朱黔，周銳*，董卓寧，李浩

(1.北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191;2.中航工業(yè)成都飛機設計研究所，成都 610091)

無人機(UAV)能夠協(xié)同執(zhí)行多種任務，如邊界巡邏、敵方監(jiān)視、編隊護航、災難救援等任務［1］，而目標跟蹤則是UAV執(zhí)行任務的關(guān)鍵技術(shù)之一.在敵對目標跟蹤中，無人機必須與敵對目標保持一定安全距離以降低暴露風險，并且盡可能地提高目標觀測信息，即廣泛研究的standoff跟蹤問題.

在過去的研究中，協(xié)同standoff跟蹤已經(jīng)取得一定的成果.Lawrence［2］第一次提出將李雅普諾夫矢量場用于standoff跟蹤，F(xiàn)rew等［3］對李雅普諾夫矢量場進行擴展，其提出速度控制和航向角控制雙層控制結(jié)構(gòu)，將協(xié)同standoff跟蹤分成相對獨立的距離控制和角間距控制.Summers等［4］通過信息結(jié)構(gòu)進一步擴展李雅普諾夫矢量場，通過設計可變空速控制器來實現(xiàn)多車輛協(xié)同控制中期望角間距控制.Chen等［5］第一次結(jié)合切向矢量場和李雅普諾夫矢量場形成復合控制結(jié)構(gòu)，用以彌補切向矢量場控制當UAV在standoff圓內(nèi)切線不存在的問題.除李雅普諾夫矢量場控制以外，Oh等［6］提出了一種基于微分幾何方法的standoff跟蹤導引律設計方法，通過引入目標速度項來提高跟蹤精度.Ma和 Hovakimyan［7］通過添加附加項的方式，結(jié)合角間距形成平衡圓編隊用以實現(xiàn)協(xié)同standoff跟蹤.此外，Oh等［8］通過航路構(gòu)造的方法實現(xiàn)協(xié)同standoff跟蹤;王樹磊等［9］對參考點制導(RPG)法進行改進，提高UAV的整體跟蹤效果.針對僅有角度測量的 UAV，Ponda等［10］針對不同測量方式，對于距離誤差和角度誤差給出詳細分析.Lee等［11］提出多UAV僅考慮一步信息量的反饋導引律設計實現(xiàn)最大化目標估計信息.Kim等［12］運用非線性模型預測控制(NMPC)實現(xiàn)協(xié)同standoff跟蹤，將standoff距離和期望角間距引入性能指標，獲得很好的跟蹤效果.

目前standoff跟蹤問題研究主要集中在控制律設計，但對UAV不同空間位置關(guān)系對目標位置估計精度的影響少有考慮.或者，盡管分析了UAV幾何構(gòu)型與目標位置估計精度之間的關(guān)系，但如何實現(xiàn)UAV最優(yōu)構(gòu)型下的控制律設計卻很少涉及.

針對standoff跟蹤過程中如何實現(xiàn)UAV的最優(yōu)觀測問題，本文提出了一種新的導引律設計思路.首先建立UAV協(xié)同觀測空間構(gòu)型與目標位置估計誤差之間的關(guān)系;然后通過優(yōu)化空間構(gòu)型進而實現(xiàn)目標狀態(tài)的最優(yōu)估計.

1 目標跟蹤問題描述

1.1 無人機動力學模型

假設所有無人機都擁有飛行控制系統(tǒng)可以有效跟蹤控制指令，僅考慮在二維水平平面上的控制律設計，對應無人機運動學模型如下:

式中:x=［x y ψ vω］T為無人機狀態(tài)，(x，y)為慣性坐標系位置，ψ為航向角，v為速度，ω為偏航角速率;(τv，τω)為時間常數(shù)表征執(zhí)行機構(gòu)時延;u=［uvuω］T為速度和偏航角速率控制輸入.基于無人機運動學模型，考慮如下約束［13］:

式中:v0為無人機的名義速度;vmax和ωmax分別為速度和偏航角速度的最大變化范圍.

1.2 目標運動模型

由于地面運動目標可以通過調(diào)整速度和方向進行任意機動，所以一般的勻速運動模型無法準確表示目標的運動狀態(tài).因此本文中采用加速度模型［14］來表示目標運動方程如下:

1.3 傳感器測量模型

假設UAV對目標跟蹤測量采用定高飛行，傳感器模型為方位角測量傳感器，模型如下:

式中:(xi，yi)為第i架UAV的位置信息;(xT，yT)為目標的位置信息;νi為均值為0、方差為的高斯白噪聲作為測量噪聲.假設不同UAV之間的測量噪聲彼此不相關(guān).

1.4 擴展信息濾波

考慮式(5)的傳感器觀測模型為非線性模型，采用擴展信息濾波［15］對目標狀態(tài)進行估計，擴展信息濾波包括預測過程和估計過程［16］.

預測過程:

估計過程:

式中:yk，k－1和 Yk，k－1分別為預測信息和預測信息矩陣;yk－1，k－1和 Yk－1，k－1為 k － 1 時刻的信息狀態(tài)和信息狀態(tài)矩陣;Qk為測量噪聲協(xié)方差矩陣;Hi，k為第i架UAV測量方程Jacobian矩陣;Ri，k為測量協(xié)方差矩陣;zi(k)為角度測量信息為預測目標狀態(tài);hi(*)為傳感器測量方程.目標狀態(tài)估計信息作為非線性模型預測控制的狀態(tài)輸入信息用以最優(yōu)化控制輸出.

2 目標位置估計精度分析

2.1 均方根誤差模型

如圖1所示，兩架UAV跟蹤地面運動目標，通過方位角測量傳感器可以實現(xiàn)目標定位.由于角度測量傳感器存在噪聲，因此目標定位中存在位置誤差.兩架UAV的角度測量信息如下:

式中:(θ1，θ2)為真實方位角)為測量方位角;(ν1，ν2)為測量噪聲.

圖1 角度測量下的協(xié)同目標觀測Fig.1 Only bearing measurement cooperative target observation

設(x1，y1)和(x2，y2)分別為兩架 UAV 真實位置)為含有誤差的目標位置信息.由式(8)可以獲得以下結(jié)果:

將式(9)表示為式(10)的函數(shù)形式，在(θ1，θ2)處進行泰勒展開并忽略二階以上高階項，可近似得到位置誤差表達式:

由圖1可得UAV和目標的距離可表示為

結(jié)合式(11)和式(12)可得目標位置誤差:

目標位置估計誤差為

取均方根誤差作為目標位置估計精度的參考準則［17］，其定義如下:

式中:RMSExy為目標位置估計的均方根誤差，其值越小，目標位置估計越準確，估計精度越高.設無人機角度測量噪聲均值為0、方差為2).位置誤差平方的期望值如下:

將式(17)的結(jié)果代入式(16)中可得

可知目標位置估計均方根誤差RMSExy與有關(guān)，即 δp與直接相關(guān).

2.2 standoff跟蹤問題

UAV協(xié)同跟蹤過程中，ri總會有一定的距離約束 Rmin，稱為 standoff距離(rd)，即 ri≥Rmin=rd.分析可知:當一定時，ri=Rmin=rd，且 β = θ2－θ1=90°時 RMSExy最小，對應目標位置誤差 δp越小，目標定位越準確.依據(jù)式(18)可知standoff跟蹤最優(yōu)觀測構(gòu)型如下:

3 非線性模型預測控制

基于第2節(jié)的分析，通過優(yōu)化UAV的空間觀測幾何構(gòu)型可實現(xiàn)對目標最優(yōu)跟蹤.文獻［12］考慮standoff距離和UAV之間的角間距實現(xiàn)協(xié)同standoff跟蹤.而本文則將目標位置估計均方根誤差RMSExy作為目標跟蹤評價指標，采用非線性模型預測控制實現(xiàn)對UAV幾何觀測位置構(gòu)型優(yōu)化:

式中:pN和qr分別為第N步和第k步非線性模型預測性能指標函數(shù)相關(guān)系數(shù);r1k和r2k為k時刻UAV與目標之間的距離.

式(21)和式(23)反映了standoff跟蹤過程中當前實際構(gòu)型對應跟蹤誤差與最優(yōu)期望構(gòu)型對應跟蹤誤差之間的差值.

為避免復雜的角度計算，考慮做如下變換:

對應式(21)和式(23)可以變?yōu)?/p>

式中:r1k和r2k為UAV當前位置指向目標位置向量(k=0，1，…，N，N 為預測步長).從性能指標中可以看出，期望的UAV運動模式為在隨機運動目標周圍做協(xié)同standoff跟蹤，即與目標距離盡可能保持r≥Rmin=rd，并盡可能接近 Rmin，兩架 UAV的觀測夾角保持90°，即使目標位置估計均方差誤差RMSExy盡可能小，實現(xiàn)最優(yōu)目標位置估計.

考慮UAV動力學模型，有如下等式約束:

考慮控制輸入限幅，機間防撞，安全距離限制Rmin，在非線性模型預測中以不等式約束代入:

式中:Sv(uk)為第k步非線性模型預測速度控制量不等式約束函數(shù);Sω(uk)為第k步非線性模型預測角速度控制量不等式約束函數(shù);Sc(xk)為第k步非線性模型預測機間防撞不等式約束函數(shù);Sr(xk)為第k步非線性模型預測當前UAV與目標距離不等式約束函數(shù);rc為機間防撞距離;為兩機之間距離;為當前UAV與目標之間的距離.相應改進的性能指標如下:

式中:μv、μω、μc和 μr為非線性模型預測的不等于約束函數(shù)相關(guān)系數(shù).

在式(31)的性能指標中對應有

由性能指標式(31)，定義Hamiltonian函數(shù):

對改進性能指標Ja求偏導數(shù)，可得到

由于等式約束的存在，所以λk可以任意選擇.故可以選擇:

將式(34)代入式(33)中，d Ja可以表示為

式(34)中的λ的計算公式為

在式(36)、式(37)中對應項的計算公式為

式中:(xp，yp)為相對于本機另外一架UAV k時刻對應的位置信息.

采用基本的梯度理論最小化Hamiltonian函數(shù)Hk，每個迭代周期的控制命令更新如下:

式中:Δk為可變步長，k=0，1，…，N －1.

式(41)對應的計算項有如下表示公式:

式中:sgn為符號函數(shù)，對應的非線性模型預測控制運行步驟如下所示［18-20］:

利用擴展信息濾波獲得的目標估計狀態(tài)作為原始狀態(tài)輸入，結(jié)合UAV運動方程式(1)計算控制輸入序列(u0，u1，…，uN－1)作用下無人機的狀態(tài)傳播{xk}，k=0，1，…，N.

基于拉格朗日乘子的計算公式(36)和式(37)后向計算出{λk}，k=N，N －1…，1.

計算性能指標改進程度 ΔJ=Jiter－Jiter－1.

IfΔJ＜0

利用梯度方法更新控制序列{uk}.

Else減少Δk來確保性能指標改善.

End If

迭代次數(shù)iter+1;End While

在每一個UAV結(jié)點上分別運行非線性模型預測控制算法，實現(xiàn)控制性能在線優(yōu)化，比較集中式優(yōu)化結(jié)構(gòu)，分布式控制有效降低了計算量，提高了算法的實時性.假設無人機彼此通信沒有延遲且不存在丟包現(xiàn)象，每一個控制周期內(nèi)，每一架UAV都可以獲得所有飛機的狀態(tài)信息，用以優(yōu)化性能指標并更新控制序列.每次優(yōu)化出的控制命令作為當前的周期的控制輸入，而下一周期的控制序列輸入設定如下:

4 仿真結(jié)果與分析

采用兩架UAV跟蹤一個地面隨機運動目標，采用非線性模型預測控制優(yōu)化控制輸入序列.目標初始狀態(tài)及估計值為

目標運動存在均值為0、均方差為0.02m/s2的加速度噪聲.兩架 UAV分別從(－1 500m，0 m)、(0m，－1500m)出發(fā)，對目標進行協(xié)同standoff跟蹤，兩架UAV的方位角測量噪聲為均值為0、均方差分別為1.0°和0.7°的角度測量噪聲.在仿真過程中兩架UAV可以獲取彼此相應的狀態(tài)信息，用于非線性模型預測優(yōu)化相應控制輸出.具體的仿真結(jié)果參如圖2～圖6所示，具體仿真參數(shù)設置如表1所示.

表1 仿真參數(shù)設置Table 1 Simulation parameters settings

圖2 兩架UAV與隨機運動目標的絕對航跡Fig.2 Absolute trajectories of two UAVs and random moving target

圖3 UAV與隨機運動目標相對距離和相對角間距Fig.3 Relative distances and angle spacing between UAV and random moving target

圖4 UAV與目標的瞬時相對軌跡和幾何關(guān)系Fig.4 Relative trajectories between UAV and target and their instantaneous geometric relationships

UAV與目標之間絕對和相對運動軌跡分別如圖2～圖4所示，可以看出:兩架UAV實現(xiàn)了對隨機運動目標的協(xié)同standoff跟蹤，兩架UAV與目標相對距離都收斂于standoff距離(rd=500m).兩架UAV實際角間距都收斂到期望角間距90°.雙機為實現(xiàn)穩(wěn)定協(xié)同standoff跟蹤需動態(tài)調(diào)整與目標之間的距離和相對角間距.由于動態(tài)調(diào)整，在過渡階段可能會出現(xiàn)較大波動，但很快會收斂到最優(yōu)觀測構(gòu)型(即r1=r2=rd，β=θ2－θ1=90°)，從而形成穩(wěn)定雙機協(xié)同standoff跟蹤.穩(wěn)定協(xié)同standoff跟蹤過程中兩架UAV與目標相對距離和角間距都在期望值附近小幅波動，分析其原因主要是由于目標隨機運動的不確定性所造成.

從圖5可以看出，圖5(a)為目標實際運動曲線與利用擴展信息濾波得到的位置估計曲線圖，圖5(b)和圖5(c)中的虛線代表3倍Cramer Rao誤差限，實線為x和y方向的估計誤差.可以看出:隨著兩架UAV逐漸趨近期望構(gòu)型，位置誤差也逐漸減小，并且95%以上都處于3倍Cramer Rao曲線范圍內(nèi)，此時具有很好的位置估計效果［21］.利用擴展信息濾波可以較好地估計出目標的位置信息，并作為非線性模型預測的初始狀態(tài)輸入，提高兩架UAV協(xié)同standoff跟蹤性能.

圖6為目標位置估計的均方根誤差圖，可以看出隨著兩架UAV在standoff跟蹤中達到期望的構(gòu)型，對應的目標位置估計的均方根誤差逐漸減小并趨于平穩(wěn).

圖5 運動目標位置估計Fig.5 Position estimation of moving target

圖6 目標位置估計的均方根誤差Fig.6 Root mean square error of target position estimation

仿真結(jié)果表明:兩架UAV的觀測構(gòu)型收斂于期望的最優(yōu)構(gòu)型，即UAV與目標的距離收斂于standoff跟蹤距離rd，兩架UAV的角間距收斂于90°，此時目標位置估計誤差也達到最小.證明了所建立的目標位置估計誤差與UAV幾何觀測構(gòu)型之間關(guān)系模型的正確性，以及分布式非線性模型預測控制方法的有效性.

為考察本文所提出算法的實時性和有效性，利用MATLAB優(yōu)化工具箱求解本文提出的問題，并與本文提出的方法進行對比，結(jié)果如表2所示.本文提出的方法雖然犧牲了一定的控制精度(平均跟蹤距離誤差、平均跟蹤角間距誤差)，但有效提高了算法執(zhí)行速度，具有較好的實時性.

表2 算法性能對照Table 2 Performance com parisons of algorithm

協(xié)同standoff跟蹤能實現(xiàn)對目標傳感器全覆蓋，在最優(yōu)觀測構(gòu)型下最小化跟蹤誤差.而相應的rd、v0、vmax和 ωmax等參數(shù)設置與 UAV 自身機動能力和傳感器性能有關(guān)，并且與跟蹤任務需求相關(guān).顯然UAV自身能力越強，standoff跟蹤效果越好，形成穩(wěn)定最優(yōu)觀測構(gòu)型所需時間越短，反之亦然.

5 結(jié)論

主要針對僅有角度測量的UAV隨機運動目標協(xié)同standoff跟蹤問題進行研究.結(jié)論如下:

1)UAV僅有角度測量時，最大化目標位置估計精度對應的UAV最優(yōu)觀測空間構(gòu)型為:保持設定的standoff距離同時保持90°的觀測視線角間距.

2)分布式非線性模型預測控制算法能夠?qū)崿F(xiàn)UAV之間的綜合最優(yōu)控制，在滿足各種約束和控制性能的前提下有效提高對隨機運動目標的協(xié)同standoff跟蹤性能.

多機協(xié)同目標跟蹤的最優(yōu)空間構(gòu)型分析以及無人機的協(xié)同最優(yōu)控制問題是今后需要研究的問題.

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