小。在考慮αi未知的情況下，通過(guò)消去有αi的項(xiàng)，尋求最優(yōu)解。

基于上述分析，可以通過(guò)叉乘消去未知參數(shù)αi，將上式兩端左叉乘xi/xi，得到

由于bi存在噪聲b~i=bi+vi，其中，vi代表噪聲，選取誤差向量為

式中 εi為相對(duì)權(quán)重系數(shù)，其與噪聲相關(guān)。將上式展開，并化簡(jiǎn)

可以看到J 是一個(gè)關(guān)于g 的函數(shù)，當(dāng)有噪聲時(shí)，要尋找到一個(gè)最優(yōu)使得J 的值達(dá)到最小，因此，求J 關(guān)于g 的偏導(dǎo)數(shù)，得到

其中

再依據(jù)羅格里斯參數(shù)與修正的羅格里斯參數(shù)(MRP)的關(guān)系得到

3 仿真實(shí)例與分析

在大多數(shù)姿態(tài)估計(jì)算法中，對(duì)于星敏感器的噪聲都粗略地以高斯白噪聲代替，而忽略了星敏感器圖像傳感器本身的噪聲特點(diǎn)，本仿真依據(jù)CCD47—20 設(shè)備進(jìn)行仿真，仿真中選取Gaussian 寬度為σPSF=1.6、開窗大小為7×7、曝光時(shí)間為100 ms，計(jì)算星敏感器噪聲和相同強(qiáng)度的高斯白噪聲對(duì)幾何OLAE 法精度的影響。由于星敏感器視場(chǎng)的限制，當(dāng)恒星落于星敏感器視場(chǎng)邊緣時(shí)星敏感器無(wú)法觀測(cè)到恒星，因此，仿真中恒星的選取應(yīng)盡可能考慮落于星敏感器視場(chǎng)中的光斑，故選取初始向量為［0 0.1 1］T，［0 0.2 1］T，［0 0 1］T。對(duì)比圖4 和圖5，在同等噪聲強(qiáng)度的條件下，基于星敏感器的幾何OLAE 法精度略高于引入高斯白噪聲的OLAE 法，從圖4 和圖5 中都可以看到，光軸(圖中)的精度明顯低于其他兩軸精度，這是符合實(shí)際情況的。

4 結(jié) 論

圖5 基于高斯白噪聲的OLAEFig 5 Geometric OLAE based on Gaussian white noise

考慮了CCD 圖像傳感器的噪聲，將有圖像傳感器噪聲的亞像元質(zhì)心法和無(wú)噪聲的亞像元質(zhì)心法進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果表明:圖像傳感器噪聲確實(shí)對(duì)星點(diǎn)提取精度有很大的影響。在介紹幾何OLAE 方法的基礎(chǔ)上，對(duì)比了圖像傳感器噪聲和高斯白噪聲。以CCD47—20 作為示例，進(jìn)行模擬仿真，結(jié)果表明:在解算姿態(tài)時(shí)，高斯白噪聲對(duì)算法精度的影響略高于圖像傳感器噪聲，因此，若以高斯白噪聲替代圖像傳感器噪聲模擬星敏感器噪聲進(jìn)行姿態(tài)解算時(shí)，姿態(tài)解算的精度會(huì)降低。當(dāng)以星敏感器作為姿態(tài)測(cè)量時(shí)，在解算過(guò)程中應(yīng)盡可能用圖像傳感器噪聲以獲得更高精度的姿態(tài)參數(shù)。

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