李平樂 楊秀芹 李春暉

（1.婁底職業(yè)技術(shù)學院機電工程系教務處，湖南婁底 417000；2.焦作師范高等?？茖W校，河南焦作 454000）

李平樂1楊秀芹2李春暉1

（1.婁底職業(yè)技術(shù)學院機電工程系教務處，湖南婁底 417000；2.焦作師范高等?？茖W校，河南焦作 454000）

研究了一個新的積分不等式及它的應用，它具有傳統(tǒng)積分近似計算不具備的特點，那就是該法精度高。介紹了用新的積分不等式求解定積分dx的近似值，當積分上限X遠離下限B時，不等式的不等程度增大，反之，當X趨近于B時，其不等程度趨于0，也就是說積分區(qū)間分得愈細，其積分誤差愈小。這樣，借助于計算機運算，幾乎能將積分的近似值很容易地轉(zhuǎn)換成精確值，無論是什么樣的工程設計計算，計算機都能把它算得又快又準確，同時近似計算的精度得到了大幅度提高，開創(chuàng)了工程設計計算的新時代。

定理：同類；異類積分不等式的廣泛應用；分解積分區(qū)間；精度

本文運用文獻中同類不等式的不等程度小于異類不等式的不等程度的性質(zhì)再次驗證了提高定積分近似計算精度的普遍性。當工程設計精度要求不高時，利用計算器手工計算即可，當精度要求很高時，可先將積分區(qū)間細分并建立計算的數(shù)學模型，然后再對數(shù)學模型編程，利用計算機進行數(shù)值計算，這樣就把在理論上稱之為求近似值的問題實質(zhì)上轉(zhuǎn)換為求精確值，同時整理形成了該類函數(shù)的近似計算公式，為計算機編程提供了1個重要的數(shù)學模型。

1.主要結(jié)果

當角X在第一，三象限

可以證明（1），（2）式。略

由文獻[1]-[22]的性質(zhì)以及文獻[13]中同類不等式的不等程度小于異類不等式的不等程度的性質(zhì)得（3）式

為使讀者加深對文獻[1]-[22]性質(zhì)的認識，再對（3）式做小范圍說明

由文獻[1]-[22]性質(zhì)得

為書寫簡便，令（4）式第1項分母為【A】，第二項分母為【B】，第3項分母為，第4項分母為，這樣（5）式可寫成：

證明（6）式大于零，因為（6）式分母大于零，只需證明（6）式分子大于零，將（6）式分子整理成3個不等式

證（10）式大于零，先將（10）式整理成兩個不等式。

設：[A]2〉[B]2sinx（11）

將（11）式，（12）式左邊，右邊分別相加。得：

證（13）式大于零，先將（13）式左邊整理成兩個不等式。設：

將（14）式，（15）式左邊，右邊分別相加。得：

證（17）式大于零，再將（17）式左邊整理成兩個不等式。設：

將（18）式，（19）式左邊，右邊分別相加。得：

證（21）式大于零，因為（21）式分母大于零，只需證明（21）式分子大于零。

將（21）式分子整理成三個不等式。設：

將（22）式，（23）式，（24）式左邊，右邊分別相加。得：

證（25）式大于零，再將（25）式整理成兩個不等式。設：

所以（28）式成立，因此可見（20）式成立，（4）式也成立。

（3）式小范圍補充說明完畢。

2.計算實例

若將（1）式積分區(qū)間進一步分細，積分精度更高，略。

若將（2）式積分區(qū)間進一步分細，積分精度更高，略。

3.結(jié)語

利用文獻【1】-【22】中的定理1和定理2（積分不等式，同類不等式的不等程度小于異類不等式的不等程度的性質(zhì)），可很方便地將積分的近似計算轉(zhuǎn)化為實質(zhì)上的精確計算。本文所闡述的利用這些定理和性質(zhì)求定積分 的近似值（實質(zhì)上的精確值）又是一個典型范例。進一步說明文獻【1】-【22】中的定理和性質(zhì)在積分近似計算領(lǐng)域的普遍性。

（責任編輯 張蓓）

O17

A

1008-7257（2015）03-0061-03

2015-02-22

李平樂（1955-），男，湖南漣源人，婁底職業(yè)技術(shù)學院機電工程系高級講師。