劉小寧

(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院　湖北　武漢： 430205)

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涉及Lucas數(shù)的幾個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)求和

劉小寧

(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院湖北武漢： 430205)

摘要提出并證明了關(guān)于Lucas數(shù)的幾個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)求和公式。

關(guān)鍵詞Lucas數(shù)；無(wú)窮級(jí)數(shù)；求和公式

由法國(guó)數(shù)學(xué)家提出的Lucas數(shù)[1]，不但在組合數(shù)學(xué)、數(shù)論、信息論應(yīng)用廣泛[2-8]，而且拓展到工程技術(shù)與植物學(xué)等領(lǐng)域[9-12]。文中基于文獻(xiàn)[12]，嘗試提出并證明關(guān)于Lucas數(shù)Lj的幾個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)求和公式，供同行參考。

Lucas數(shù)Lj的遞推公式為[1]

(1)

式(1)中，L1=1，L2=3。

Lj的直接計(jì)算公式為[4]

(2)

式(2)中

(3)

引理設(shè)i、j為非負(fù)整數(shù)，β為正整數(shù)，則

(4)

(5)

(6)

(7)

證明由二項(xiàng)式定理[12]，并注意到ab=-1，可得：

(8)

將式(8)變形得到式(4)，證畢。

同理可證明式(5)~式(7)。

由式(4)~式(8)，用等比數(shù)列求和公式[12]，容易證明：

定理1 對(duì)于使mλ有意義的實(shí)數(shù)m、λ，當(dāng)β、n為正整數(shù)時(shí)，有：

(9)

(10)

(11)

(12)

由二項(xiàng)式定理，并注意到ab=-1，可證明：

定理2對(duì)于使mλ有意義的實(shí)數(shù)m、λ，有：

(13)

(14)

(15)

注意到a>1與-1a時(shí)，由式(9)~式(15)可得到一些無(wú)窮級(jí)數(shù)的和，即

定理3對(duì)于正整數(shù)β與使mλ有意義的實(shí)數(shù)m、λ，當(dāng)mλ>a時(shí)，有：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

參考文獻(xiàn)

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(責(zé)任編輯：李文英)

Summation Formula of Infinite Series with Regard to Lucas Number

LIU Xiaoning

(Wuhan Vocational College of Software and Engineering, Wuhan 430205, Hubei)

Abstract:The paper points out and proves the summation formula of infinite series with regard to Lucas number.

Key words:Lucas number; infinite series; summation formula

作者簡(jiǎn)介：劉小寧(1963~)，男，二級(jí)教授，正高職高級(jí)工程師，碩士生導(dǎo)師.E-mail： lxngjxy@163.com

收稿日期：2015-11-08

中圖分類(lèi)號(hào)：O156.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-3524(2015)04-0082-03