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        關(guān)于*-Sylvester矩陣方程的條件數(shù)?

        2015-03-22 08:01:44王衛(wèi)國
        關(guān)鍵詞:上界對(duì)角范數(shù)

        耿 雪,王衛(wèi)國

        (中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

        ?

        關(guān)于*-Sylvester矩陣方程的條件數(shù)?

        耿 雪,王衛(wèi)國

        (中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

        條件數(shù)反應(yīng)計(jì)算問題的解關(guān)于擾動(dòng)的敏感性,在擾動(dòng)分析中占有重要地位。本文考慮*-Sylvester矩陣方程,得到混合型條件數(shù),分量型條件數(shù),有效條件數(shù)的精確表達(dá)式,并給出相應(yīng)的上界估計(jì)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明混合型條件數(shù),分量型條件數(shù)和有效條件數(shù)能給出更精確上界。

        *-Sylvester矩陣方程; 混合型條件數(shù); 分量型條件數(shù); 有效條件數(shù)

        本文考慮如下*-Sylvester矩陣方程[1]:

        AX+X*B*=C,A,B,X∈Cn×n

        (1)

        其中:*表示轉(zhuǎn)置或共軛轉(zhuǎn)置,當(dāng)*=T時(shí),稱為T-Sylvester矩陣方程。當(dāng)*=H時(shí),稱為H-Sylvester矩陣方程。

        條件數(shù)反映計(jì)算問題的解關(guān)于數(shù)據(jù)擾動(dòng)的敏感性,但范數(shù)型條件數(shù)不能很好的反應(yīng)各個(gè)元素的擾動(dòng)情況且沒有很好地利用到數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)。為了反映數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)對(duì)條件數(shù)的影響,Gohberg和Koltracht給出了2種結(jié)構(gòu)條件數(shù):混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)[2]。為了給出更加精確的誤差估計(jì),Diao等給出了廣義Sylvester矩陣方程的有效條件數(shù)的定義[3]。

        關(guān)于混合型和分量型條件數(shù)已有很多研究成果。Lin和Wei在文獻(xiàn)[4]中提出了一般Sylvester矩陣方程的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)。Baboulin M和Dongana J等對(duì)線性最小二乘問題的這兩種條件數(shù)做了研究[5]。Lin和Wei[6]及Liu[7]分別研究了非對(duì)稱Riccati方程的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)。對(duì)于雙曲QR分解的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)也由Wang和Hao在文獻(xiàn)[8]中給出。

        本文主要研究*-Sylvester矩陣方程的條件數(shù),分別給出了混合型條件數(shù),分量型條件數(shù)和有效條件數(shù),并給出了相應(yīng)的上界估計(jì)。數(shù)值算例表明,上述3種條件數(shù)比傳統(tǒng)的范數(shù)型條件數(shù)要小許多。

        1 基本概念

        設(shè)矩陣

        A=[a1,a2,…,an]∈Rn×n,

        其中ai∈Rn,i=1,2,…,n。定義拉直運(yùn)算:

        易知

        ‖vec(A)‖2=‖A‖F(xiàn)‖vec(A)‖∞=‖A‖max

        其中‖·‖F(xiàn)是Frobenius范數(shù),‖·‖max定義為:

        ‖A‖max=maxi,j|aij|。

        關(guān)于Kronecker積,有以下性質(zhì):

        vec(AXB)=(BT?A)vec(X)

        (2)

        其中|A|為A各個(gè)分量的絕對(duì)值矩陣。定義混合型與分量型條件數(shù)需要以下定義。

        d(A,B)=d(vec(A),vec(B))。

        對(duì)?ε>0,記B0(a,ε)={x|d(x,a)≤ε},對(duì)于向量值方程:F:Rp→Rq,記Dom(F)為F的定義域。

        混合型與分量型條件數(shù)的定義如下:

        定義1.1[2]令F:Rp→Rq是定義在開集Dom(F)?Rp上的連續(xù)映射,0?Dom(F)。令a∈Dom(F)且F(a)≠0。

        (a)F在點(diǎn)a處的混合型條件數(shù)定義為:

        由定義1.1和[9]中引理1,可得下述引理:引理1.2 設(shè)F:Dom(F)→Rq是定義在開集Dom(F)?Rp上的連續(xù)函數(shù),且0?Dom(F)。假設(shè)a∈Dom(F),且F(a)≠0,F(xiàn)在點(diǎn)a處是Fréchet可導(dǎo)的,則:

        Ⅰ:F在點(diǎn)a處的混合型條件數(shù)可定義如下:

        (3)

        Ⅱ:若F(a)=[f1(a),f2(a),…,fq(a)]的分量fj(a)≠0,j=1,2,…,q,則F在點(diǎn)a處的分量型條件數(shù)定義為:

        (4)

        其中DF(a)是F在點(diǎn)a處的Fréchet導(dǎo)數(shù)。

        注1.3 考慮分量型條件數(shù)及其上界時(shí)假設(shè)X中沒有零元素。

        注1.4 引理1.2將條件數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為尋找|DF(a)||a|的精確表達(dá)式,更確切地說是求DF(a)的矩陣表達(dá)式。

        引理1.5[9]φ(A,f)=A-1f的Fréchet導(dǎo)數(shù)可表示為:

        Dφ(A,f)(ΔA,Δf)=-A-1(ΔA)A-1f+A-1(Δf)

        (5)

        2 *-Sylvester矩陣方程

        *-Sylvester矩陣方程的擾動(dòng)方程如下:

        (A+ΔA)(X+ΔX)+(X+ΔX)*(B+ΔB)*=C+ΔC

        (6)

        其中

        ‖ΔA‖F(xiàn)≤ε‖A‖F(xiàn),‖ΔB‖F(xiàn)≤ε‖B‖F(xiàn),

        ‖ΔC‖F(xiàn)≤ε‖C‖F(xiàn),(0<ε<1)。

        〈1〉*=T情形:

        AX+XTBT=C

        (7)

        利用Kronecker積,方程(7)可改寫為:

        Pvec(X)=vec(C)

        P≡In?A+(B?In)E

        (8)

        〈2〉*=H情形:

        AX+XHBH=C

        (9)

        矩陣A,B,C,X寫成如下實(shí)部與虛部形式:

        A=Ar+iAiB=Br+iBi
        C=Cr+iCiX=Xr+iXi

        方程(9)改寫成以下形式[2]:

        (10)

        其中:

        3 混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)

        3.1T-Sylvester方程問題

        為了定義混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù),定義以下映射:

        (11)

        其中X是方程(7)的唯一解。

        引理3.1 式(11)中的映射Φ是連續(xù)的且在v=(vec(A)T,vec(BT)T,vec(C)T)T是Fréchet可導(dǎo)的,并且其導(dǎo)數(shù)矩陣為:

        DΦ(v)=-P-1((XT?In),(In?XT),-In)

        (12)

        證明 由方程(8)有:

        Φ(v)=vec(X)=

        P-1vec(C),P≡In?A+(B?In)E

        其中:

        Δv=(vec(ΔA)T,vec(ΔBT)T,vec(ΔC)T)T;

        由性質(zhì)(2)得:

        (In?ΔA+(ΔB?In)E)vec(X)=

        (In?ΔA)vec(X)+(ΔB?In)vec(XT)=

        vec(ΔAXIn)+vec(InXTΔBT)=

        vec(InΔAX)+vec(XTΔBTIn)=

        (XT?In)vec(ΔA)+(In?XT)vec(ΔBT)=

        從而:

        DΦ(v)°(Δv)=

        P-1vec(ΔC)=

        -P-1((XT?In),(In?XT),-In)(Δv)

        則導(dǎo)數(shù)的矩陣表示為:

        DΦ(v)=-P-1((XT?In),(In?XT),-In)。

        證畢

        下面的定理給出了方程(7)的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)的精確表達(dá)式及其相應(yīng)的上界估計(jì)。

        定理3.2 若方程(7)有唯一解X,且P形如(8),則T-Sylvester矩陣方程(7)的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)分別為:

        mT-SYL(Φ,v)=

        ‖|P-1(XT?In)|vec(|A|)+|P-1(In?XT)|vec(|BT|)+|P-1|vec(|C|)‖∞/‖X‖max

        相應(yīng)的上界估計(jì)為:

        cT-SYL(Φ,v)≤‖Diag-1(vec|X|)|P-1|‖∞‖|A||X|+|XT||BT|+|C|‖max。

        其中Diag-1(a)為以a為對(duì)角元的對(duì)角矩陣的逆矩陣。

        證明 由引理1.2和引理3.1,方程(7)的混合型條件數(shù)為:

        其上界為:

        mT-SYL(Φ,v)≤

        同理,可得方程(7)的分量型條件數(shù):

        其上界估計(jì)為:

        cT-SYL(Φ,v)≤

        ‖Diag-1(vec|X|)(|P-1||XT?In|vec(|A|)+|P-1||In?XT|vec(|BT|)+

        |P-1|vec(|C|))‖∞≤|Diag-1(vec|X|)|P-1|vec(|A||X|+|XT||BT|+|C|)‖∞≤

        ‖Diag-1(vec|X|)|P-1|‖∞‖|A||X|+|XT||BT|+|C|‖max

        證畢

        3.2H-Sylvester方程問題

        對(duì)方程(10)利用3.1節(jié)方法,可直接得到(9)的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)。由(10)得:

        (13)

        其中:

        A≡|Ar||Xr|+|Ai||Xi|+

        B≡|Ar||Xi|+|Ai||Xr|+

        Diag-1(a)為以a為對(duì)角元的對(duì)角矩陣的逆矩陣。

        其中

        則:

        由A,B,C,X滿足方程(9),可得:

        從而:

        因此,混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)的上界分別為:

        證畢

        4 有效條件數(shù)

        根據(jù)Diao等[9]給出的Sylvester方程的范數(shù)型條件數(shù)的定義,T-Sylvester方程的范數(shù)型條件數(shù)可定義如下:

        (14)

        其中:δ1=‖A‖F(xiàn);δ2=‖B‖F(xiàn);δ3=‖C‖F(xiàn);P如(8)所示。為了給出有效條件數(shù),需要矩陣分離度的定義[3]:

        4.1T-Sylvester方程問題

        下面給出*=T時(shí)的有效條件數(shù)。

        定理4.1 對(duì)于擾動(dòng)方程(6),假設(shè)δ=‖P-1‖2‖ΔP‖2<1,P為(8)中所示,ΔP如引理3.1所示,則擾動(dòng)界為:

        其中

        cond(P)=‖P‖2‖P-1‖2;

        證明 由擾動(dòng)方程

        AΔX+ΔAX+ΔAΔX+XTΔBT+

        ΔXTBT+ΔXTΔBT=ΔC。

        得:

        AΔX+ΔXTBT=

        ΔC-(ΔAX+XTΔBT)-(ΔAΔX+ΔXTΔBT)。

        利用Kronecker積,兩邊做按列拉直運(yùn)算得:

        Pvec(ΔX)=

        vec(ΔC)-ΔPvec(X)-ΔPvec(ΔX),

        從而

        vec(ΔX)=P-1(vec(ΔC)-

        ΔPvec(X)-ΔPvec(ΔX))。

        兩邊取2-范數(shù)得:

        ‖ΔX‖F(xiàn)≤‖P-1‖2(‖ΔC‖F(xiàn)+

        ‖ΔP‖2‖X‖F(xiàn)+‖ΔP‖2‖ΔX‖F(xiàn))。

        ‖ΔX‖F(xiàn)≤‖P-1‖2‖ΔC‖F(xiàn)+

        (1-δ)‖ΔX‖F(xiàn)≤‖P-1‖2‖ΔC‖F(xiàn)+

        則:

        證畢。

        注4.2取δ1,δ2為任意的,δ3=‖C‖F(xiàn)時(shí):

        進(jìn)一步得:

        證明 令λmax(·)是一個(gè)對(duì)稱半正定矩陣的最大特征值,κT-SYL如(14)所示,令

        即得到

        ‖P-1‖2≤‖P-1S‖2/‖C‖F(xiàn)。

        又由‖P-1S‖2≤‖P-1‖2‖S‖2,得:

        cond(P)=‖P‖2‖P-1‖2=

        證畢。

        4.2H-Sylvester方程問題

        *=H情形,對(duì)于(10)形式,與上述方法類似,可得如下定理。

        定理4.2H-Sylvester方程的范數(shù)型條件數(shù)可定義如下:

        其中

        進(jìn)一步得:

        5 數(shù)值試驗(yàn)及結(jié)果

        只考慮方程(7)的情況,數(shù)值算例表明本文給出的混合型條件數(shù),分量型條件數(shù),有效條件數(shù)與范數(shù)型條件數(shù)的不同。數(shù)值試驗(yàn)運(yùn)行于MATLAB 2010b,機(jī)器精度為2.2×10-16。

        例1 設(shè)

        A=Diag(1,2,…,m)+Nm,

        X是隨機(jī)矩陣,C=AX+XTBT,其中

        當(dāng)t=25,m=10時(shí),求得κT-SYL=208.6894,mT-SYL=63.5151,cT-SYL=63.5151??梢郧宄目吹剑旌闲蜅l件數(shù)和分量型條件數(shù)都比范數(shù)型條件數(shù)小。

        例2 設(shè)A,B與例1相同,

        可以看出X有零元素,方程沒有分量型條件數(shù)。令m=10,取如下擾動(dòng):

        ΔA=10-k·(E°A),

        ΔB=10-k·(F°B),

        ΔC=10-k·(G°C),k=10。其中E,F,G為元素分布在(0,1)上的隨機(jī)矩陣,E°A=(eijaij)是Hadamard積。令

        γm=‖ΔX‖max/‖X‖max,γk=‖ΔX‖F(xiàn)/‖X‖F(xiàn),

        ε0=min{ε:|ΔA|≤ε|A|,

        |ΔB|≤ε|B|,|ΔC|≤ε|C|},

        γk,γm是真實(shí)相對(duì)誤差,ε1,ε0分別是基于范數(shù)型條件數(shù)和混合型條件數(shù)的線性漸近擾動(dòng)界。

        由表1可知,混合型條件數(shù)給出了更為嚴(yán)格的線性擾動(dòng)界。

        6 結(jié)語

        本文提出了*-Sylvester方程的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù),并給出兩種條件數(shù)的上界估計(jì)。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明這兩種條件數(shù)比范數(shù)型條件數(shù)更有效。同時(shí)提出了*-Sylvester方程的有效條件數(shù),只有方程右端項(xiàng)擾動(dòng)時(shí),利用有效條件數(shù)可以得到問題擾動(dòng)界的很好的估計(jì),且此時(shí)有效條件數(shù)比范數(shù)條件數(shù)要小。

        表1 病態(tài)*-Sylvester方程線性漸近擾動(dòng)界Table 1 Linear asymptotic bounds for the ill-conditioned *-Sylvester equations

        表2 比較真實(shí)相對(duì)誤差和有效條件數(shù)一階擾動(dòng)Table 2 The comparison of the true relative errors and the first order perturbation bounds

        [1]ChiangCY,ChuEKW,LinWW.Onthe*-SylvesterequationAX±X*B*=C[J]. Appl Math Comput, 2012, 218 (17): 8393-8407.

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        [3] Diao H, Shi X, Wei Y. Effective condition numbers and small sample statistical condition estimation for the generalized Sylvester equation [J]. Science China Mathematics, 2013, 56: 967-982.

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        AMS Subject Classifications: 65F35; 15A60; 15A12

        責(zé)任編輯 陳呈超

        On the Condition Numbers for *-Sylvester Matrix Equation

        GENG Xue, WANG Wei-Guo

        (School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

        The condition number is a measurement for the sensitivity of solution to the perturbation in the data of a computational problem, it plays an important role in the perturbation analysis. In this paper, we deal with the condition numbers for the *-Sylvester equationAX+B*X*=C,A,B,X∈Cn×n. The explicit expressions of the mixedcondition numbers, componentwise condition numbers, effective condition numbers and their upper bounds are derived respectively. Numerical examples illustrate the sharpness of our perturbation bounds.

        *-Sylvester equation; mixed condition numbers; componentwise condition numbers; effective condition numbers

        中央高?;究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)青年教師基金項(xiàng)目(201313009);山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2013AM025)資助

        2013-10-19;

        2014-06-12

        耿 雪(1988-),女,碩士生。E-mail: snow-qx@126.com

        O241.1

        A

        1672-5174(2015)06-132-07

        10.16441/j.cnki.hdxb.20130284

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