楊海勇

摘 要：MATLAB作為一種功能強大的仿真軟件，在科學(xué)計算和工程繪圖方面也有廣泛的應(yīng)用。針對隱函數(shù)求解不便并且圖形難以手工繪制的問題，該文研究用MATLAB軟件繪制二維隱函數(shù)曲線和三維隱函數(shù)曲面的方法：利用軟件提供的ezplot函數(shù)可以直接繪制二維隱函數(shù)曲線，并討論了二維隱函數(shù)帶變量使用的情況；采用等值面計算函數(shù)isosurface和面元渲染函數(shù)patch可以分步實現(xiàn)三維隱函數(shù)曲面的繪圖。根據(jù)上述方法給出一些具體應(yīng)用實例和繪圖結(jié)果。實踐表明，MATLAB軟件能有效解決比較復(fù)雜的隱函數(shù)繪圖問題。

關(guān)鍵詞：MATLAB 二維隱函數(shù) 三維隱函數(shù) 繪圖

中圖分類號：TP31 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）11（a）-0011-02

MATLAB是當(dāng)今流行世界的仿真軟件，更是一種效率高、功能強的工程數(shù)學(xué)軟件，它具有出色的圖形處理能力，在科學(xué)計算和工程繪圖方面有大量的應(yīng)用。

對于一些多元函數(shù)特別是隱函數(shù)類的數(shù)學(xué)問題，其求解和圖形繪制工作僅僅依靠人工是難以實現(xiàn)的，而MATLAB軟件正是解決這類復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的一種很好的工具。

MATLAB軟件包含了一系列種類齊全的繪圖函數(shù)，例如二維圖形中基本的plot函數(shù)、三維曲面的mesh函數(shù)。在隱函數(shù)繪圖方面，軟件提供了ezplot函數(shù)可以直接繪制二維隱函數(shù)曲線，但在解決三維隱函數(shù)曲面的圖形繪制方面，卻仍然是一個難題，因為軟件里并沒有提供能直接繪制三維隱函數(shù)曲面的函數(shù)，需要我們尋找其他方法解決這一問題。

該文主要探討利用MATLAB軟件繪制二維隱函數(shù)曲線和三維隱函數(shù)曲面的方法，并給出具體應(yīng)用實例。

1 二維隱函數(shù)繪圖

二維隱函數(shù)是指滿足方程f（x，y）=0的x，y之間的關(guān)系式，由于隱函數(shù)求解不便，很多都無法求出x、y之間的關(guān)系，也就不能寫成y=f（x）的形式，因此基本的二維繪圖命令plot（x，y）是不能應(yīng)用的。對于這類隱函數(shù)的圖形繪制問題，MATLAB提供了函數(shù)ezplot（ ）可以直接繪制隱函數(shù)f（x，y）=0的曲線。

1.1 函數(shù)ezplot基本格式及繪圖應(yīng)用

對于隱函數(shù)f=f（x，y），ezplot的基本調(diào)用格式是：ezplot（f），這是在默認(rèn)區(qū)間-2pi

也可以人工指定區(qū)間范圍：xmin

例如要繪制隱函數(shù)

的曲線，可以采用下列兩種語句：

執(zhí)行后得出如圖1所示的繪圖結(jié)果，這是一種心形線。

1.2 隱函數(shù)帶變量使用的情況

隱函數(shù)帶變量的情況也很常見，例如隱函數(shù)。

根據(jù)實際需要可將a事先具體賦值，但使用中應(yīng)注意，繪圖語句不能簡單采用前面基本格式的形式，例如a=2；ezplot（'x^2+y^2+a*x-a*sqrt（x^2+y^2）'），這樣并不能執(zhí)行繪圖。因為函數(shù)包括單引號時，相當(dāng)于是符號表達(dá)式，變量a的值作為一個參數(shù)，不能傳進函數(shù)，導(dǎo)致ezplot（）不能正常繪圖。

要把參數(shù)a的值傳進函數(shù)，就不能用單引號括起函數(shù)，因此正確的做法是先利用syms函數(shù)定義多個變量，再用ezplot（）對隱函數(shù)畫圖，應(yīng)注意函數(shù)不帶單引號。繪圖語句如下，繪圖結(jié)果和前面圖1完全相同。

1.3 帶有多個變量的隱函數(shù)組的繪圖

已有方程組f（x，y）=x+y^2=a，g（x，y）=x^2-y=b，（a，b均為常數(shù)），可以方便地解決這類帶有多個變量的隱函數(shù)組的繪圖問題。以a=3，b=-3這種情況為例，給出繪圖的語句和繪圖結(jié)果圖2。

其中hold on語句的作用是將當(dāng)前已有圖形保持，并允許添加新繪制的圖形。title（ ）的作用是給圖形加題頭。

2 三維隱函數(shù)繪圖

三維隱函數(shù)是指在滿足方程f（x，y，z）=0的條件下，z關(guān)于x、y的關(guān)系式，即z=g（x，y），這里g（x，y）的顯式表達(dá)式無法求取，不能采用普通的繪圖函數(shù)來繪制其曲線。下面主要探討采用等值面計算函數(shù)isosurface（）和面元渲染函數(shù)patch（ ）來分步實現(xiàn)三維隱函數(shù)曲面的繪圖方法。

2.1 三維隱函數(shù)分步繪圖步驟

首先對要使用的兩個重要的圖形函數(shù)做一些簡要介紹。

isosurface的調(diào)用格式：[f，v] = isosurface（x，y，z，val，isovalue），它是等值面計算函數(shù)，其作用是返回由isovalue指定的某個等值面的表面（Faces）和頂點（Vertices）數(shù)據(jù)，并存放在結(jié)構(gòu)體f、v中。對于畫隱函數(shù)v=f（x，y，z）=0的三維圖形，則isovalue=0。

patch是面元渲染函數(shù)，對曲面進行修飾。它的調(diào)用格式包括：

patch（x，y，z，c）以三維坐標(biāo)（x，y，z）為頂點，構(gòu)造三維曲面，c是RGB顏色向量。

patch（f，v）通過包含F(xiàn)aces、Vertices兩個域的結(jié)構(gòu)體f、v來構(gòu)造三維曲面，f和v可以由等值面函數(shù)isosurface計算而得。

對于三元顯函數(shù)v=f（x，y，z）來說，當(dāng)v=0時的等值面就是z=g（x，y）的三維曲面。isosurface函數(shù)可以計算v=0的等值面，返回結(jié)果包括表面和頂點數(shù)據(jù)，并存放于結(jié)構(gòu)體f、v中，再輸入給patch函數(shù)，能構(gòu)造三維曲面，還可以根據(jù)需要設(shè)置顏色、亮度、三維視角等。

根據(jù)上述方案可以歸納出三維隱函數(shù)的分步繪圖步驟。

（1）用meshgrid函數(shù)產(chǎn)生網(wǎng)格點，同時可確定坐標(biāo)范圍。

（2）引用隱函數(shù)表達(dá)式計算格點函數(shù)值val。

（3）調(diào)用[f，v]=isosurface（x，y，z，val，0）計算隱函數(shù)等值面并返回到f、v。

（4）調(diào)用patch（'Faces'，f，'Vertices'，v，'facecolor'，'none'，'EdgeColor'，'flat'）對曲面修飾。

2.2 三維隱函數(shù)繪圖應(yīng)用舉例

以心形圖函數(shù)

為例，按照上述繪圖步驟，給出程序語句和三維心形圖的繪圖結(jié)果圖3。

3 結(jié)語

該文介紹了利用MATLAB軟件中的繪圖函數(shù)ezplot（）直接繪制二維隱函數(shù)曲線的方法，以及采用等值面計算函數(shù)isosurface（）和面元渲染函數(shù)patch（ ）分步實現(xiàn)三維隱函數(shù)曲面的繪圖方法。實踐表明，上述方法效率高、容易實現(xiàn)，能有效解決比較復(fù)雜的隱函數(shù)繪圖問題。

參考文獻

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