趙美中，朱家明，李 哲，汪 曉

（安徽財經(jīng)大學， 安徽 蚌埠 233030）

“嫦娥三號”于2013年12月14日成功實現(xiàn)月面著陸，根據(jù)我國的月球探測計劃，共分“繞”、“落”、“回”三個階段。在“落”這個階段，共需750秒，分為6個過程：主減速、快速調(diào)整、粗避障、精避障、緩速下降和自由落體。本文旨在研究如何準確定位“嫦娥三號”的下落位置以及“嫦娥三號”下降過程中燃料消耗最小。本文利用圖像的二值化法對落月位置進行了準確定位并創(chuàng)造性地定義了燃料能耗靈敏度表達式，以此建立了耗能最低的靈敏度分析模型。(1)

一、“嫦娥三號”近月點位置確定

（一）主下降階段動力學仿真模型[1]

1.坐標系的建立

定義參考慣性坐標系OXrYrZr：原點O位于月球中心，Zr軸由月心指向初始軟著陸點，Xr軸位于環(huán)月軌道平面內(nèi)且指向前進方向，Yr軸與Xr，Zr軸構(gòu)成坐標系。

定義下降軌道參考坐標系Ox0y0z0：原點O位于著陸探測器質(zhì)心，z0軸由月心指向著陸探測器質(zhì)心為正，x0軸位于當?shù)厮矫鎯?nèi)且指向著陸器前進方向，y0軸與x0和z0軸構(gòu)成直角坐標系。兩個坐標系的示意以及著陸器在坐標系中的位置，如圖1所示。

圖1 軟著陸坐標定義圖

2.模型的構(gòu)建

（1）定義推力方位角φ繞正軸z0旋轉(zhuǎn)為正，推力仰角θ繞負y0軸旋轉(zhuǎn)為正。分別用U，V，W表示著陸器的下降速度，在坐標系ox0y0z0三軸上的分量，即

（2）引入質(zhì)量方程，可利用球坐標系與直角坐標系的關系，得到下降軌道參考坐標系下的主下階段下落軌跡模型：

（二）近月點初始下降位置確定模型

1.著陸器位置的表示

由建立的主下降階段動力學仿真模型，可將著陸器位置表示如下：

其中r為著陸探測器矢徑；αL為著陸探測器在赤道坐標系的經(jīng)向坐標；著陸探測器在赤道坐標系的緯向坐標為90-βL。

2.模型的構(gòu)建

（1）建立 αL，βL的表達式：

3.結(jié)果的分析

綜合以上兩個模型，代入月球參數(shù)，可以得到著陸器在著陸準備軌道近月點的位置為：20.0464°W，31.9989°N，14.8 km。本文雖然只給出了近月點下落位置的確定方法，但我們可以利用主下降階段動力學仿真模型和初始下降位置確定模型，求得著陸器在遠月點的位置為：20.0464°E，31.9989°S，99.6 km。[2]

聯(lián)立（2）、（3）式，求得：

赤道坐標系的經(jīng)向、緯向坐標變化量為：

（2）代入經(jīng)緯度表達式：

二、基于Matlab的落月點定位

經(jīng)過主減速和快速調(diào)整兩個階段后，“嫦娥三號”將對落月位置進行精確定位。此時我們利用圖像二值化方法對粗避障和精避障兩個階段進行分析。

（一）粗避障和精避障的三維成像

利用Matlab軟件對給出的著陸探測器距離月球2 400 m和100 m時的數(shù)字高程圖進行編程，所得三維成像圖，如圖2、圖3所示。

圖2 距月球表面2 400 m的高程三維成像圖

圖3 距月球表面100 m的高程三維成像圖

從圖2中可以看到，圖像中心所處地周圍都被月球凸脊和凹坑所圍繞，并非是最佳的著陸地點，因此如何對著陸探測器的下降位置進行調(diào)整控制就非常重要。

從圖3中可以看到，距離著陸探測器下方有個比較大的凹坑，考慮到著陸探測器自身體積以及降落軌道的誤差，因此著陸探測器在降落時應盡量避開此凹坑。

（二）粗避障階段的二值化處理及準確定位

運用Matlab7軟件對給出的距月球2 400 m時的數(shù)字高程圖進行編程并對下落區(qū)域進行初步篩選。所得圖像如圖4、圖5所示。

圖4 處理后的2 400m高程圖

圖5 2 400 m處理想落點示意圖

針對圖4中的每一個像素點定位一個坐標，建立一個X和Y軸均為2 400個單位的坐標系，每個像素的距離為1 m。其中白色部分的RGB值為1，1，1，表示該落月面不平滑。黑色部分的RGB值為0，0，0，表示該落月面平坦，為較優(yōu)的降落位置。另外考慮到著陸探測器體積大小以及在下降過程中可能產(chǎn)生的軌道誤差，認為降落地點應位于離著陸探測器最近且平坦面積相對較大的一片區(qū)域，如圖5中藍色邊框區(qū)域所示。

結(jié)果分析：從圖5中可以得到，著陸探測器此時所處的位置為（1 150，1 150），理想著落點矩形區(qū)域的中點坐標為（600，1 650），通過幾何關系可得探測器距理想著陸點的直線距離為m，方向朝西南方向與X軸的夾角為42.274°。[3]

（三）精避障階段的二值化處理及準確定位

同粗避障階段的處理方式，利用Matlab7軟件對給出的著陸探測器距離月球處時的數(shù)字高程圖進行編程并對下落區(qū)域進行初步篩選。所得圖像如圖6、圖7所示。

圖6 處理后的100 m高程圖

圖7 理想落點區(qū)域示意圖

同粗避障階段的處理方式，針對圖6中的每一個像素點定位一個坐標，建立一個X和Y軸均為1 000單位的坐標系，每個像素的距離為0.1 m。此時若假設坐標系中點（500，500）的位置即著陸探測器拍攝照片時所在的位置，如圖6所示。由圖6可看出，著陸探測器此時的位置位于凸脊的上方，無法進行降落，因此，綜合考慮著陸探測器所在高度以及可移動的操作空間，認為距離此時著陸探測器位置最近的平坦空間即為著陸探測器的最佳降落區(qū)域，如圖7所示。

結(jié)果分析：從圖7中可看出，著陸探測器所處位置的坐標為（500，500），理想著陸點矩形區(qū)域的中點坐標為（650，300）。利用幾何關系可求得著陸探測器所處位置與理想著陸區(qū)中心位置的直線距離為25 m，方向朝東北方向與X軸成53.13°。[4]

三、基于耗能最低的靈敏度分析模型

（一）問題的準備

積分法化分時間：將探測器軟著陸時間分解為無數(shù)個極小的 Δt，取其中一段 Δt，使得任意 ε＞0，均有Δt＜ε。因此，在Δt時間內(nèi)，探測器的質(zhì)量、加速度和所受的推力均不變，且探測器的位移是一條直線。

（二）問題的求解

1.建立模型

要使軟著陸全程燃料耗能最低，則只需使每一個Δt時間段內(nèi)的燃料耗能最小即可。設在該Δt時間段內(nèi)，探測器的初始速度為v1，末速度為vt，消耗的燃料能量為E，則由運動學和力學知識以及能量守恒的定理，可建立以下非線性模型：所要求的目標函數(shù)為：

2.定義燃料靈敏度表達式

在控制變量Δt、v1、α不變的條件下，增大或改變F的值對E產(chǎn)生的影響可通過定義燃料耗能的靈敏度，即：

上述定義式中，δ表示燃料耗能的靈敏度，ΔF表示推力F的該變量的絕對值大小，ΔE表示在改變推力的情況下燃料耗能的改變值。

（三）模型的結(jié)論

由靈敏度分析得，隨推力F和探測器加速度的增大，在相同Δt內(nèi)，通過的位移l也增大，因此產(chǎn)生更多的內(nèi)能Q。由于所受月球的重力勢能減少得更快，因此推力的增大會增加燃料的耗能。通過靈敏度的定義式計算可得，推力每增加一單位，燃料耗能就多增加個單位。

四、結(jié)論

本文將參考慣性坐標系、下降軌道參考坐標系兩種參考坐標系相結(jié)合，使得近、遠月點下降位置的確定更加準確可靠。另外還靈活借助積分的思想，將運動的全過程分解為無數(shù)個小階段，簡化了變量參數(shù)的計算，并且通過定義具體的靈敏度表達式將敏感性分析問題用定量的形式表達出來，簡潔實用。文中所構(gòu)建的近、遠月點位置確定模型，基于Matlab7的精確定位模型以及基于燃料能耗最低的靈敏度分析模型，也適用于地球衛(wèi)星和火星等星球的探測器的發(fā)射相關過程的求解，從而可以促進更好地利用環(huán)地衛(wèi)星為人們服務，提高人們的生活質(zhì)量，也可以為人類探索外太空提供可靠的參考思路。

注 釋：

（1）2014年全國大學生數(shù)學建模競賽A題（2014-09-22）[2014-09-12].http://www.mcm.edu.cn.

[1]蔡艷芳.月球探測器軟著陸制導控制方法研究[D].西安：西北工業(yè)大學碩士論文，2006.

[2]卓金武.Matlab在數(shù)學建模中的應用[M].北京：北京航空航天大學出版社，2010.

[3]王鵬基，張熇，曲光吉.月球軟著陸飛行動力學和制導控制建模與仿真[J].中國科學，2009（3）：522-523.

[4]張洪華，梁俊，黃翔宇，等.“嫦娥三號”自主避障軟著陸控制技術[J].中國科學，2014（6）：559-561.