(玉溪師范學(xué)院,云南 玉溪 653100)

幻方，顧名思義，就是幻化，奇幻、魔幻的方陣的意思.從洛書(三階幻方)算起，歷經(jīng)公元前后兩千多年，即至今長達(dá)四千年之久.人們對幻方的興趣和研究長盛不衰.而且，正如我國著名科普作家兼娛樂數(shù)學(xué)專家談祥柏老先生所言：幻方研究中，新發(fā)現(xiàn)層出不窮[1].

本文中,筆者從形式美的角度著眼，介紹五則具有形式美的幻方.

1 反序數(shù)對稱幻方

所謂反序數(shù)，即有這樣成對的數(shù)，其特點是其中的一個數(shù)字的排列順序完全顛倒過來，就變成一個數(shù).如102和201，36和63等即是.簡單的理解就是順序相反的兩個數(shù)，我們把這種成對數(shù)互稱為反序數(shù).據(jù)說,反序數(shù)在實際生活中也有許多應(yīng)用，例如在密碼的編制上.

下面是一個將兩個3階幻方進行“合成”再得一個新的3階幻方的例子，而所得的這個新的3階幻方便是一個反序數(shù)對稱幻方，如圖1所示

圖1 2個3階幻方合成新的3階幻方

圖1中的第3個數(shù)陣便是反序數(shù)中心對稱幻方,而且其各方格內(nèi)的兩個數(shù)字的和都是10.

這樣的幻方，還可以構(gòu)成幾個，如圖2所示：

圖2 3階幻方構(gòu)成

2 金鑲玉幻方

在文獻[1]里，談祥柏老先生專門饒有興趣地用一節(jié)介紹了金鑲玉邊幻方的探索故事.如圖3便是一個金鑲玉邊幻方的例子.從圖3可以觀察到，5階方陣的4條金邊的確形成了：其周邊和數(shù)的平方和都等于1 105.但是文獻[1]沒有把“玉”的情況標(biāo)示出來.筆者于是將其他行列相關(guān)和數(shù)的平方和算出來，有1 005、1 055、1 155、1 205等4種情況.是否可以說，這表示“玉”并非白璧無瑕,而是由4種不同“成色”的“玉”組成，這未免令人遺憾，也使這種金鑲玉邊顯得有點美中不足.

圖3 5階方陣的4條金邊圖4 “白玉無瑕”的金鑲玉的幻方

下面,筆者提供幾種更為“美觀”的金鑲玉邊供大家欣賞.

首先，我們看如圖4所示的幻方,這時“金邊”是390，而“玉”則都是358，所以是“白玉無瑕”、貨真價實的金鑲玉幻方.有趣的是，據(jù)此還可派生出一個“玉嵌金邊”和一個“金枝玉葉”(或稱為“金波玉浪”)的幻方，如圖5所示：

圖5 “玉嵌金邊”和“金枝玉葉”幻方

順便說明一下，這樣的4階幻方好像再沒有了，另外3階幻方顯然不會構(gòu)成金鑲玉邊.

下面再介紹兩例5階的(圖6)，因為筆者是手算，更高階的金鑲玉邊，還待感興趣的讀者去探索.

圖6-1 5階金鑲玉邊幻方例一圖6-2 5階金鑲玉邊幻方例二

可以看出,圖6的兩個幻方都比圖3的為好，尤其是圖6-2.遺憾的是,兩圖中的“玉”也都有欠缺.5階幻方有無像上面所舉的4階幻方那樣的“金純玉潔”，這一問題目前暫無明確的答案,尚需繼續(xù)探索.

3 雙螺旋結(jié)構(gòu)“幻方”(或稱半幻方)

圖7 DNA雙螺旋模型的紀(jì)念郵票

1953年，美國科學(xué)家沃森和英國科學(xué)家克里克發(fā)現(xiàn)DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)，誕生了分子生物學(xué)，對研究對象的探討也由細(xì)胞水平深入到了分子水平，兩位科學(xué)家因此榮獲1962年度的諾貝爾生理學(xué)和醫(yī)學(xué)獎.圖7是三張關(guān)于DNA雙螺旋模型的紀(jì)念郵票.

令人感到神奇的是，幻方中也有雙螺旋結(jié)構(gòu)——那就是有名的富蘭克林8階幻方.富蘭克林8階幻方具有很獨特的性質(zhì)，讀者可參看文獻[2].另外，富蘭克林16階幻方也是雙螺旋結(jié)構(gòu).以下,筆者將文獻[2]的8階幻方略作改變，并暫稱其為F型“幻方”,如下圖8所示.

圖8富蘭克林8階幻方

此外，用下面的幻方A與幻方B相乘而得的12階幻方，若用紅線將圖中的數(shù)據(jù)按自然數(shù)的順序串起來，也呈現(xiàn)奇特的雙螺旋結(jié)構(gòu)(橫看)和兩橢圓相套交結(jié)構(gòu)(豎看)，很有意思,如圖9所示.

圖9幻方A與幻方B相乘而得的12階幻方

4 楊輝置換

請看下列圖10中的兩個9階幻方：

圖10-1 9階幻方例一圖10-2 9階幻方例二

圖10-1中的9階幻方，是用3階幻方相乘而得的(見文獻[2]的第62頁、64頁)，圖10-2中的9階幻方則是楊輝構(gòu)造出來的(見文獻[2]第18頁).曹陵老師在他的專著《幻方再論》[4]第三講里將上面的稱為叉積，統(tǒng)稱為克羅內(nèi)爾積.曹老師也注意到，這里的克羅內(nèi)爾乘積與其原義有了質(zhì)的差異.鑒于此，筆者倒是認(rèn)為，何不將第一種積稱為阿氏(Allex Adler)積，以紀(jì)念這種乘積方法的發(fā)明者，而將第二種乘積命名為楊輝積.

一般地說，若記幻方A與幻方B的阿氏積為A?B，其楊輝積為BA，則可證A?BBA，其中表示要經(jīng)過一定的行列置換(以下可以看到，此置換便是我們所稱的“楊輝置換”).下面,不妨以一個3階幻方與一個4階幻方的乘積為例(見圖11)來進行說明.

圖11-1A?B

圖11-2AB

續(xù)圖11-2AB

圖11-3B?A

圖11-4BA

從圖11可以看出，若記A?B從左到右，從上到下的行列序數(shù)為1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12，用代數(shù)置換的符號

則在Y2置換下，A?B與AB相同，且同樣有BA與AB相同.特別地，A?B在Y1置換下與AA相同，這就是圖9上下兩個9階幻方的內(nèi)在聯(lián)系.不過，這時的楊輝置換Y序為

有趣的是，對于任意的9階幻方，在Y1的作用下，幻方特點保持不變，更有甚者，對任意的9階數(shù)陣，在Y1的作用下，其行、列、泛對角線的數(shù)字和均保持不變，這也就是我們之所以名之楊輝置換的用意所在.顯然，以上討論對一般對任意兩個幻方A、B均是適用的，但限于篇幅，筆者在此不做過多的討論.

5 勾股幻方

圖12 畢達(dá)哥拉斯幻方一例

此幻方見于文獻[3]，那兒叫做畢達(dá)哥拉斯魔方，有兩例，以下只取其一：

圖12欣賞：△ABH是直角三角形，其中∠AHB=90°，斜邊AB上有一個正方形ABCK，二直角邊上分別有正方形AGFH、BDEH.撇開具體數(shù)字，這個圖形是經(jīng)典的勾股定理證法之一例.斜邊上正方形為5×5個面積單位，二直角邊上的兩個正方形分別為3×3、4×4面積單位，從而有22+23=45，即BH2+AH2=AB2.

別有異趣的是，這一個正方形各小方格配上數(shù)字后，依次為一個3階幻方、一個4階幻方和一個5階幻方，它們的幻和分別為147、46、125.因此，三個幻方的總數(shù)字和為441、184、625.而且有441+184=625.

這些數(shù)字等式顯示出勾股幻方設(shè)計者的初衷.

據(jù)說，這樣的勾股幻方(畢達(dá)哥拉斯幻方)已有5個.

[1]談祥柏.奇妙的幻方[M].濟南：明天出版社，1994：32.

[2]吳鶴齡.好玩的數(shù)學(xué)——娛樂數(shù)學(xué)經(jīng)典名題[M].北京：科學(xué)出版社，2003:38.

[3]Eli Maor.勾股定理·悠悠4000年的故事[M].馮速,譯.北京：人民郵電出版社，2010:113.

[4]曹陵.幻方再論[M].香港:香港天馬圖書有限公司,2003.