黃金超，楊穎穎，凌能祥

（1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽滁州239000；2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009）

威布爾分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes雙側(cè)檢驗(yàn)

黃金超1，楊穎穎1，凌能祥2

（1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽滁州239000；2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009）

在加權(quán)平方損失函數(shù)下，討論了Weibull分布族刻度參數(shù)的EB雙側(cè)檢驗(yàn).利用概率密度函數(shù)的遞歸核估計(jì)，構(gòu)造了刻度參數(shù)的EB檢驗(yàn)，證明其漸近最優(yōu)，并且獲得了收斂速度，給出主要結(jié)果的例子.

密度函數(shù)的遞歸核估計(jì)；經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)；漸近最優(yōu)性；收斂速度；雙側(cè)檢驗(yàn)

1 預(yù)備知識

EB檢驗(yàn)在已有文獻(xiàn)中討論得很多，如文獻(xiàn)［1－4］分別對于EB檢驗(yàn)做了不同程度的工作.文獻(xiàn)［5］在“線性損失”下研究了刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題.文獻(xiàn)［6］利用函數(shù)的單調(diào)性研究了刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes單側(cè)檢驗(yàn)問題，改進(jìn)了EB檢驗(yàn)的收斂速度.文獻(xiàn)［7］討論了線性指數(shù)分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題.文獻(xiàn)［8］討論了Weibull分布族單側(cè)的EB檢驗(yàn).以上的文獻(xiàn)都用通常的核估計(jì)構(gòu)造EB檢驗(yàn).而本文將采用遞歸核估計(jì)方法，在加權(quán)平方損失函數(shù)下，討論Weibull分布族刻度參數(shù)的EB雙側(cè)檢驗(yàn)，推廣了文獻(xiàn)［8］的相應(yīng)結(jié)果.

設(shè)隨機(jī)變量X條件概率密度［8］為

假設(shè)m＞0且為已知，θ為刻度參數(shù)，m為形狀參數(shù)，χ＝｛x｜x＞0｝，參數(shù)空間為Ω＝｛θ｜θ＞0｝.利用密度函數(shù)的遞歸核估計(jì)來研究該分布參數(shù)的EB雙側(cè)檢驗(yàn)，據(jù)我們所知，目前文獻(xiàn)中還未曾有過，因此討論Weibull分布族刻度參數(shù)EB雙側(cè)檢驗(yàn)是非常有意義的.

設(shè)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為G（θ）且0＜θ1＜θ2，討論（1.1）式中參數(shù)θ的如下EB雙側(cè)檢驗(yàn)：

此處θ1和θ2為已知正常數(shù)，如果取，則雙側(cè)檢驗(yàn)問題（1.2）等價(jià)于

對假設(shè)檢驗(yàn)問題（1.3），取“加權(quán)平方損失”函數(shù)

之所以取“加權(quán)平方損失”函數(shù)是考慮到它對刻度參數(shù)更為合理，易于構(gòu)造其EB檢驗(yàn)函數(shù)，此處是正常數(shù)；j＝0，1；D＝｛d0，d1｝是行動空間；d0表示接受H＊0；d1表示否定H＊0；I［A］表示集合A的示性函數(shù).

設(shè)

為隨機(jī)化判決函數(shù)，則在先驗(yàn)分布G（θ）下δ（x）的Bayes風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為

其中：

為隨機(jī)變量X的邊緣分布，故由（1.8）式經(jīng)計(jì)算可得

f（1）（x），f（2）（x）分別表示f（x）的一階、二階導(dǎo)數(shù)，且2

由（1.6）式易知Bayes判決函數(shù)為

其Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

對于以上Bayes風(fēng)險(xiǎn)，已知G（θ）且δ（x）＝δG（x）能夠達(dá)到，由于G（θ）未知，所以δG（x）是未知的，無法使用，故引入EB方法.

2 EB檢驗(yàn)函數(shù)的構(gòu)造

設(shè)X1，X2，…，Xn和X是iid（獨(dú)立同分布）樣本，且有共同的邊緣分布.如（1.9）式所示.設(shè)X1，X2，…，Xn為歷史樣本，X為當(dāng)前樣本，令f（x）為X1的概率密度函數(shù)，對iid樣本作以下假設(shè)：

（A）f（x）∈Cs，α，設(shè)Cs，α表示（0，∞）非負(fù)連續(xù)函數(shù)類，具有s階導(dǎo)數(shù)且｜f（x）｜≤α，s＞4，s∈N＊.

（B）設(shè)Kr（x）（r＝0，1，…，s－1）為有界可測的Borel函數(shù)，在（0，1）之外為0，滿足：

（B2）Kr（x）在R1上除有限點(diǎn)集E0外是可微的

記f（0）（x）＝f（x），f（r）（x）表示f（x）的第r階導(dǎo)數(shù)，r＝0，1，…，s.類似文獻(xiàn)［9－10］定義密度函數(shù)f（r）（x）的遞歸核估計(jì)

其中｛hn｝為正數(shù)遞減序列，且是滿足條件（B）的核函數(shù)，這種估計(jì)具有一種遞歸性質(zhì)，即

由以上遞推關(guān)系可知，用遞歸核估計(jì)去估計(jì)f（r）（x）時(shí)，只需要遞歸計(jì)算，若利用普通的核估計(jì)需要重新計(jì)算所有項(xiàng)，所以這種方法可以大大減少計(jì)算量，提高估計(jì)的效率.

由（1.10）和（2.1）式定義α（x）的估計(jì)量

故EB檢驗(yàn)函數(shù)定義為

本文令En表示對隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布求均值，則δn（x）的全面Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

假定c，c0，c1，c2，…是與n無關(guān)的正常數(shù).

引理2.1 設(shè)（x）由（2.1）式定義，其中X1，X2，…，Xn為獨(dú)立同分布（iid）樣本序列，若條件（A）和（B）成立，且（x）連續(xù)，s≥5，s∈N＊，r＝0，1，2，?x∈χ.

（2）當(dāng)hn＝n－12（s－2）時(shí)，對0＜λ≤1，則有

證明先證結(jié)論（1）.由Cr不等式可知，對r＝0，1，2有

由遞歸函數(shù)的核估計(jì)和核函數(shù)的性質(zhì)可知n

再由Taylor展開可得

將（2.7）式代入（2.6）式可得

由f（x）∈Cs，α，及｜Kr（t）｜≤C，可得

再由f（x）∈Cs，α，｜Kr（t）｜≤M，hn單調(diào)遞減可知

將（2.11）式和（2.12）式代入（2.5）式，結(jié)論（1）成立.

下面證明結(jié)論（2）.由Cr不等式可知，

由（2.9）式可得

故有

由（2.10）式取hn＝n－12（s－2）時(shí)，有

將（2.14）式和（2.15）式代入（2.13）式，結(jié)論（2）成立.注2.1 當(dāng)λ→1，s→∞時(shí)可任意接近O（n－1）.

引理2.2 令R（G）和Rn分別由（1.12）和（2.4）式給出，則

證明可見文獻(xiàn)［1］的引理1.

3 EB檢驗(yàn)函數(shù)的大樣本性質(zhì)

定理3.1 設(shè)δn（x）由（2.3）式給出，其中X1，X2，…，Xn為iid樣本序列.假定條件（A）和（B）成立，s≥5，s∈N＊，r＝0，1，2.若：

（1）｛hn｝為正數(shù)遞減序列

（3）f（r）（x）為x的連續(xù)函數(shù).

證明由引理2.2可知

記Bn（x）＝｜α（x）｜P（｜αn（x）－α（x）｜≥｜α（x）｜），顯見Bn（x）≤｜α（x）｜.

由（1.8）式和Fubini定理得

由控制收斂定理，可知

再由引理2.1（1）可知，對x∈χ，當(dāng)r＝0，1，2時(shí)，

將（3.3）式代入（3.2）式，定理得證.

定理3.2 設(shè)δn（x）由（2.3）式定義，其中X1，X2，…，Xn為iid樣本，且假定（A）和（B）成立.若0＜λ＜1，有

證明由引理2.2及Markov不等式得

由引理2.1（2）的條件可知：χ

將（3.5）—（3.7）式代入（3.4）式，定理得證.

注3.1 當(dāng)λ→1，s→∞時(shí)可任意接近

4 例子

在（1.1）式中，令m＝1，則

取θ的先驗(yàn)分布為

a與b為已知常數(shù)且a＞0，b＞0，故有

因此

故：

（ⅰ）由（4.2）式可知f（x）為x任意階可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，一致有界，即f（x）∈Cs，α.

由于，a＞0，b＞0，這一積分為第1類廣義積分，當(dāng)（b＋1）（1－λ）＞1時(shí)，即（ⅲ）式收斂.

由（ⅰ），（ⅱ）和（ⅲ）知，定理3.1與定理3.2的條件都滿足，故結(jié)論成立.

［1］ JOHNS MV JR VAN RYZIN J.Convergence rates in empirical bayes two－action problems 2：continuous case［J］.Ann Math Statisrt，1972，42：937－947.

［2］ VAN HOUWELINGEN J C.Monotone empirical Bayes test for the continuous one－parameter exponential family［J］.Ann Statist，1976（4）：981－989.

［3］ LIANG TACHEN.On empirical Bayes tests in a positive exponential family［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2002（3）：169－181.

［4］ LIANG TACHEN.On optimal convergence rate of empirical Bayes tests［J］.Statistics ＆Probability Letters，2004，68：189－198.

［5］ 韋來生.刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題NA樣本情形［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，23（3）：403－412.

［6］ 周雁，韋來生.刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)函數(shù)收斂速度的改進(jìn)［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23（2）：219－226.

［7］ 陳家清，劉次華.線性指數(shù)分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2008，28（5）：616－626.

［8］ 黃金超，凌能祥.威布爾分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，35（6）：860－864.

［9］ 樊家琨.概率密度函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)遞歸核估計(jì)的強(qiáng)相合性［J］.河南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1992，22（2）：67－71.

［10］ 彭家龍，袁瑩.一類連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，27（4）：415－424.

Empirical Bayes two－sided test for the parameter of Weibull distribution families

HUANG Jin－chao1，YANG Ying－ying1，LING Neng－xiang2

（1.Basic Course Department，Chuzhou Vocational Technology College，Chuzhou 239000，China；2.School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

the Empirical Bayes（EB）two－sided test of scale parameter for Weibull distribution families was discussed and under weighted square loss function，at first，By using recursive kernel－type density estimation.The Empirical Bayes two－sided test rules are constructed.The asymptotically optional property and convergence rates for the proposed EB test rules are obtained.Finally an example about the main results of this paper is given.

the recursive kernel estimation of density function；the Empirical Bayes test；asymptotically optimality；convergence rates；two－sided test

O 212.1 ［學(xué)科代碼］ 110·67 ［

］ A

（責(zé)任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0037－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.008

2013－08－24

安徽省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（KJ2013Z252）；國家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目（2012LY080）.

黃金超（1974—），男，碩士研究生，副教授，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)決策研究.