毛北行， 李巧利

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系， 鄭州 450015； 2.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 鄭州 450001)

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具有非線性耦合的Lurie動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步

毛北行1*， 李巧利2

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系， 鄭州 450015； 2.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 鄭州 450001)

研究了Lurie混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步問題，構(gòu)造了兩類Lurie非線性耦合的驅(qū)動響應(yīng)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，說明了Lurie混沌系統(tǒng)在函數(shù)投影方法下是同步的，最后仿真例子，表明了方法的有效性．

Lurie混沌系統(tǒng)； 投影同步； 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

混沌同步一直是非線性科學(xué)領(lǐng)域的研究熱點問題之一，自Pecora和Carroll于20世紀(jì)90年代提出混沌系統(tǒng)的完全同步方法以來，混沌同步研究取得了巨大的進(jìn)展[1-5]，近年來，混沌同步的應(yīng)用從物理學(xué)迅速擴(kuò)展到自動化控制，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)以及保密通信等領(lǐng)域. 1999年，R.Mainieri等通過對耦合部分線性系統(tǒng)的研究指出，耦合的主從系統(tǒng)狀態(tài)下的輸出不僅相位是鎖定的，而且各對應(yīng)狀態(tài)的振幅還按某一比例關(guān)系演化，這類混沌同步現(xiàn)象稱為投影同步. 文獻(xiàn)[6]基于單向耦合原理研究了一類混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步問題，并給出了兩種響應(yīng)系統(tǒng)的設(shè)計方案，由于只需要向響應(yīng)系統(tǒng)傳送一個驅(qū)動變量，因而實用性更強(qiáng). 文獻(xiàn)[7]研究了耦合混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步問題. 通過設(shè)計合適的控制器和自適應(yīng)律實現(xiàn)了函數(shù)投影同步，所設(shè)計的控制策略對模型不確定和外擾有較好的魯棒性. 文獻(xiàn)[8]利用線性反饋控制和自適應(yīng)控制兩種方法，研究了時滯和非時滯耦合的驅(qū)動響應(yīng)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步問題. 上述文獻(xiàn)研究的都是投影同步問題．

另一方面，Lurie系統(tǒng)中包含控制系統(tǒng)中的多種非線性環(huán)節(jié)，能夠概括工程問題中的許多實際問題，因而Lurie系統(tǒng)的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛興趣.文獻(xiàn)[9]基于自適應(yīng)控制方法研究了一類Lurie系統(tǒng)的混沌同步問題，通過求解一個黎卡提方程設(shè)計了全局漸近控制律. 文獻(xiàn)[10]基于線性矩陣不等式處理方法，研究了Lurie系統(tǒng)的脈沖控制問題，該種方法所需的代價小，性能可靠. 文獻(xiàn)[11]基于單向耦合原理研究了Lurie系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步問題.，給出了系統(tǒng)的設(shè)計方案，但討論的不是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng). 而關(guān)于Lurie復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的研究結(jié)果還十分少見，本文研究了Lurie混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步問題，構(gòu)造了兩類Lurie非線性耦合的驅(qū)動響應(yīng)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，說明了Lurie混沌系統(tǒng)在函數(shù)投影方法下是同步的，最后仿真例子，表明了該方法的有效性.

1 主要結(jié)果

以下考慮Lurie混沌系統(tǒng)

(1)

其中，x(t)=[x1，x2，...，xn]T∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，C為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.f(Cx(t))為非線性函數(shù)．

以(1)作為驅(qū)動系統(tǒng)，構(gòu)造如下具有非線性耦合的響應(yīng)系統(tǒng)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)為

(i=1，2，…，N)，

(2)

其中，yi(t)為網(wǎng)絡(luò)第i個節(jié)點的狀態(tài)向量，ui(t)為加在第i個節(jié)點上的控制器，aij表示響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性耦合配置矩陣的矩陣元，反映了網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和節(jié)點的耦合強(qiáng)度，滿足aij≥0(i≠j)，同時對角線元素定義為

(3)

在現(xiàn)實世界中存在雙向連接、單向鏈接的網(wǎng)絡(luò)和單雙混合連接的網(wǎng)絡(luò). 雙向連接的網(wǎng)絡(luò)是若第i個節(jié)點和第j個節(jié)點相連接，則第j個節(jié)點和第i個節(jié)點也相連接. 而單向連接的網(wǎng)絡(luò)是若第i個節(jié)點和第j個節(jié)點相連接，則第j個節(jié)點和第i個節(jié)點不連接，例如萬維網(wǎng)是單向連接.一般地，若不考慮節(jié)點間的耦合強(qiáng)度的不同，則認(rèn)為雙向連接的網(wǎng)絡(luò)其耦合配置矩陣是對稱的，而單向和單雙向混合連接的網(wǎng)絡(luò)的耦合配置矩陣是不對稱的，為了使設(shè)計的模型更加具有代表性，所以本文對耦合配置矩陣(aij)的對稱性不作要求.

當(dāng)比例函數(shù)α(t)為常數(shù)時，稱(1)與(2)實現(xiàn)投影同步，特別的，當(dāng)α(t)=1時，稱(1)與(2)完全同步，當(dāng)α(t)=-1,稱(1)與(2) 實現(xiàn)反同步．

引理1[12]任給x，y∈Rn以及正定矩陣S，有2xTy≤xTSy+yTS-1y.

證明同引理2的證明，過程略．

(4)

證明定義同步誤差ei(t)=yi(t)-α(t)x(t),則誤差系統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)為:

由引理1很容易得到

以下考慮Lurie混沌系統(tǒng)

(5)

其中,x(t)=[x1，x2，...，xn]T∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，C為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.f(Cx(t))為非線性函數(shù)．

以(5)作為驅(qū)動系統(tǒng)，構(gòu)造如下具有非線性耦合的響應(yīng)系統(tǒng)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)

(6)

其中，yi(t)為網(wǎng)絡(luò)第i個節(jié)點的狀態(tài)向量，ui(t)為控制輸入，aij，bij表示響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性耦合配置矩陣的矩陣元，反映了網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和節(jié)點的耦合強(qiáng)度，滿足aij≥0(i≠j)，bij≥0(i≠j)同時對角線元素分別定義為

(7)

N(σ1+σ2+1)-K<0,

(8)

證明定義同步誤差ei(t)=yi(t)-α(t)x(t),則誤差系統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)為

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

則有

由引理2很容易得到

由引理3很容易得到

2 仿真算例

選取Lorenz系統(tǒng)做為驅(qū)動系統(tǒng)，系統(tǒng)描述為

其中,x1，x2，x3為狀態(tài)變量，a，b，c為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)a=10，b=28，c=8/3時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài). 為了方便，取含三個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真．

含有三個節(jié)點的非線性耦合的響應(yīng)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)描述為

圖1 定理1中系統(tǒng)的誤差曲線

圖2 定理2中系統(tǒng)的誤差曲線

另一模型對應(yīng)的系統(tǒng)為

3 結(jié)論

本文研究了Lurie混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步問題，構(gòu)造了兩類Lurie非線性耦合的驅(qū)動響應(yīng)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，說明了Lurie混沌系統(tǒng)在函數(shù)投影方法下是同步的，最后仿真例子，表明了方法的有效性. 本文采用比線性耦合功能更強(qiáng)的非線性耦合進(jìn)行節(jié)點之間的相互連接構(gòu)成完全網(wǎng)絡(luò)， 該模型中驅(qū)動系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的系統(tǒng)是任意的，不需要必須是部分線性系統(tǒng)，因此更具一般意義．

[1]PecoraLM，CarrollTL.Synchronizationinchaoticsystems[J].PhysRevLett， 1990， 64(8):821-824．

[2]PecoraLM，CarrollTL.Drivingsystemswithchaoticsignals[J].PhysRevA， 1991， 44(4):2374-2383．

[3]YooWJ，JiDH，WonSC.Synchronizationoftwodifferentnon-autonomouschaoticsystemsusingfuzzydisturbanceobserver[J].PhysicsLettersA， 2009， 374(11):1354-1361．

[4]FallahiK，LeungH.Achaossecurecommunicationschemebasedonmultiplicationmodulation[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation， 2010， 15(2):368-383．

[5] 呂 翎， 李 綱， 張 檬, 等. 全局耦合網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)辨識與時空混沌同步[J].物理學(xué)報， 2011， 60(9)：5051-5056．

[6] 李建芬， 李 農(nóng). 一類混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步[J].物理學(xué)報， 2011， 60(8)：5071-5077．

[7] 方 潔， 胡智宏， 江 泳. 耦合混沌系統(tǒng)自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步[J].信息與控制， 2013， 42(1)：39-45．

[8] 李德奎， 張建剛. 時滯和非時滯耦合的驅(qū)動響應(yīng)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步[J].太原理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版， 2013， 44(2)：162-168．

[9] 何漢林， 涂建軍， 熊 萍. 一類Lurie混沌系統(tǒng)的全局漸近同步[J].華中科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版， 2010， 38(2)：38-40．

[10] 毛北行， 王東曉， 卜春霞.Lurie混沌系統(tǒng)的脈沖控制同步[J].華中師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版， 2012， 46(3)：297-299．

[11] 毛北行， 程春蕊， 卜春霞.Lurie混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步[J].數(shù)學(xué)雜志， 2013， 33(4)：717-780．

[12] 卞秋香， 姚洪興. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的線性廣義同步[J].系統(tǒng)工程理論與實踐， 2011， 31(7)：1334-1340．

Function projective synchronization of Lurie dynamical networks with nonlinear coupling

MAO Beixing1， LI Qiaoli2

(1.Department of Mathematics and Physics， Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management， Zhengzhou 450015;2.College of Science， Henan University of Technology， Zhengzhou 450001)

The problem of function projective synchronization of Lurie dynamical networks with nonlinear coupling is studied in the paper.Two drive-response dynamical model with nonlinear coupling is founded in the paper. It is proved that Lurie chaotic systems is synchronized using modified function projective synchronization approach based on Lyapunov stable theory .Numerical simulations example of chaotic system verify the effectiveness of the proposed method．

Lurie chaotic systems; projective synchronization; complex networks

2014-07-05.

國家自然科學(xué)基金項目(51072184)；國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金項目(11226337)；航空基金項目(2013ZD55006)；河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計劃項目(2013GGJS-142)；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年基金項目(2012113004)；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)重點項目(14A110027).

1000-1190(2015)01-0047-05

TP273+.2

A

*E-mail: bxmao329@163.com.