肖 琴, 楊會杰

(1.上海理工大學管理學院, 上海 200090； 2.上海應用技術學院, 上海 201418)

能譜漲落統(tǒng)計特征分析在Logistic混沌序列上的應用

肖 琴1, 2, 楊會杰1

(1.上海理工大學管理學院, 上海 200090； 2.上海應用技術學院, 上海 201418)

混沌現(xiàn)象普遍存在于現(xiàn)實生活中, 混沌時間序列的分析是非線性系統(tǒng)研究的主要內容.基于Anderson 模型, 提出了一種新的混沌序列的分析方法. 通過對Logistic序列的分析, 使用能譜漲落分析方法, 發(fā)現(xiàn)能級斥力的大小能與最大Lyapunov指數(shù)相對應. 結果表明, 該方法能較好的預測混沌序列, 而且具有較強的抗噪聲的能力, 不受初值敏感性的影響.

混沌序列； 隨機矩陣理論； 能級間距

1 引 言

混沌系統(tǒng)是由確定性非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的,是介于確定和隨機之間的不規(guī)則運動. 隨著混沌理論研究的不斷深入的發(fā)展,混沌在很多的實際領域中得到了較為廣泛的應用, 如生物醫(yī)學、自動控制和通信等等.混沌時間序列的識別是混沌動力系統(tǒng)研究中的主要內容[1-4].

計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)是判斷一個系統(tǒng)是否存在混沌的常見的研究方法. 計算最大Lyapunov指數(shù)常用的方法有Wolf算法[5]、小數(shù)據(jù)法[6,7]、矩陣算法[8]、混沌同步[9]等. 然而上述這些方法受時間序列的組成成分、初值、重構相空間等的影響非常大, 可能出現(xiàn)大的偏差, 計算過程又過于繁瑣.

判斷系統(tǒng)的混沌性質的還有頻譜法[10,11]、非整數(shù)維法[12]、Kolmogorov熵[13]等等方法, 雖然她們都能判斷系統(tǒng)的混沌性質, 然而不能把混沌的結構表明清楚, 實現(xiàn)起來困難, 不易操作. 對于界于混沌和周期分叉的系統(tǒng)容易出現(xiàn)誤判. 因此, 尋求更加簡單, 更能揭示混沌系統(tǒng)所蘊含的動力學性質的方法一直是備受關注的問題之一.

在本文中, 我們使用隨機矩陣[14,15]的能級間距分布(NNS)分析方法[16-20], 通過把Logistic序列映射到Anderson 模型, 研究了對應的模型的能譜漲落統(tǒng)計特征, 從能譜的角度出發(fā), 通過能譜的能級間距分布提取混沌的特性, 發(fā)現(xiàn)能較詳細的說明混沌序列的結構. 這種方法具有普適性, 同樣適用于其他的混沌序列. 該方法不受初值的影響.

2 方法與模型建立和求解

2.1 能級間距的Brody分布

隨機矩陣理論表明: 哈密頓體系在完全規(guī)則(可積)的情況下, 它的能級間隔分布(NNS)為Poisson分布. 而混沌體系對應的量子系統(tǒng),它的NNS分布為Wigner分布. 大量的物理體系是這兩極限情形的“混合共存”. Brody分布可用于描述這種情況下能級間隔統(tǒng)計的性質. 其形式為,

fB(s)=β(α+1)sαexp(-βsα+1),

(1)

α為能級斥力參數(shù),α=0和1時, 上述分布函數(shù)分布蛻變?yōu)镻oisson和Wigner分布函數(shù). Poisson和Wigner分布函數(shù)為:

fp(s)=exp(-s)

fw(s)=(πs)exp(-πs2)

(2)

2.2 模型的建立

我們把時間序列映射到一維無序格子, 時間序列的大小作為能量的大小, 由Anderson模型得到哈密頓矩陣, 通過分析格子的哈密頓矩陣的能級間隔特征來度量時間序列的結構特征.

我們首先對時間序列進行歸一化, 對于任一個序列X1,X2,X3,…,Xn, 取

,i=1,2,…,N

(3)

取xmax=max(x1,x2,…xn), 我們得到了新的序列y1,y2,…yn, 其中,yi=xi-xmax.

圖1 新的序列對應于Anderson模型里的能量的無序變化 Fig. 1 Time series corresponding to the disordered energy of the Anderson model

然后我們把新的序列對應于一維格點的點能量, 這樣就得到了一個Anderson模型. 它的哈密頓量可寫為:

(4)

{ΔEk|k=1,2,…,N-1}

={E2-E1,E3-E2,…,EN-EN-1}

(5)

3 Logistic混沌序列仿真實驗

3.1Logistic方程

我們以Logistic映射作為混沌的典型例子,來探索混沌序列的結構性質.

Logistic方程： Xn+1=λXn(1-Xn)

0≤Xn≤1,0<λ≤4.

(6)

對于Logistic映射序列, 我們知道: 當λ≥3.57時進入混沌狀態(tài), 在實驗中我們取3.57≤λ≤4, 來考察隨著λ的增大, 序列由倍周期分叉變成混沌狀態(tài)的反復變化過程. 我們先以0.3為初值, 隨著的λ不同大小,產(chǎn)生不同Logistic映射序列. 在實驗中, 我們?yōu)榱耸箤嶒灢皇怯商厥馇闆r產(chǎn)生的, 我們每次都做了20次以上的實驗, 并且每次實驗的序列取10000-100000不等的長度大小.

對于離散Logistic映射序列來說, 序列的最大Lyapunov指數(shù)表征序列沿著軌跡的平均發(fā)散張開程度, 即對初始條件的敏感依賴性. 在不同的狀態(tài)下, 最大Lyapunov指數(shù)可能大于、等于或小于零. 如果最大Lyapunov指數(shù)大于零, 表示運動軌道在每個局部都不穩(wěn)定, 相鄰軌道指數(shù)分離, 形成混沌吸引子. 指數(shù)越大, 相鄰軌道指數(shù)分離越快, 長期的預測性越不可能, 因此正的Lyapunov可作為混沌行為的判據(jù). 如果指數(shù)小于零, 表明每次迭代后軌道的差距越來越小, 對應于各個周期的運動狀態(tài). 指數(shù)由負變正, 表明周期軌道向混沌的轉變.其中λ=3.63,3.74,3.83,3.84,3.9等點時, 最大Lyapunov指數(shù)為負值, 這里我們稱之為奇異點. 很顯然, 奇異點處的性質會顯著不同于其他的混沌的點.

圖2 初值為0.3的Logistic映射序列的最大Lyapunov指數(shù)變化圖, 其中3.57≤λ≤4(以0.005為劃分間隔)Fig. 2 The largest Lyapunov exponent of the Logistic series with the initial value 0.3(in 0.005 divided interval)

3.2 實驗結果

3.2.1 初值相同, 序列的長度不同

我們先選取具有相同的初值, 而序列的長度不同的Logistic映射序列做多次的實驗,分別計算它們的能級間隔分布的能級斥力α的分布的情況. 我們發(fā)現(xiàn)結果與序列的長度無關, 都能得到基本一樣的結果.

對不同的Logistic映射序列, 圖3中我們取3.5≤λ≤4計算得到的能級間隔分布所對應的能級斥力參數(shù)α, 結合Lyapunov指數(shù)圖可以看出,α的變化趨勢與Lyapunov指數(shù)幾乎相同, 甚至更為細微.

圖3 初值為0.3的Logistic序列最大Lyapunov指數(shù)與相同初值的Logistic序列的能級間隔分布的能級斥力α值的對應圖 Fig. 3 The largest Lyapunov exponent of Logistic series (a) and the corresponding graph of the series NNS level repulsion α (b) with the origin value 0.3

當λ大于3.57后, 與Lyapunov指數(shù)相同的是, 在它的奇異點處能級間距參數(shù)也會有突然驟降, 我們從圖3中可以看出, α值以臨界值0.7為界, 越接近1越近于Wigner分布, 也說明了當系統(tǒng)處于完全混沌狀態(tài)時, 能級間隔關聯(lián)性較強. 因此可以說明, 系統(tǒng)能級間隔的關聯(lián)性可以反映系統(tǒng)的混沌程度, 關聯(lián)性越強, 混沌程度越強.

3.2.2 初值不同的序列

對于序列具有不同的初值而具有相同的跳躍能的情況, 我們也進行了分析. 我們得到了相同的結論, 如圖4可知, 初值的不同并不影響能級斥力α與最大Lyapunov指數(shù)的對應關系. 從圖像中可以看出, 跳躍能一樣而初值不一樣, 則我們得到的臨界α值相同, 都是0.7.

圖4 初值為0.8的Logistic序列最大Lyapunov指數(shù)與相同初值的Logistic序列的能級間隔分布的能級斥力α值的對應圖Fig. 4 The largest Lyapunov exponent of Logistic series (a) and the corresponding graph of the series NNS level repulsion α (b) with the origin value 0.8

3.2.3 具有不同跳躍能的序列

我們進一步進行分析, 對于具有不同的初值的Logistic映射序列, 我們同樣也計算了Lyapunov指數(shù)與系數(shù)α的關系, 我們得到了相同的結論, 同樣也有相同的對應關系. 我們發(fā)現(xiàn), 對于不同的跳躍能, 所對應的NNS的能級斥力系數(shù)臨界值α值的高度不同, 而與最大Lyapunov指數(shù)的對應關系沒有改變. 如圖5所示, 在實驗中我們取跳躍能為τ=31/2, 得到對應的臨界α值為0.8.

圖5 初值為0.3的Logistic序列最大Lyapunov指數(shù)與跳躍能為τ=31/2的Logistic序列的能級間隔分布的能級斥力α值的對應圖Fig. 5 The largest Lyapunov exponent of Logistic series (a) and the corresponding graph of the series NNS level repulsion α (b) with the τ=31/2 jump energy worth

3.2.4Lorenz序列的實驗結果

混沌序列Lorenz序列的方程為：

dx(1,1)=10*(x(2)-x(1));

dx(2,1)=x(1)*(30-x(3))-x(2);(7)

dx(3,1)=x(1)*x(2)-8/3*x(3);

我們也取同樣的方法進行實驗, 在實驗中取跳躍能為1, 我們得到了以下的一些NNS的能級斥力α值為表1中的數(shù)據(jù), 從數(shù)據(jù)中可以看出, 他們都要遠遠大于臨界值0.7, 可以判斷為混沌系統(tǒng). 另外, 能級斥力α值接近1, 因此為Winger分布. 對于混沌序列Lorenz序列其他的參數(shù)的情況, 我們有相同的結論.

表1 混沌序列Lorenz序列的能級斥力α值

4 結 論

本文從隨機矩陣理論出發(fā), 推導出了與最大Lyapunov指數(shù)相對應的識別混沌序列的新的方法. 我們運用Anderson模型, 把Logistic序列大小對應于能量的大小, 進而得到了相應的哈密頓矩陣, 在使用隨機矩陣的能級間隔漲落的統(tǒng)計分布, 得到了能與Lyapunov指數(shù)對應的斥力參數(shù). 對于不同的跳躍能, 臨界的NNS的能級斥力參數(shù)α不同. 對于有不同的初值, 而跳躍能一樣的情況, 這個臨界值不變. 結果表明, 本文算法對初值不敏感, 因此是一種有效簡單的方法, 對于我們對序列的性質的分析和探究有一定的作用.

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Spectral analysis approach to chaotic series

XIAO Qin1, 2, YANG Hui-Jie1

(1.Business School, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China;2.College of Science, Shanghai Institute Technology, Shanghai 201418, China)

Chaos is ubiquitous in real life. Identification of chaotic time series is the main content of nonlinear field. We map a time series to a 1-dimensional random lattice. By using random matrix theory, we find that the statistical characteristics of level spacing are consistent very well with the Lyapunov exponent behaviors. The results show that the method has strong anti-noise ability and non-initial-state-sensitivity.

Chaotic time series; Random matrix theory; Nearest neighbor level spacing

上海市重點學科建設項目(XTKX2012);國家自然科學基金項目(10975099，10635040);上海市教委創(chuàng)新基金(13YZ072);上海高校特聘教授 (東方學者)崗位計劃

肖琴(1976—)，女，漢，博士研究生. E-mail: sunshao3000@163.com

103969/j.issn.1000-0364.2015.10.029

N941

A

1000-0364(2015)05-0891-05

投稿日期:2014-03-04