郭 星 潘 華

1） 中國北京100082環(huán)境保護部核與輻射安全中心2） 中國北京100081中國地震局地球物理研究所

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強震復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)的一種計算方法

1） 中國北京100082環(huán)境保護部核與輻射安全中心2） 中國北京100081中國地震局地球物理研究所

確定強震復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)在強震發(fā)生概率的計算中具有重要意義． 考慮到由小樣本量地震序列計算得到變異系數(shù)的估計值與實際值可能存在一定的偏差， 本文提出了一種計算強震復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)的新方法． 該方法首先利用最大似然估計法計算出大量小樣本地震序列的變異系數(shù)估計值； 然后先對這些變異系數(shù)的估計值進行標準化處理， 再對這些標準化的變異系數(shù)估計值進行統(tǒng)計分析； 最后在廣泛搜集的39個地震序列的基礎(chǔ)上， 利用該方法計算得到一個通用的變異系數(shù)值（α=0.34）， 并討論了該值的物理意義及其應(yīng)用．

強震 復(fù)發(fā)間隔 變異系數(shù) 標準化

引言

布朗過程時間（Brownian passage time, 簡寫為BPT）模型是Ellsworth等（1999）和Matthews等（2002）在Reid（1910）彈性回跳理論基礎(chǔ)上提出的具有內(nèi)在物理基礎(chǔ)的強震復(fù)發(fā)模型． 該模型認為由于構(gòu)造應(yīng)力（或地震矩）加載過程中會受到一些隨機事件的干擾， 表現(xiàn)為一種穩(wěn)定加載附加布朗擾動的隨機加載過程. 地震事件之間的時間間隔服從BPT分布， 其概率密度函數(shù)為

（1）

式中，μ為斷裂段平均復(fù)發(fā)間隔，α為平均復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)． 一個絕對規(guī)則的地震序列的復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)α=0． Working Group on California Earthquake Probabilities（2003， 2007）就曾運用BPT模型來預(yù)測加州舊金山灣地區(qū)的強震危險性．

對于某特定斷層源， 根據(jù)已知強震發(fā)生的概率密度分布函數(shù)f（T）和前一次地震的離逝時間Te， 可以計算分段斷層源上未來一段時間ΔT內(nèi)強震發(fā)生的條件概率（Wesnousky， 1986）：

（2）

對于復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)的估計， 如果某給定斷層源上的歷史地震（或古地震）數(shù)據(jù)很多， 則可以利用統(tǒng)計方法得到該變異系數(shù). 但實際上， 由于強震復(fù)發(fā)周期較長， 而歷史地震記載時間較短， 單個斷層源上的歷史強震數(shù)據(jù)一般都比較稀少， 故無法得到較精確的變異系數(shù)值． 因此， 只能假定所有斷層源上的強震復(fù)發(fā)間隔具有一個相同的變異系數(shù)， 然后對大量斷層源上的歷史地震序列進行統(tǒng)計， 進而得到一個通用的變異系數(shù)．

Ellsworth等（1999）首先利用37個重復(fù)發(fā)生的地震序列來估計每個序列的復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)α′（為了方便與實際復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)α區(qū)分， 本文定義由有限幾個地震事件序列所得到的復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)的估計值為α′）． 這些地震序列的震級范圍為M0.7—9.2， 每個序列中地震事件的數(shù)目為3—13個（平均每個序列有6個地震事件）， 這些地震序列所處的地震構(gòu)造條件也大不相同．

Ellsworth等（1999）注意到α′的分布偏向于較低值的一邊， 認為這可能是由于地震序列中地震事件的數(shù)目較少造成的． 為了解決這個問題， 他們使用每個地震序列中實際地震事件的數(shù)目來模擬生成對應(yīng)于不同α′值的地震序列集（37個實測地震序列）， 然后用與實際觀測地震序列中估計α′值同樣的計算過程來估計合成地震序列的α′值． 結(jié)果表明, 由一個固定α值所合成的地震序列集的α′值分布形狀接近于（或類似于）實際觀測地震序列的α′值分布形狀； 同時還發(fā)現(xiàn)， 當α值取0.5時所合成的地震序列的α′值分布圖像與實際情況的一致性很好． Working Group on California Earthquake Probabilities（2003）的研究結(jié)果也表明， 盡管在實際計算時采用了對3個不同α計算結(jié)果進行加權(quán)平均的辦法， 即α（權(quán)值）為0.3（0.2）， 0.5（0.5）， 0.7（0.3）， 但實際上α取一個通用值（0.5）也能較合理地反映出復(fù)發(fā)間隔的隨機變化．

然而在Ellsworth等（1999）的研究中， 合成地震序列過程中只是按照37個實測地震序列中的事件數(shù)目n隨機生成37個地震序列， 在生成隨機地震序列的過程中并未考慮不同實測地震序列的α′值與其地震事件數(shù)目之間的對應(yīng)關(guān)系． 而在α值的確定過程中， 又只是利用合成地震序列的分布圖像與實際情況的對比來選取α值， 因此這種方法缺乏可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)．

本文在廣泛收集的39個原地復(fù)發(fā)的特征地震或準周期地震的地震序列基礎(chǔ)上， 利用最大似然估計方法確定每個序列的α′值． 考慮到采用不同樣本量的地震序列統(tǒng)計得到的α′值與真實的α值存在一定的偏差， 本文利用蒙特卡羅方法對這種偏差進行定量化研究． 最后根據(jù)這種偏差對所收集的39個地震序列的α′值進行標準化處理， 標準化后的α′數(shù)據(jù)的平均值即為本文所要求的復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)．

1 強震復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)的確定方法

在利用最大似然估計方法估計給定地震序列的復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)的過程中， 由于地震事件的數(shù)目有限， 每個地震序列的統(tǒng)計平均復(fù)發(fā)間隔與實際平均復(fù)發(fā)間隔存在一定的偏差， 因此每個地震序列α′值均為實際α值的最大似然估計值， 該估計值與實際α值也可能存在偏差． 在強震復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)分布的統(tǒng)計過程中， 我們需要考慮這種不確定性， 使得到的分布圖像更合理．

1.1 有限數(shù)量地震事件的α′值與實際α值的關(guān)系

由于地震序列中地震事件數(shù)目有限， 每個利用最大似然估計方法得到的α′值也只是一個可能的α值； 此外， 由于抽取次數(shù)的不同， 所得α′值的分布也可能不同． 為此， 本文取相同的α值（α=0.5）， 利用蒙特卡羅方法給出了分別對應(yīng)于抽取5次和7次地震事件的α′值分布（圖1）， 隨機抽取的次數(shù)為10萬次. 結(jié)果表明， 不同地震事件數(shù)目對應(yīng)的α′值分布是不同的， 也就是說由不同地震事件數(shù)目的序列得到的α′值不是獨立同分布的， 而非同分布的數(shù)據(jù)則不可以放在一起進行統(tǒng)計分析． 因此， 在對實際數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析過程中， 需要對數(shù)據(jù)進行標準化處理．

圖1 抽取5次（a）和7次（b）地震事件的變異系數(shù)α′值分布

1.2 不同地震事件數(shù)目序列得到的α′值的標準化過程

對不同地震事件數(shù)目的序列得到的α′值進行標準化處理， 首先需要了解不同地震事件數(shù)目所對應(yīng)的分布情況． 本文采用正態(tài)概率紙對抽取5次地震事件的α′值分布（隨機模擬10萬次）分別進行正態(tài)分布檢驗和對數(shù)正態(tài)分布檢驗（圖2）. 檢驗結(jié)果表明， 抽取5次地震事件的α′值分布既不符合正態(tài)分布， 也不符合對數(shù)正態(tài)分布． 對于抽取其它次數(shù)地震事件的情況， 經(jīng)反復(fù)試驗也得到了類似的分布情況．

圖2 抽取5次地震事件α′值的正態(tài)概率檢驗（a）和對數(shù)正態(tài)概率檢驗（b）

本文取初始α值為0.4， 0.5和0.6， 利用蒙特卡羅方法分別計算了對應(yīng)于抽取5—11次地震事件的α′值分布的均值及其與初始α值的偏差比ρ（表1）， 此處隨機抽樣的次數(shù)也是10萬次．

表1 不同地震事件數(shù)目和α值所對應(yīng)的值Table 1 values corresponding to different event number of synthetic earthquake series and α values

（3）

1.3 采用迭代法提高計算精度

圖3 迭代過程示意圖

1） 選擇一個恰當?shù)摩林底鳛榈跏贾郸?；

2） 根據(jù)初始值α0， 利用蒙特卡羅方法（隨機模擬10萬次）估計不同地震樣本量序列所對應(yīng)的偏差比ρ；

2 復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)的計算過程

2.1 數(shù)據(jù)選擇

在地震序列數(shù)據(jù)的選擇過程中， 我們需要面對的一個重要問題就是地震序列中地震事件的數(shù)目都比較少． 對于一個包含2個地震事件的序列， 我們可以估計其均值μ， 但不能利用最大似然估計法計算其變異系數(shù)α′； 對于包含3個及3個以上地震事件的序列， 我們可以同時估計其均值和變異系數(shù)． 那么最少包含多少個地震事件序列可以用來統(tǒng)計和推斷實際的復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)呢？ Ellsworth等（1999）認為， 由包含3—10個地震事件的序列估計得到的α值的不確定性很大， 而對這種不確定進行bootstrap分析則顯示， 包含2—3個地震復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)的序列對計算得到的α值影響很?。?因此， 本文最終采用與該研究相同的最小地震事件樣本量（5次）． 考慮到中小地震受周圍地震活動的影響較大， 本文去掉了Ellsworth等（1999）地震序列數(shù)據(jù)中的小地震序列， 增加了25個我國板內(nèi)強震序列， 共計39個地震序列（表2）．

表2 39個地震序列及其α′的估計值Table 2 Estimated α′ values for 39 earthquake sequences

圖4 本文所統(tǒng)計的39個地震序列變異系數(shù)α′估計值的分布柱狀圖

2.2 計算結(jié)果

根據(jù)上述計算方法， 本文得到一個通用的變異系數(shù)值α=0.34, 該值要小于Working Group on California Earthquake Probabilities （2003）所采用的0.5． 也就是說， 如果不考慮對平均復(fù)發(fā)間隔認知的不確定性， 強震復(fù)發(fā)間隔的自然系數(shù)其實要小于0.5．

這里的變異系數(shù)α反映的是強震復(fù)發(fā)間隔的自然變異性， 即統(tǒng)計的過程中考慮了平均復(fù)發(fā)間隔的認知不確定性對結(jié)果的影響， 對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行了標準化處理． 因此， 利用本文方法統(tǒng)計得到的變異系數(shù)值（0.34）并未包含平均復(fù)發(fā)間隔的不確定性. 在實際利用BPT模型計算強震發(fā)生概率時， 還需要考慮平均復(fù)發(fā)間隔μ的不確定性， 這種不確定性的大小與斷層源上強震復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)的多少有關(guān)．

表3 迭代過程Table 3 The iterative process

3 討論與結(jié)論

最后在廣泛搜集的39個地震序列的基礎(chǔ)上， 利用該方法計算得到了一個通用的變異系數(shù)值（α=0.34）． 由本文方法計算得到的復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)α反映的只是強震復(fù)發(fā)間隔T的自然隨機不確定性， 并沒有反映對于平均復(fù)發(fā)間隔μ的認知不確定性， 所以在實際的強震發(fā)生規(guī)律或強震發(fā)生概率的計算過程中， 還需要同時考慮對于μ的認知不確定性． 對于平均復(fù)發(fā)間隔μ的認知不確定性的計算， 以及如何在強震發(fā)生概率計算的過程中考慮這種不確定性， 作者將在其它文章中進行詳細論述．

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A method for computing the aperiodicity parameter of the strong earthquake recurrence interval

1）NuclearandRadiationSafetyCenter，MinistryofEnvironmentProtection，Beijing100082，China2）InstituteofGeophysics,ChinaEarthquakeAdministration,Beijing100081,China

Determining the aperiodicity parameterα（equivalent to the familiar coefficient of variation） is important for calculating the possibility of large earthquake occurrence． Considering the deviation between the estimate values ofαfrom small sample of earthquake sequences and the actual values ofα， this paper presents a new method for computingα． Firstly, a large number of estimated values ofαfor small samples from earthquake sequences are calculated by maximum likelihood estimate method， and then the estimated values are standardized and statistically analyzed． Finally, based on the 39 recurrent earthquake sequences, a general value ofαis given （α=0.34）, and the physical meaning and application of the value are also discussed.

strong earthquake； recurrence interval； aperiodicity parameter； normalization

10.11939/jass.2015.03.004.

國家科技支撐項目（2012BAK15B01-08）資助.

2014-10-09收到初稿， 2015-04-02決定采用修改稿.

e-mail: panhua.mail@163.com

10.11939/jass.2015.03.004

P315.5

A

郭星, 潘華. 2015. 強震復(fù)發(fā)間隔變異系數(shù)的一種計算方法. 地震學(xué)報, 37（3）: 411--419.

Guo X, Pan H. 2015. A method for computing the aperiodicity parameter of the strong earthquake recurrence interval.ActaSeismologicaSinica, 37（3）: 411--419. doi:10.11939/jass.2015.03.004.