徐龍軍 陳 勇 謝禮立

1） 中國山東威海264209哈爾濱工業(yè)大學（威海）土木工程系 2） 中國山東青島266033山東省藍色經濟區(qū)工程建設與安全協(xié)同創(chuàng)新中心

?

2012年云貴彝良-威寧MS5.5和MS5.6地震的地震動隨機特性

1） 中國山東威海264209哈爾濱工業(yè)大學（威海）土木工程系 2） 中國山東青島266033山東省藍色經濟區(qū)工程建設與安全協(xié)同創(chuàng)新中心

2012年9月7日我國西南云貴交界彝良-威寧地區(qū)連續(xù)發(fā)生兩次MS5.5和MS5.6中強地震， 其時間間隔短， 震中位置接近， 震級相差很小， 為中強地震地震動的隨機特性分析研究提供了難得的強震動數(shù)據(jù)． 本文從集系與樣本函數(shù)兩方面考慮， 通過加速度時程的相關函數(shù)研究了地震動隨機過程的相關特性． 結果表明： 兩次地震集系的相關矩陣均為隨機相關， 互相關矩陣較自相關矩陣表現(xiàn)出更強的隨機性； 兩次地震在同一個臺站記錄的加速度時程所構成的集系， 其相關性較兩次地震單獨構成的集系好； 樣本函數(shù)的相關函數(shù)均呈現(xiàn)不規(guī)則震蕩衰減的特點， 且兩個采樣值間時滯越大， 其樣本函數(shù)相關性越?。?相比大震（如我國臺灣地區(qū)的集集地震）， 中強地震地震動記錄的相關矩陣及分解后的自相關函數(shù)均表現(xiàn)出不同的特點． 由于這兩次地震的地震動幅值相比大震較小， 土層非線性影響較弱， 故本文結果為認識地震動的隨機特性提供了新的參考依據(jù)．

彝良-威寧地震 相關性 集系 樣本函數(shù) 隨機特性

引言

地面運動是造成工程結構破壞的主要動力， 還會引起諸如砂土液化、 滑坡、 泥石流、 崩塌和海嘯等一系列次生災害的發(fā)生． 關于強地面運動的研究是工程抗震設防、 地震危險性分析及安全性評價的基礎和關鍵問題， 是工程地震學的重要內容之一．

Housner（1947）首次提出將地震動看作隨機過程， 之后多位科研人員開展了關于地震動隨機過程的研究（Iyengar， Iyengar， 1969; 胡聿賢， 1988; Shinozuka， Deodatis， 1988; Tavakoli， Pezeshk， 2005）， 這使得地震動的隨機描述方法得到了廣泛關注， 現(xiàn)已發(fā)展成為可靠性理論的重要內容（李桂青等， 1993）． 隨機過程的特性一般通過包括均值、 相關函數(shù)等確定統(tǒng)計數(shù)字特征來描述（徐國棟等， 2005a， b， 2007）．

一般而言， 在一次地震的局部場地上， 各點的地震動既不可能完全相關， 也不可能完全不相關． 地震動在傳播過程中的折射、 散射， 土層的非線性以及不同分量之間的耦合等， 往往使得地震動分量間存在復雜的隨機相關性（Baker， Cornell， 2006; Baker， Jayaram， 2008; Goda， Hong， 2008）． 針對我國臺灣地區(qū)集集大地震強震記錄的隨機相關性， 王國權等進行了深入分析并提出強震地面運動超隨機特性的概念（Wangetal， 2001， 2002； 王國權， 周錫元， 2003）， 即認為地震動的時程相關函數(shù)往往不只是確定性函數(shù)， 而且還包含有一定的隨機成分． 為了考慮該不確定性成分的存在， 將相關函數(shù)中含有隨機成分的過程稱為超隨機過程， 用以強調超隨機過程更強的隨機特性． 應該注意到， 集集地震屬大震級強烈地震， 地震動的幅值， 尤其是近斷層地震動的幅值相對偏高， 一方面土層非線性作用有可能影響土層場地地震動的隨機性； 另一方面近斷層地震動本身就較為復雜， 也會影響到其隨機特性； 再者， 針對同一臺站連續(xù)記錄到的兩次地震地震動相關性的分析尚不多見， 因此， 開展關于中強地震地震動隨機特性的分析研究對進一步認識地震動的隨機性仍然具有重要意義．

2012年9月7日11時19分， 我國西南部云南省昭通市彝良縣、 貴州省畢節(jié)市威寧彝族回族苗族自治縣交界地區(qū)發(fā)生MS5.7地震， 震源深度為14 km； 12時16分， 北偏東方向相距僅11 km的昭通市彝良縣再次發(fā)生MS5.6地震， 震源深度為10 km． 兩次中強地震發(fā)生的時間間隔短， 震中位置接近， 震級相差很小， 這為中強震地震動的隨機特性分析研究提供了難得的強震動數(shù)據(jù)． 本文將三方向加速度時程分量分別看作3個隨機變量， 通過對兩次地震地震動集系的相關矩陣和樣本函數(shù)的相關函數(shù)的分析， 以及將相關函數(shù)看作確定性函數(shù)和隨機函數(shù)的疊加， 從而對相關函數(shù)進行分解等一系列工作的開展和問題探討， 來研究中強地震地震動記錄的超隨機過程和超隨機特性， 以期為地震動隨機特性的認識提供新的參考數(shù)據(jù)和資料．

1 強震動記錄

國家強震動臺網中心于2012年9月7日18點30分收到云南省地震局提供的云貴彝良-威寧MS5.5和MS5.6地震的強震動記錄， 共44組， 分別來自30個記錄臺站． 每組記錄包括兩個水平分量和一個豎向分量， 共132條記錄分量． 其中MS5.7地震由19個臺站和1個臺陣（由2個臺站組成）記錄到， 共21組記錄；MS5.6地震包括23組記錄； 其中有14個臺站分別記錄到了兩次地震的地震動． 圖1給出了兩次地震及30個臺站的平面分布圖． 可以看出所獲得的記錄資料主要分布于震中位置的西南和北部區(qū)域． 位于兩次地震震中西南方向的3個臺站（53LDC， 53ZTX， 53QJX）為巖石場地， 其余臺站均為土層場地． 強震記錄的震中距分布范圍為20—240 km， 且分布較為均勻． 所獲得的強震動均為數(shù)字式記錄． 此次地震為走滑型地震， 兼有少量逆沖分量．

圖1 記錄到云貴彝良-威寧MS5.5和MS5.6地震的臺站分布示意圖

采用國際通用的地震動分析軟件對各記錄進行統(tǒng)一的濾波和調零處理， 濾波的頻率范圍為0.04—40 Hz． 由于僅3個臺站為巖石場地， 數(shù)量較少， 故在地震動隨機特性的分析中未考慮場地的影響．

2 集系的相關性

2.1 平穩(wěn)過程

若隨機過程X（t）的均值為常數(shù)， 自相關函數(shù)RXX（t1，t2）與t1和t2的選取點無關， 而只與t1和t2的時間差有關， 即

E{X（t）}=μX，

（1）

E{X（t1）X（t2）}=RXX（t1,t2）=RXX（τ）τ=t2-t1,

（2）

則X（t）被稱為弱平穩(wěn)隨機過程． 在實際工作中， 常常把所要研究的隨機過程視為弱平穩(wěn)， 可以使問題大大簡化， 因此在實際研究中的平穩(wěn)過程指的就是弱平穩(wěn)隨機過程． 以下討論均認為地震動為一平穩(wěn)隨機過程．

2.2 相關函數(shù)

相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)等是描述隨機過程統(tǒng)計特性最為常用的二階量， 本文所研究的平穩(wěn)隨機過程集系上的相關性就是兩個不同時刻隨機變量間的相關性， 可用上述兩個二階統(tǒng)計量來反映平穩(wěn)過程在兩個時刻上的依賴度， 本文用相關系數(shù)來反映兩個變量間的相關性． 自相關函數(shù)和互相關函數(shù)分別定義如下：

RXX（t1,t2）=E{X（t1）X（t2）}=RXX（τ）τ=t2-t1,

（3）

RXY（t1,t2）=E{X（t1）Y（t2）}=RXY（τ）τ=t2-t1.

（4）

不論是自相關函數(shù)還是互相關函數(shù)， 其定義都是相對于集系的平均， 即在多次取樣間取平均． 相關系數(shù)則由協(xié)方差函數(shù)進行相應的歸一化處理后得到， 自相關系數(shù)和互相關系數(shù)分別寫為

（5）

和

（6）

式中ρXX（t1,t2）反映了X（t1）與X（t2）這兩個不同時刻隨機變量間的線性相關程度， 其值在[-1， 1]區(qū)間內． 當ρXX（t1,t2）=±1時， 表示X（t1）與X（t2）這兩個隨機變量間完全相關； 當ρXX（t1,t2）=0時， 則表示兩個隨機變量間完全不相關； 當ρXX（t1,t2）在（-1， 1）區(qū)間內的值越接近±1， 表示兩個隨機變量間越相似， 而當系數(shù)ρXX（t1,t2）越接近0， 則表示兩個隨機變量間差異就越大．ρXY（t1,t2）意義與ρXX（t1,t2）相同．

自相關系數(shù)和互相關系數(shù)都可以用相關系數(shù)表示成矩陣的形式， 稱為自相關系數(shù)矩陣和互相關系數(shù)矩陣， 自相關矩陣表示形式為

（7）

互相關矩陣則將下標XX換為XY即可． 由集系上相關函數(shù)和平穩(wěn)過程的有關知識， 可以將上述兩個不同時刻隨機變量間的自相關系數(shù)和互相關系數(shù)簡化為

（8）

和

（9）

2.3 加速度時程集系的相關性

從相關矩陣上可以計算得到任意兩個時刻加速度值的相關系數(shù)． 由于MS5.7與MS5.6地震動分析結果基本一致， 且限于篇幅， 在此僅給出MS5.6地震三分量地震動集系上的自相關矩陣和互相關矩陣， 如圖2所示． 可以看出： 自相關矩陣中的系數(shù)沿主對角線均為1，且在靠近主對角線的窄帶范圍內接近1， 其它區(qū)域的系數(shù)則在（-0.4, 0.4）內無序變化， 表現(xiàn)為隨機相關； 互相關矩陣均沒有明顯的主對角線和相應窄帶， 整個區(qū)域的系數(shù)在（-0.4, 0.4）內隨機排列， 但相比自相關矩陣表現(xiàn)出更強的隨機性， 即相關性更弱． 根據(jù)相關矩陣中系數(shù)在[-1, 1]區(qū)間內的分布可以看出， 系數(shù)的個數(shù)在此范圍內達到最大， 向1和-1兩極快速遞減， 數(shù)據(jù)量大致以0為對稱點呈對稱分布， 進一步表明加速度時程集系的相關性較差． 相比大震如集集地震（Wangetal， 2001， 2002; 王國權， 周錫元， 2003）， 中強地震地震動記錄的相關矩陣呈現(xiàn)出不一樣的特點， 其在14 s時刻點將整個相關矩陣劃分為較明顯的4塊， 相關系數(shù)的分布具有更強的規(guī)律性， 且左下角與右上角的兩塊顏色更深， 說明接近1的系數(shù)更多， 就系數(shù)大小而言， 比其余兩塊的相關性好．

圖2 MS5.6地震23組加速度時程的自相關矩陣和互相關矩陣

由于MS5.7地震為主震，MS5.6為余震， 且二者震中位置相距很近， 輻射范圍部分重合， 有14個臺站同時記錄到了這兩次地震． 現(xiàn)在討論同一個臺站在兩次地震中記錄到的加速度時程所構成集系的相關性， 忽略分量方向的影響， 仍采用上述方法進行分析． 結果表明， 14個臺站均表現(xiàn)出較為相似的特征： ① 相關矩陣中的系數(shù)呈隨機分布， 是一種隨機相關； ② 從相關矩陣中系數(shù)在[-1， 1]區(qū)間的分布可以看出， 系數(shù)的個數(shù)在[0.9， 1]和[-1， -0.9]區(qū)間達到最大， 向0遞減， 遞減速度先快后慢， 系數(shù)的個數(shù)仍大致以0為對稱點呈對稱分布． 在相關矩陣中系數(shù)區(qū)間的分布數(shù)量方面， 相對兩次地震加速度時程單獨構成的集系， 基本呈相反狀況． 因此對于系數(shù)大小而言， 兩次地震同一個臺站記錄的加速度時程所構成的集系， 其相關性較兩次地震單獨構成的集系要好．

由于每個臺站相關矩陣中的系數(shù)是隨機分布的， 所以14個臺站的相關矩陣顯示圖并不相同， 但所示特征一致， 因此僅給出53ZTJ臺站的互相關矩陣， 詳見圖3．

圖3 53ZTJ臺站在兩次地震中的加速度時程互相關矩陣

由于影響地震動的主要因素為震源機制、 傳播途徑和場地條件， 為了探究地震動隨機特性的主要影響因素， 因此有必要對兩次地震動數(shù)據(jù)進行交叉對比研究． 這些臺站中有14個臺站同時記錄到了這兩次地震， 通過對這14個臺站分布的研究， 將其大致分為4組： 第一組為51SWH， 51MCL， 51MBD； 第二組為53YSS， 53DGJ， 53DGX， 53DGS； 第三組為53ZTJ， 53ZTX， 53LDX， 53LDC； 第四組為53LDL， 53QJQ， 53QJM. 每組臺站間距均在20—60 km之間， 且場地條件相似．

現(xiàn)分別計算MS5.6與MS5.7地震動各組內各分量間的相關性， 以及同一組內MS5.6和MS5.7地震動各分量間的相關性． 前者的各級地震數(shù)據(jù)是同震源的， 這組數(shù)據(jù)的結果主要受傳播途徑、 場地條件的影響； 而后者是兩次地震交叉的數(shù)據(jù)， 包含了3個因素． 兩者各組間的規(guī)律是一致的， 相關系數(shù)的分布規(guī)律以及系數(shù)區(qū)間的數(shù)量排布規(guī)律與同一臺站在兩次地震中加速度時程相關矩陣的規(guī)律是一致的， 其中第三組內接近±1的系數(shù)更多， 相關性最大， 其次是第四組、 第一組， 最后是第二組； 而同一組內兩者的規(guī)律卻不同， 其中第二組與第三組中后者的相關性介于前者MS5.6與MS5.7結果之間， 第一組與第四組中后者的相關性更接近于MS5.6的結果． 對比同組內兩者的結果， 可以看到震源的影響， 盡管兩次地震發(fā)震時間間隔短， 發(fā)震地點接近， 震源機制對地震動隨機特性的影響還是巨大的， 使相關性變得很弱． 在此僅給出第一組EW分量與EW分量的相關性結果， 如圖4所示．

圖4 第一組EW-EW分量間的相關性比較

3 樣本函數(shù)的相關性

樣本函數(shù)的相關性指任意兩個樣本函數(shù)間的相關性， 或一個樣本函數(shù)經過一段延遲后與自身的相關性， 用相關性數(shù)學模型可表示為具有相同時間差的兩列采樣值先對應相乘再進行相加， 這里主要體現(xiàn)的是一個時間差的概念， 又稱為時滯． 對于地震動加速度時程而言， 則是由一系列不同時刻對應不同采樣值組成的起伏較大的曲線， 也就是本節(jié)將要研究的樣本函數(shù)， 它們均是時間t的確定性函數(shù)， 因此可以分析具有一定時滯的兩個樣本函數(shù)間的相關性， 從而了解加速度時程采樣值的隨機特性． 只是上述數(shù)學模型是用絕對量描述的， 并不方便， 因此對上述相關性數(shù)學模型進行歸一化處理， 得到相關系數(shù)后， 兩個樣本函數(shù)間的相關程度就很容易衡量了． 若相關系數(shù)越接近1， 則兩個函數(shù)越相似； 若相關系數(shù)越接近0， 兩個函數(shù)的差異就越大． 樣本函數(shù)自相關函數(shù)和互相關函數(shù)分別定義為

（10）

（11）

式中，xm和xm+j分別表示加速度時程x（t）的第m個和第m+j個采樣值；N為加速度時程x（t）的采樣值個數(shù)， 當N為偶數(shù)時，K=N/2； 當N為奇數(shù)，K=（N+1）/2；j為兩個采樣值間隔的個數(shù)，jΔt則表示時滯． 當m+j超過采樣值總數(shù)N時，x下標m取m+j-N， 即從樣本函數(shù)的開頭重新開始取值． 由于MS5.7與MS5.6地震動分析結果基本一致， 圖5僅給出了MS5.6地震三分量的自相關函數(shù)和互相關函數(shù)． 可以看出， 自相關函數(shù)均從1開始快速衰減， 幅值主要集中在[-0.2， 0.2]區(qū)間內， 互相關函數(shù)盡管從較小值出發(fā)， 最大相關系數(shù)絕對值也不超過0.6， 但衰減緩慢， 幅值也主要集中在[-0.2， 0.2]區(qū)間； 相關函數(shù)均呈現(xiàn)出不規(guī)則震蕩衰減的特點； 兩個采樣值間相隔越遠， 即時滯越大， 對應的樣本函數(shù)相關性越小．

圖5 MS5.6地震三分量樣本函數(shù)的自相關函數(shù)和互相關函數(shù)． 綠色線條為其平均值

4 樣本函數(shù)和集系的相關函數(shù)分解

4.1 樣本函數(shù)的相關函數(shù)分解

在平穩(wěn)過程中經常采用各態(tài)歷經的平穩(wěn)隨機過程， 即在一次取樣中就包含了其它取樣的全部特征， 因此可以用時間的平均代替集系的平均來計算隨機過程的相關特性． 而實際地震動不是遍歷的， 由于特定條件下的地震動記錄的缺乏因而無法在其集系中求平均， 故在抗震工程的分析中通常假設地震動是各態(tài)歷經的， 則地震動加速度時程的相關函數(shù)也是遍歷的， 即在集系上的相關函數(shù)與單個樣本函數(shù)的相關函數(shù)是等價的． 對于地震動過程的非平穩(wěn)性， 可以通過對地震動隨機過程的幅值和頻率的平穩(wěn)化處理， 使其趨于平穩(wěn)過程， 從而可對非遍歷非平穩(wěn)過程的相關函數(shù)的隨機特性進行研究． 下面先對加速度時程進行幅值和頻率的平穩(wěn)化處理.

4.1.1 幅值平穩(wěn)化

假定隨機過程x（t）僅有幅值特性是隨時間變化的非平穩(wěn)過程， 頻率特性不隨時間變化， 則可用時間函數(shù)f（t）表示振幅隨時間的變化過程， 寫為

x（t）=f（t）y（t），

（12）

式中y（t）為各態(tài)歷經的平穩(wěn)隨機過程，f（t）為幅值平穩(wěn)化的確定性函數(shù)． 這樣我們可以通過非平穩(wěn)地震動加速度時程除以時域包線函數(shù)的方法來實現(xiàn)幅值的平穩(wěn)化， 其中時域包線函數(shù)通常采用標準形式（霍俊榮等， 1991; 歐進萍等， 1991）， 但在本研究中則根據(jù)具體的加速度時程， 采用多次峰點法（徐國棟等， 2005b）來求得相應的時域包線， 具體步驟為： ① 將加速度時程a（t）取絕對值， 即|a（t）|； ② 求得|a（t）|的極大值， 將極大值用直線或曲線相連， 當極大值連線上的值小于|a（t）|在此連線內的值， 則用對應的|a（t）|代替連線上的值， 這樣即可完全包住原來的加速度時程|a（t）|曲線， 得到的曲線則為一級包絡線l1（t）； ③ 將一級包絡線l1（t）作為新的加速度時程， 重復前兩步， 即可求得二級包絡線l2（t）; ④ 同理， 三級包絡線l3（t）， 四級包絡線l4（t）等也可求得． 圖6給出了MS5.6地震中53ZTX臺站的加速度時程EW分量的四級包絡線和幅值平穩(wěn)化后的加速度時程．

圖6 四級包絡線（a）和幅值平穩(wěn)化后的加速度時程（b）

圖7 MS5.6地震23組加速度時程的平均穿零率曲線

4.1.2 頻率平穩(wěn)化

單位時間內地震動記錄穿過零點的次數(shù)稱為穿零率（董娣等， 2006）， 其隨時間的變化反映了地震動加速度時程的頻率隨時間的變化特征， 其值越大， 相應的頻率越高， 因此本文采用穿零率函數(shù)進行頻率的平穩(wěn)化處理． 圖7給出了MS5.6地震23個臺站三分量加速度時程記錄的平均穿零率隨時間的變化． 可以看出： 穿零率隨時間的變化曲線是一條高頻振蕩曲線， 其中NS分量和UD分量的平均穿零率值很相近， 而EW分量相對于這兩個方向分量總體上略大； 但三分量平均穿零率的走向是一致的， 先在接近1 s的時間內快速增加到整個平均穿零率的峰值點， 然后隨著時間的增加而下降， 在21 s之后都穩(wěn)定在15次/s上下浮動． 這說明在21 s前后三分量的平均穿零率函數(shù)有很大的變化， 因此為減小頻率的非平穩(wěn)性， 本文分析時選取穿零率函數(shù)的平穩(wěn)段， 即21—40 s.

4.1.3 分析及結果

通過上述對幅值和頻率非平穩(wěn)性的處理， 地震動隨機過程更趨于平穩(wěn)過程． 鑒于所采用的方法相同， 以下僅對MS5.6地震的EW分量21—40 s段進行加速度時程的自相關函數(shù)隨機特性的分析．

王國權等對臺灣地區(qū)集集地震記錄相關性的研究（Wangetal， 2001， 2002; 王國權， 周錫元， 2003）表明， 加速度時程的相關函數(shù)具有很強的隨機特性， 包含豐富的隨機成分， 可分解為一個確定性函數(shù)與一隨機函數(shù)．

本文將自相關函數(shù)分解為一確定性函數(shù)和一隨機函數(shù)， 其中確定性函數(shù)采用Penzien功率譜模型對應的歸一化自相關函數(shù)， 隨機函數(shù)則是實際地震動的自相關函數(shù)與Penzien譜的自相關函數(shù)的差值． Penzien譜是最常用的隨機平穩(wěn)地震動輸入模型， 用來模擬強震動平穩(wěn)隨機過程. Penzien功率譜密度函數(shù)是一種“雙過濾”加速度功率譜模型（Clough， Penzien， 1993）， 具體表達為

（13）

式中S為Penzien功率譜密度函數(shù)，ωg為場地特征頻率，ξg為場地特征阻尼比，ωf為考慮低頻濾波效應的頻率參數(shù)，ξf為考慮低頻濾波效應的阻尼參數(shù)， 一般取ωf=（0.1-0.2）ωg，ξf=ξg．

Penzien功率譜模型對應的歸一化自相關函數(shù)， 可以先通過快速傅里葉變換求出真實地震動的幅值譜， 然后由幅值譜絕對值的平方求得相應的平滑功率譜， 最后通過對功率譜進行傅里葉反變換， 并歸一化處理來實現(xiàn)．

對自相關函數(shù)的分解過程如下：

1） 根據(jù)公式求出實際地震動加速度時程的自相關函數(shù)， 作為一次自相關函數(shù)；

2） 根據(jù)Penzien功率譜模型對應的歸一化自相關函數(shù)實現(xiàn)方法， 求得實際地震動的Penzien功率譜及其相應的自相關函數(shù)；

3） 求取實際地震動自相關函數(shù)與Penzien譜自相關函數(shù)的差值， 即為相應的隨機函數(shù)；

4） 將一次自相關函數(shù)的隨機函數(shù)作為一個新的加速度時程， 重新進行第一步計算， 求得的自相關函數(shù)作為二次自相關函數(shù)， 三次自相關函數(shù)等更高次數(shù)的相關函數(shù)， 依次類推．

本文采用上述方法對自相關函數(shù)進行了四次分解， 結果如圖8和圖9所示． 可以看出：

圖8 MS5.6地震23組加速度時程EW分量（21—40 s）的一次自相關函數(shù)（a）和四次自相關函數(shù)（b）. 圖中綠色粗線為自相關函數(shù)的平均值

圖9 51MCL臺站四次自相關函數(shù)及相應的確定性函數(shù)和隨機函數(shù)

隨著對自相關函數(shù)分解次數(shù)的增加， 自相關函數(shù)均趨于一個不規(guī)則光滑的周期性震蕩衰減函數(shù)， 具有很強的規(guī)律性； 隨著分解的深入， 自相關函數(shù)的主要幅值區(qū)間不斷增大， 衰減逐漸減緩， 擬合曲線與多階次自相關函數(shù)的擬合度也越高， 成分也越來越簡單， 各樣本函數(shù)基本上都可以用一個確定性函數(shù)來進行模擬．

通過以上對樣本函數(shù)的自相關函數(shù)的處理分析來看， 對相關函數(shù)的不斷分解其實質就是一種對樣本函數(shù)的幅值和頻率進行隨機成分不斷過濾， 使其成分變得簡單， 最后可以用一個簡單的確定性函數(shù)來表示的過程． 這也間接說明了實際地震動是一非平穩(wěn)隨機過程， 其隨機成分豐富， 隨機性強， 經過多次分解之后的相關函數(shù)仍然是一隨機過程． 這與王國權和周錫元（2003）對超隨機過程的說明是一致的．

4.2 集系的相關函數(shù)分解

通過以上對地震動記錄相關函數(shù)的分解可知， 確定性函數(shù)采用Penzien功率譜模型對應的歸一化自相關函數(shù)仍然存在不合理性， 僅對在第一周期內有規(guī)律震蕩衰減的相關函數(shù)， 才能保證具有較高的擬合精度， 否則擬合效果較差． 因此， 為了使大部分的相關函數(shù)得到較好的擬合結果， 分以下3種擬合情況（均適用于第一周期無規(guī)律震蕩衰減的相關函數(shù)）來分別處理：

1） 自相關函數(shù)震蕩部分的均值約為零， 即在零橫軸上下震蕩， 采用

Y=exp（-αt）cos[（ω+βt）t]；

（14）

2） 自相關函數(shù)震蕩部分的均值不為零， 即在非零橫軸上下震蕩， 采用

Y=γexp（-αt）cos[（ω+βt）t]+λ[1-exp（αt）]；

（15）

3） 自相關函數(shù)震蕩部分均值呈一斜直線， 即在此斜直線上下震蕩， 采用

Y=exp（-αt）cos[（ω+βt）t]+κ（t+μ）+υ．

（16）

加速度時程集系上的相關矩陣對角線上的相關系數(shù)， 表示的是同一時間兩個隨機變量間相關性的集合． 由自相關函數(shù)的定義可知， 同一時刻自身與自身必然完全相關， 因此自相關矩陣對角線上全部為1， 而對于互相關矩陣， 對角線上的系數(shù)則是兩個不同隨機變量間的相關性， 因此相關性是隨機的． 由圖10中MS5.6和MS5.7地震地震動的互相關函數(shù)可以看到， 互相關矩陣對角線上的系數(shù)是一條隨時間變化不規(guī)則的震蕩曲線， 無法直接用簡單函數(shù)進行模擬． 由于互相關函數(shù)隨時間變化的幅值較為穩(wěn)定， 可以將其看作平穩(wěn)過程求其自相關函數(shù)， 從而研究其隨機特性． 需要說明的是， 計算自相關函數(shù)還要假定在各態(tài)歷經的情況下進行， 而且僅在此圖上無法看出不同方向分量間互相關函數(shù)的區(qū)別， 因此有必要對其進行分解． 對互相關函數(shù)直接求得的自相關函數(shù)， 稱為一次自相關函數(shù)， 之后的與樣本函數(shù)的相關函數(shù)分解擬合過程相同， 求得的依次稱為二次自相關函數(shù)， 三次自相關函數(shù)等．

圖10 MS5.6 （a）和MS5.7 （b）地震地震動的自相關函數(shù)和互相關函數(shù)

圖11給出了MS5.6和MS5.7地震互相關函數(shù)的一次自相關函數(shù)和多次自相關函數(shù)． 可以看出， 盡管互相關函數(shù)的一次自相關函數(shù)都還是不規(guī)則的振蕩曲線， 不同方向分量間還是有差別的， 故可以根據(jù)不同擬合情況選擇相應的公式進行擬合， 然后再進行其自相關函數(shù)的求解． 由于不同互相關函數(shù)各有其特點， 要想化簡到簡單的形式所需要的次數(shù)也不盡相同， 而且限于數(shù)據(jù)量， 只能求到成分相對簡單的自相關函數(shù)． 由高次自相關函數(shù)可以明顯看到三分量間的差別， 即自相關系數(shù)隨時滯變化的周期不同， 而這些自相關函數(shù)基本可以由上述擬合情況的公式進行較好的模擬． 因此， 地震動相關函數(shù)為一復雜的隨機過程． 對比大震（如集集地震）的隨機過程（Wangetal， 2001， 2002; 王國權， 周錫元， 2003）， 本文結果遠遠小于集集地震分解的高次自相關函數(shù)隨時滯變化的周期大致為4 s的結果， 這說明本文分解后的自相關函數(shù)隨時滯變化的周期更小， 頻率更快．

圖11 MS5.6（上）和MS5.7（下）地震動互相關函數(shù)的一次自相關函數(shù)（a）和多次自相關函數(shù)（b）黑色曲線為EW分量與NS分量互相關函數(shù)的自相關函數(shù)， 紅色曲線為NS分量與UD分量互相關函數(shù)的自相關函數(shù)， 藍色曲線為UD分量與EW分量互相關函數(shù)的自相關函數(shù)

5 討論與結論

云貴交界彝良-威寧地區(qū)連續(xù)發(fā)生兩次中強地震， 其時間間隔短， 震中位置接近， 震級相差很小， 為中強地震地震動隨機特性的分析研究提供了珍貴的強震動記錄． 由于MS5.7與MS5.6兩次地震的地震動分析結果基本一致， 因此本文大部分只給出了MS5.6地震地震動的數(shù)據(jù)結論． 研究結果顯示：

1） 兩次地震加速度時程集系上的相關性較差， 互相關矩陣較自相關矩陣表現(xiàn)出更強的隨機性， 同一個臺站在兩次地震中記錄到的加速度時程所構成的集系， 其相關性較兩次地震單獨構成的集系好；

2） 樣本函數(shù)的相關函數(shù)均呈不規(guī)則震蕩衰減的特點， 兩個采樣值間時滯越大， 對應的樣本函數(shù)相關性越??；

3） 通過建立不同的數(shù)學模型， 驗證了超隨機過程的相關函數(shù)中包含有一定的隨機成分， 可將其分解為一確定性函數(shù)與一隨機函數(shù)的疊加， 確定性函數(shù)采用Penzien譜對應的歸一化自相關函數(shù)具有一定的局限性， 而采用不同擬合情況下的公式進行模擬適用范圍更廣， 效果較好；

4） 相比大震（如集集地震）， 中強地震地震動記錄的相關矩陣呈現(xiàn)出不同的特點， 14 s時刻點將其劃分為較明顯的4塊， 相關系數(shù)的分布具有更強的規(guī)律性； 而其相關函數(shù)則表現(xiàn)為一復雜的隨機過程， 分解后的自相關函數(shù)隨時滯變化的周期較大震（如集集地震）更小， 頻率更快．

由于這兩次地震的地震動幅值相比大震較小， 土層非線性的影響較弱， 因此可以更好地反映出中強地震地震動的隨機特性， 為認識地震動的隨機特性提供了新的參考依據(jù)．

應該指出的是， 由于本文地震資料數(shù)據(jù)有限， 無法建立較詳細的單一場地數(shù)據(jù)庫和單一路徑數(shù)據(jù)庫， 因此無法進行更全面的強地震動隨機特性的交叉對比分析， 以及進一步探討震源過程、 傳播途徑和場地條件等因素對隨機特性的影響程度， 需要在以后工作中加以研究．

董娣， 周錫元， 徐國棟， 楊潤林. 2006. 強震記錄頻率非平穩(wěn)特性的若干研究[J]. 地震工程與工程振動， 26（1）: 22--29.

Dong D， Zhou X Y， Xu G D， Yang R L. 2006. Some studies on frequency non-stationarity of strong earthquake records[J].EarthquakeEngineeringandEngineeringVibration， 26（1）: 22--29 （in Chinese）.

胡聿賢. 1988. 地震工程學[M]. 北京: 地震出版社: 56--58.

Hu Y X. 1988.EarthquakeEngineering[M]. Beijing: Seismological Press: 56--58 （in Chinese）.

霍俊榮， 胡聿賢， 馮啟民. 1991. 地面運動時程強度包絡函數(shù)的研究[J]. 地震工程與工程振動， 11（1）: 1--12.

Huo J R， Hu Y X， Feng Q M. 1991. Study on envelope function of acceleration time history[J].EarthquakeEngineeringandEngineeringVibration， 11（1）: 1--12 （in Chinese）.

李桂青， 曹宏， 李秋勝， 霍達. 1993. 結構動力可靠性理論及其應用[M]. 北京: 地震出版社: 301--334.

Li G Q， Cao H， Li Q S， Huo D. 1993.StructuralDynamicReliabilityTheoryandItsApplication[M]. Beijing: Seismological Press: 301--334 （in Chinese）.

歐進萍， 牛荻濤， 杜修力. 1991. 設計用隨機地震動的模型及其參數(shù)確定[J]. 地震工程與工程振動， 11（3）: 45--54.

Ou J P， Niu D T， Du X L. 1991. Random earthquake ground motion model and its parameter determination used in aseismic design[J].EarthquakeEngineeringandEngineeringVibration， 11（3）: 45--54 （in Chinese）.

王國權， 周錫元. 2003. 臺灣集集地震近斷層強震地面運動加速度時程的隨機特性[J]. 防災減災工程學報， 23（4）: 10--19.

Wang G Q， Zhou X Y. 2003. The randomness of near fault acceleration time history of the 1999 Chi-Chi， Taiwan， China， earthquake[J].JournalofDisasterPreventionandMitigationEngineering， 23（4）: 10--19 （in Chinese）.

徐國棟， 周錫元， 董娣， 楊潤林. 2005a. 強震地面運動的超隨機特性研究[J]. 地震工程與工程振動， 25（2）: 1--9.

Xu G D， Zhou X Y， Dong D， Yang R L. 2005a. A case study on the super-randomness of strong ground motion[J].EarthquakeEngineeringandEngineeringVibration， 25（2）: 1--9 （in Chinese）.

徐國棟， 周錫元， 閆維明， 董娣. 2005b. 超隨機特性對地震動譜特性和時間歷程的影響[J]. 地震工程與工程振動， 25（5）: 6--16.

Xu G D， Zhou X Y， Yan W M， Dong D. 2005b. The effect of the super-randomness on spectral property and time history of strong ground motion[J].EarthquakeEngineeringandEngineeringVibration， 25（5）: 6--16 （in Chinese）.

徐國棟， 周錫元， 閆維明. 2007. 強震地面運動超隨機特性的幾點注記[J]. 地震工程與工程振動， 27（1）: 7--15.

Xu G D， Zhou X Y， Yan W M. 2007. Some notes on the super-randomness of strong ground motion[J].EarthquakeEngineeringandEngineeringVibration， 27（1）: 7--15 （in Chinese）.

Baker J W， Cornell C A. 2006. Correlation of response spectral values for multicomponent ground motions[J].BullSeismolSocAm， 96（1）: 215--227.

Baker J W， Jayaram N. 2008. Correlation of spectral acceleration values from NGA ground motion models[J].EarthqSpectra， 24（1）: 299--317.

Clough R W， Penzien J. 1993.DynamicsofStructures[M]. New York: McGraw-Hill: 16--27.

Goda K， Hong H P. 2008. Spatial correlation of peak ground motions and response spectra[J].BullSeismolSocAm， 98（1）: 354--365.

Housner G W. 1947. Characteristics of strong-motion earthquakes[J].BullSeismolSocAm， 37（1）: 19--31.

Iyengar R N， Iyengar K T S R. 1969. A nonstationary random process model for earthquake accelerograms[J].BullSeismolSocAm， 59（3）: 1163--1188.

Shinozuka M， Deodatis G. 1988. Stochastic process models for earthquake ground motion[J].ProbabEngMech， 3（3）: 114--123.

Tavakoli B， Pezeshk S. 2005. Empirical-stochastic ground-motion prediction for eastern North America[J].BullSeismolSocAm， 95（6）: 2283--2296.

Wang G Q， Zhou X Y， Ma Z J， Zhang P Z. 2001. A preliminary study on the randomness of response spectra of the 1999 Chi-Chi， Taiwan， earthquake[J].BullSeismolSocAm， 91（5）: 1358--1369.

Wang G Q， Zhou X Y， Zhang P Z， Igel H. 2002. Characteristics of amplitude and duration for near fault strong ground motion from the 1999 Chi-Chi， Taiwan earthquake[J].SoilDynEarthqEng， 22（1）: 73--96.

Random characteristics of ground motions during the 2012 Yiliang-WeiningMS5.5 andMS5.6 earthquakes in Yunnan-Guizhou region

1）DepartmentofCivilEngineering，HarbinInstituteofTechnologyatWeiHai，ShandongWeihai264209，China2）CollaborativeInnovationCenterofProjectConstructionandSafetyinShandongBlueEconomicZone，ShandongQingdao266033，China

On 7 September 2012， two earthquakes took place consecutively at the boundary between Yiliang county in Yunnan Province and Weining county in Guizhou Province， southwestern China. They are characterized by a short time-interval， close epicentral position and small difference in the earthquake magnitude， which provides a number of valuable strong ground motion recordings for analyses and researches on random characteristics of ground motions. In the present paper， the correlative characteristics of seismic stochastic process through correlation functions of acceleration histories are studied from the aspect of the set systems and sample functions. The results show that， correlation matrices of set systems for ground motions during the two earthquakes are random. Comparison with autocorrelation matrices indicates that cross-correlation matrices show greater randomness. Set systems that are composed of acceleration histories for the two earthquakes with the same station are correlated better than those for individual earthquake. Correlation functions of sample functions both show irregular fluctuant attenuation characteristics; correlation of sample functions becomes poorer with time difference of the sampling values increasing. In comparison with great earthquake （such as the Chi-Chi earthquake）， correlation matrices and autocorrelation functions after decomposition of the moderate ground motion recordings both exhibit different characteristics. Because both two earthquakes have smaller ground motion amplitudes and weaker soil nonlinear effect， so the results provide new references for understanding the random characteristics of ground motions.

Yiliang-Weining earthquake; correlation; set system; sample function; random characteristic

10.11939/jass.2015.03.007.

國家自然科學基金（51178152, 51238012）和國家自然科學基金重大研究計劃（91215301）資助.

2014-04-17收到初稿， 2015-02-05決定采用修改稿.

e-mail: cyhit1990@163.com

10.11939/jass.2015.03.007

P315.9

A

徐龍軍, 陳勇, 謝禮立. 2015. 2012年云貴彝良-威寧MS5.5和MS5.6地震的地震動隨機特性. 地震學報, 37（3）: 437--451.

Xu L J, Chen Y, Xie L L. 2015. Random characteristics of ground motions during the 2012 Yiliang-WeiningMS5.5 andMS5.6 earthquakes in Yunnan-Guizhou region.ActaSeismologicaSinica, 37（3）: 437--451. doi:10.11939/jass.2015.03.007.