張若軍， 孟艷雙， 盧春閣

(1. 中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100；2. 中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100；3. 山東交通學(xué)院理學(xué)院，山東 濟南 250357)

?

時滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解?

張若軍1， 孟艷雙2,3， 盧春閣1

(1. 中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100；2. 中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100；3. 山東交通學(xué)院理學(xué)院，山東 濟南 250357)

主要研究一類無限區(qū)間上的具有S-分布時滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的概周期解問題。一方面去掉激活函數(shù)必須滿足全局Lipschitz條件的限制，另一方面擴大時滯的應(yīng)用范圍，利用Banach不動點定理和不等式分析技巧，得到了保證所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解的存在性與全局吸引性的充分條件，并用一個例子說明了所得結(jié)果的有效性與可行性。本文結(jié)果在一定程度上改善和推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)論。

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；概周期解；S-分布時滯；全局吸引性

時滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)性質(zhì)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計和應(yīng)用方面發(fā)揮了重要的作用[1-2]。在真實的神經(jīng)系統(tǒng)中，因為生物因素和環(huán)境參數(shù)隨時間波動，所以考慮概周期解比周期解更具有現(xiàn)實意義。近年來，時滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的概周期解有一些很好的結(jié)果[3-8]，但很多早期的文獻(xiàn)所考慮的時滯或是離散時滯或是連續(xù)時滯，且常假設(shè)激活函數(shù)是全局Lipschitz的。本文將在去掉激活函數(shù)全局Lipschitz條件的限制及擴大時滯的應(yīng)用范圍的情形下，研究一類更廣泛的具有S-分布時滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的概周期解問題。

1 模型描述和預(yù)備知識

考慮無限區(qū)間(-∞，0]上的S-分布時滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

(1)

其中:n表示神經(jīng)元的個數(shù)；xi(t)是第i個神經(jīng)元在t時刻的狀態(tài)；ci(t)>0表示衰減率，gj表示激活函數(shù)；bij(t)表示第j個神經(jīng)元對第i個神經(jīng)元的連接權(quán)重；Ii(t)是外部輸入；Φi(t)是(-∞,0]上的有界連續(xù)函數(shù)。

2 主要結(jié)果

定理1 若系統(tǒng)(1)滿足

則系統(tǒng)(1)一定存在唯一的概周期解。

證明 對任意φ(t)∈S，考慮系統(tǒng)

(2)

定義映射

從而，對任意φ∈S*，有

由(A1)，

把映射T在S*上的限制仍記為T，首先證明映射T是從S*到S*的自映射。事實上，對所有φ∈S*，有

θ))dηij(θ)]ds|≤

這蘊含了Tφ∈S*。因此，映射T是從S*到S*的自映射。

再證明映射T是壓縮映射。事實上，對

?φ,ψ∈S*，‖T(φ)-T(ψ)‖=

‖φ-ψ‖=q‖φ-ψ‖。

因為0

定理2 假設(shè)定理1中的所有條件成立，則系統(tǒng)(1)的概周期解x*(t)是全局吸引的。

x(t)-x*(t),i=1,2,…,n，則有

(3)

顯然，系統(tǒng)(1)的解x*是全局吸引的當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(3)的零解是全局吸引的。

‖y(t)‖≤D,?t>0

(4)

(5)

如果(5)式不成立，則必存在t1>0，使得

‖y(t1)‖=lD

(6)

‖y(t)‖

(7)

由(3)式及(A1)，(A2)，有

此與(6)式矛盾，所以(5)式成立。令l→1，則(4)式成立。

(Ⅱ) 證明系統(tǒng)(3)的零解是全局吸引的。

(8)

由(Ⅰ)知，存在σ≥0，使得

(9)

由上確界極限定義和(9)式，對于充分小的γ>0，存在t2>0，對任意t≥t2，有

‖y(t)‖≤(1+γ)σ

(10)

(11)

由(9)～(11)式，當(dāng)t≥t2+T時，有

所以

(12)

3 例子

令n=2，考慮如下具有S-分布時滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

易驗證定理2的條件滿足，故系統(tǒng)(13)存在一個全局吸引的概周期解。

注2 離散時滯和連續(xù)時滯互不包含，而S-分布時滯包含了上述兩種時滯，更具普遍性。

4 結(jié)語

本文在去掉激活函數(shù)全局Lipschitz限制條件以及擴大時滯的范圍的情形下，研究了一類具有S-分布時滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的概周期解問題，得到了保證概周期解的存在性與全局吸引性的充分條件，改善和推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)果，并用一個例子說明了所得結(jié)果的有效性與可行性。

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AMS Subject Classification: 34K14

責(zé)任編輯 陳呈超

Almost Periodic Solutions for Delayed Hopfield Neural Networks

ZHANG Ruo-Jun1, MENG Yan-Shuang2,3, LU Chun-Ge1

(1. School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2. College of Information Sciences and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 3. School of Science, Shandong Jiaotong University, Jinan 250357, China)

In this paper, we investigate the existence and global attractivity of almost periodic solutions for the Hopfield neural networks with S-type distributed delays on an infinite interval. Removing the global Lipschitz conditions of activation functions, and expanding the scope of application of delays, we give some sufficient conditions ensuring existence and global attractivity of almost periodic solutions for the addressed neural networks by applying Banach fixed point theorem and inequality technique. Moreover, an example is given to illustrate the effectiveness of our results. The results of this paper improve and generalize the results in the literature to a certain extent.

Hopfield neural networks; almost periodic solutions;S-type distributed delays; global attractivity

國家自然科學(xué)基金項目(11171374;11171315)；山東省自然科學(xué)基金項目(ZR2011AZ001;ZR2011AM003)資助

2013-05-31；

2014-06-20

張若軍(1970-)，女，副教授。E-mail:zhangru1626@sina.com

O175

A

1672-5174(2015)06-128-04

10.16441/j.cnki.hdxb.20130248