周明，吳建洋，曾祥渭，牛聚粉，田洪森

(北京建筑大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，北京100044)

電火花加工的原理在于利用浸在工作液中的工具電極與工件之間的脈沖放電，產(chǎn)生電蝕作用來(lái)蝕除導(dǎo)電材料［1］。在電火花加工過(guò)程中，常以極間放電狀態(tài)來(lái)量化加工過(guò)程狀態(tài)，并以此為檢測(cè)信號(hào)對(duì)加工過(guò)程進(jìn)行監(jiān)測(cè)與控制?？梢砸罁?jù)放電狀態(tài)時(shí)間序列，將電火花加工過(guò)程劃分成3個(gè)階段:初始加工階段、有效加工階段和有害加工階段。有效加工階段屬于弱穩(wěn)態(tài)過(guò)程并具有線性特性;而在初始加工階段及有害加工階段，放電狀態(tài)的均值和方差變化比較大，屬于非穩(wěn)態(tài)過(guò)程。有害加工階段的出現(xiàn)容易造成工件表面損傷、影響加工效率。因此需要建立有效的電火花加工閉環(huán)控制系統(tǒng)，實(shí)時(shí)調(diào)整放電參數(shù)或伺服運(yùn)動(dòng)參數(shù)，避免加工進(jìn)入有害階段，或使加工及時(shí)從有害階段回到有效階段。

在有害加工階段，劇烈變化的放電狀態(tài)會(huì)引起控制變量的震蕩，控制變量的震蕩反過(guò)來(lái)又加大了穩(wěn)態(tài)拉弧和短路的出現(xiàn)幾率，形成了惡性循環(huán)，使控制系統(tǒng)失效。因此需要對(duì)放電狀態(tài)進(jìn)行濾波，使放電狀態(tài)曲線變得平滑，使放電狀態(tài)變化趨于平緩，有利于提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。傳統(tǒng)的數(shù)字濾波方法［2－3］，雖然能夠起到平滑放電狀態(tài)曲線的積極作用，但同時(shí)產(chǎn)生了移相和幅值改變等不良影響。并且傳統(tǒng)濾波器常具有較高階次，會(huì)使整個(gè)控制系統(tǒng)的階次提高很多，不利于穩(wěn)定性。因此本文提出了自適應(yīng)濾波的方法，采用卡爾曼濾波算法［4］，同時(shí)結(jié)合中間變量的方法，能夠克服傳統(tǒng)線性濾波方法缺點(diǎn)，并解決加工過(guò)程誤差及檢測(cè)誤差帶來(lái)的有偏估計(jì)問(wèn)題［5－9］，使放電狀態(tài)真實(shí)值得到還原。

1 電火花加工過(guò)程放電狀態(tài)的濾波

電火花加工過(guò)程放電狀態(tài)的濾波主要為低頻濾波。圖1所示為一個(gè)開(kāi)環(huán)控制的加工過(guò)程，由一系列放電狀態(tài)的時(shí)間序列所表示。隨著加工深度不斷加大，放電狀態(tài)從有效加工階段逐漸過(guò)渡到有害加工階段，相鄰的2個(gè)放電狀態(tài)間變化幅度較大。傳統(tǒng)的濾波方法是首先界定濾波范圍，本文根據(jù)頻譜分析，確定了濾波范圍(0～0.05 Hz)，依據(jù)能量分布特征，該濾波范圍能夠基本保留主要的加工信息。

圖1 由放電狀態(tài)時(shí)間序列表示的一個(gè)加工過(guò)程Fig.1 An EDM process represented by a train of gap state identifications

1.1 傳統(tǒng)數(shù)字濾波方法

數(shù)字濾器，是通過(guò)一定的運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或?yàn)V除某些頻率成分，從而能夠按預(yù)定的要求濾除干擾信號(hào)，獲取有效信號(hào)，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。從功能來(lái)分類，與模擬濾波器一樣，數(shù)字濾波器可以分為低通、高通、帶通和帶阻等濾波器。從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度來(lái)分類，它可以分成無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。

1.1.1 FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

FIR濾波器，即有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器，其輸出取決于過(guò)去的輸入，而與過(guò)去的輸出無(wú)關(guān)。FIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)是有線性相位，且能用硬件實(shí)現(xiàn)。缺點(diǎn)是設(shè)計(jì)通常需要較高的階數(shù)，且系統(tǒng)函數(shù)只能是z－1的多項(xiàng)式。其差分方程具有如下形式:

其單位脈沖響應(yīng)為

將其進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式為

基于MATLAB平臺(tái)及其漢寧窗函數(shù)，用FIR濾波器對(duì)電火花加工放電狀態(tài)進(jìn)行濾波。根據(jù)上文譜密度分析確定的歸一化截止頻率為0.05 Hz設(shè)計(jì)低通濾波器，圖2為濾波前后的波形對(duì)比圖。由圖可知，濾波后的放電狀態(tài)曲線變得更加光滑，幅值變化較小，相位產(chǎn)生了滯后。

圖2 FIR濾波器濾波前后對(duì)比Fig.2 A comparison of gap states between original value and the value filtered by an FIR filter

1.1.2 用IIR數(shù)字濾波器方法

IIR濾波器，即無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器，它的單位脈沖響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的。其差分方程為

系統(tǒng)函數(shù)為

常見(jiàn)的模擬濾波器類型包括巴特沃茲、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器，基于這些模擬濾波器，MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了對(duì)應(yīng)的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。本文采用巴特沃茲濾波器函數(shù)，圖3所示濾波前后的對(duì)比圖。由圖可知，濾波后的放電狀態(tài)曲線變得十分光滑，幅值也發(fā)生了較大改變。

以上分別用2種傳統(tǒng)濾波器對(duì)放電狀態(tài)進(jìn)行濾波，由圖中可看出，濾波后的放電狀態(tài)曲線雖然變得平滑，也發(fā)生了移相和幅值改變等不良效果，亦即產(chǎn)生了延遲，對(duì)實(shí)時(shí)控制十分不利。并且，濾波器本身是一個(gè)高階單元，會(huì)造成整個(gè)控制系統(tǒng)的階次升高很多，不利于系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖3 IIR濾波器濾波前后對(duì)比Fig.3 The comparison of gap states between original value and the value filtered by an IIR filter

1.2 自適應(yīng)濾波方法

1.2.1 放電狀態(tài)估計(jì)值的計(jì)算

電火花加工過(guò)程中伴隨著復(fù)雜的物理環(huán)境，因此影響放電狀態(tài)的因素眾多，其中的確定因素包括電參數(shù):脈寬時(shí)間、峰值電流、開(kāi)路電壓、脈沖間隔等;伺服運(yùn)動(dòng)參數(shù):電極抬刀周期、抬刀高度和速度等;其中難以定量的不確定因素加工材料、加工深度和放電點(diǎn)分布等。由于這些因素的影響，電火花加工過(guò)程表現(xiàn)出了非穩(wěn)態(tài)和非線性的動(dòng)態(tài)特性［10］。

文獻(xiàn)［11］已證明，電火花加工過(guò)程放電狀態(tài)的時(shí)間序列具有二維特征，因此可以用時(shí)變的二階Auto Regressive(AR)模型來(lái)描述放電狀態(tài)變化過(guò)程:

式中:s(k)表示放電狀態(tài)在k時(shí)刻理論值;q(k)= [a1a2]Τ;w(k)是均值為0，方差為 σ的白噪聲;a1、a2為時(shí)變參數(shù)。

放電狀態(tài)的檢測(cè)值隨采樣周期的改變而改變，因此，可以將放電狀態(tài)的檢測(cè)值 y( k)與理論值s(k)間的關(guān)系表示為

其中

其中

1.2.2 過(guò)程參數(shù)估計(jì)

將式(9)代入式(8)，得到:

其中

可以認(rèn)為在2個(gè)放電狀態(tài)采樣點(diǎn)之間，參數(shù)保持不變，因此可以得到

用另一個(gè)卡爾曼濾波器來(lái)估計(jì)過(guò)程參數(shù)a1、a2的值，將時(shí)變參數(shù)以狀態(tài)空間的形式表達(dá)為

這樣就可以得到關(guān)于時(shí)變參數(shù)的卡爾曼濾波算法:

Kq(k)是卡爾曼增益:

式中:Pq(k)是后驗(yàn)參數(shù)誤差的協(xié)方差矩陣:

通過(guò)上述計(jì)算能夠?qū)^(guò)程參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并且通過(guò)使2個(gè)卡爾曼濾波器交互運(yùn)行，完成了對(duì)放電狀態(tài)的自適應(yīng)濾波。

2 校驗(yàn)放電狀態(tài)自適應(yīng)濾波算法

驗(yàn)證算法的具體標(biāo)準(zhǔn)如下［12］:放電狀態(tài)的理論估計(jì)值與放電狀態(tài)的檢測(cè)值，其差值的均值R必須在理論誤差范圍內(nèi)。以此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算如下:

用上述標(biāo)準(zhǔn)來(lái)校驗(yàn)放電狀態(tài)自適應(yīng)濾波算法，運(yùn)行結(jié)果如圖4、5。圖4為濾波前后的放電狀態(tài)曲線，圖5為a處的放大圖。由圖4可以看出，經(jīng)濾波后的放電狀態(tài)，即理論放電狀態(tài)的估計(jì)值，與檢測(cè)到的放電狀態(tài)值相比，時(shí)間方面基本保持同步，幅值方面變化趨勢(shì)更平緩，符合我們的期望。圖6為理論放電狀態(tài)估計(jì)值偏差的界限與檢測(cè)到放電狀態(tài)偏差的分布，由圖中可看出，差值均在理論偏差極限范圍之內(nèi)，說(shuō)明該方法在理論上與實(shí)際中均具有可行性。

圖4 理論放電狀態(tài)估計(jì)值與檢測(cè)到的放電狀態(tài)值對(duì)比圖Fig.4 The comparison between theoretical value and detection value of gap states

圖5 圖4中a處放大圖Fig.5 A larger view of part a in figure 4

圖6 理論放電狀態(tài)估計(jì)值偏差的界限與檢測(cè)到放電狀態(tài)偏差的分布Fig.6 Error bounds of theoretical gap state estimates and error distribution of gap state identifications

3 結(jié)論

本文提出了卡爾曼濾波方法對(duì)電火花加工過(guò)程放電狀態(tài)進(jìn)行自適應(yīng)濾波。通過(guò)與傳統(tǒng)濾波方法進(jìn)行比較，得出以下結(jié)論:

1)經(jīng)自適應(yīng)濾波以后的放電狀態(tài)，是理論放電狀態(tài)的估計(jì)值，其優(yōu)點(diǎn)在于能對(duì)加工過(guò)程誤差與檢測(cè)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，能對(duì)放電狀態(tài)檢測(cè)值進(jìn)一步修正，能夠更為正確的反映放電狀態(tài)。

2)傳統(tǒng)低頻濾波方法雖然能夠平滑放電狀態(tài)曲線，但產(chǎn)生相移和延遲，對(duì)時(shí)實(shí)控制不力。而本文提出的自適應(yīng)濾波方法不會(huì)引起相移或延遲，利于實(shí)時(shí)控制。

3)傳統(tǒng)低頻濾波函數(shù)的階次較高，使得系統(tǒng)階次大幅提高。相比之下，自適應(yīng)濾波函數(shù)的階次小很多，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響不大。

［1］霍孟友，張建華，艾興.電火花放電加工間隙狀態(tài)檢測(cè)方法綜述［J］.電加工與模具，2003(3):17－20.

HUO Mengyou，ZHANG Jianhua，AI Xing.Summarization of gap states monitoring methods in EDM［J］.Electromachining＆Mould，2003(3):17－20.

［2］郝逸軒.數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究［D］.長(zhǎng)沙:長(zhǎng)沙理工大學(xué)，2012:13－14.

HAO Yixuan.Study of digital filters optimal design［D］.Changsha:Changsha University of Science and Technology，2012:13－14.

［3］趙海濱.MATLAB應(yīng)用大全［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2012:604－605.

ZHAO Haibin.MATLAB applications［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2012:604－605.

［4］KALMAN R E.A new approach to linear filtering and prediction problems［J］.Journal of Basic Engineering，1960，82(1):35－45.

［5］WONG K，POLAK E.Identification of linear discrete time systems using the instrumental variable method［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1967，12(6):707－718.

［6］FRIEDLANDER B.Instrumental variable methods for ARMA spectral estimation［J］.IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing，1983，31(2):404－415.

［7］YOUNG P C.An instrumental variable method for real－time identification of a noisy process［J］.Automatica，1970，6 (2):271－287.

［8］NELSON L W，STEAR E.The simultaneous on－line estimation of parameters and states in linear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1976，21(2):94－98.

［9］FRIEDLANDER B，STOICA P，SODERSTR?M T.Instrumental variable methods for ARMA parameter estimation［C］//Proceedings of IFAC Identification and System Parameter Estimation.New York，1985:29－36.

［10］ZHOU Ming，HAN Fuzhu，WANG Yongxain，et al.Assessment of the dynamical properties in EDM process－Detecting deterministic nonlinearity of EDM process［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，44(1/2):91－99.

［11］ZHOU Ming，HAN Fuzhu，TANG Boyan.The methodology of detecting dynamical properties of electrical discharge machining(EDM)process towards building a timely varied linear predictive model［C］//16th International Symposium on Electromachining(ISEM XVI).Shanghai，2010:73－78.

［12］LENNART L.System identification－theory for the user［M］.2nd ed.Sweden:Prentice Hall PTR，1999:224－226.