楊旭，張皎，劉源翔

(北京理工大學 宇航學院，北京 100081)

動能攔截器(Kinetic Kill Vehicle，KKV)作為一種大氣層外高速飛行器，利用高速飛行產(chǎn)生的巨大動能，通過直接碰撞摧毀來襲目標.與傳統(tǒng)大氣層內(nèi)制導武器相比，動能攔截器采用直接力控制彈體姿態(tài)，以實現(xiàn)精準攔截.因此制導律的設計是動能武器實現(xiàn)精確攔截的關鍵［1］.

關于制導律國內(nèi)外開展了大量的研究.其中應用最為廣泛的是比例導引(proportional navigation)，其控制方式是令導彈加速度指令與彈目相對速度及視線角速率成比例［2］.但當目標做大機動飛行時，比例導引難以保證準確命中目標.文獻［3］提出了一種真比例制導率，通過控制導彈垂直于視線方向的加速度大小補償目標機動，達到了減小脫靶量的效果.谷志軍和陳磊［4］針對動能攔截器順軌攔截問題設計了一種比例導引律降低了導彈的需用過載，但該方法僅適用于導彈速度大于目標速度的情況.

隨著控制理論的研究深入，許多學者提出了基于現(xiàn)代控制理論的制導律設計方法.如最優(yōu)制導 律［5-7］，滑 模 制 導 律［8-11］，backstepping 制 導律［12-13］，動態(tài)面制導律［14-15］等.李浩和佘浩平［6］以彈目相對位置及相對速度為約束，設計了一種彈道成型的最優(yōu)制導律.Indig等［7］利用最優(yōu)控制理論，提出了一種改進比例制導律.朱戰(zhàn)霞等［1］利用終端滑模理論設計了適用于動能攔截器的末段制導律，通過在滑模面的設計中引入非線性函數(shù)，使得跟蹤誤差在有限時間快速收斂到零，但在初始階段該方法的需用過載偏大.張運喜等［8］提出了一種基于有限時間收斂的滑模變結構制導律，實現(xiàn)了制導系統(tǒng)的視線角速率快速收斂到零，由于該制導律針對的是地面固定目標，故并未考慮目標機動.Rao和 Ghose［10］針對目標機動設計了一種新型滑模變結構制導律，該制導律將目標的加速度及加速度的導數(shù)視為未知有界變量，并在控制量設計中對其補償.但該方法容易令導彈需求的法向過載過大，并產(chǎn)生高頻抖振現(xiàn)象.刁兆師和單家元［13］利用backstepping的思想，設計了一種考慮自動駕駛儀動態(tài)特性并含有攻擊角約束的制導律，但該方法會導致微分膨脹.為解決微分膨脹問題Qu和Zhou［14］考慮導彈自動駕駛儀二階動態(tài)特性，設計了一種基于動態(tài)面理論的制導律.

在實際應用中，由于系統(tǒng)的某些狀態(tài)量及目標某些參數(shù)難以測量，故對設計制導律所需要的未知量的估計顯得尤為重要.Zarchan［16］和Shima等［17］分別利用卡爾曼濾波(KF)及擴展卡爾曼濾波(EKF)的方法對系統(tǒng)的狀態(tài)量及目標的參數(shù)進行估計.Zhu等［18］利用擴張狀態(tài)觀測器(ESO)對目標的加速度實時估計，并利用滑?？刂评碚撛O計了一種變結構制導律.Zhang等［19］利用積分滑模控制方法設計制導律，并將目標的機動視為有界干擾并通過非線性干擾觀測器對其實時估計，通過控制視線角速率有限時間趨近于零從而命中目標.

綜上所述，在攔截打擊目標時，大多是針對導彈速度大小恒定，通過控制彈目視線角速率有限時間收斂至零為目標設計的制導律.而這種方式使導彈以曲線彈道實現(xiàn)對目標的攔截，同時對于動能攔截武器也難以獲得最大的碰撞速度.

針對動能攔截器軸向加速度不為零的情況，本文設計了一種基于碰撞航線(collision course)的滑模制導律.該制導律的核心思想，即利用姿態(tài)控制發(fā)動機瞬間改變彈體姿態(tài)，產(chǎn)生用于改變速度方向的需用法向過載，使導彈的速度矢量始終指向預期的碰撞點，直至完成對目標的攔截.在制導律設計過程中，將未知的目標機動視為有界干擾，利用非線性干擾觀測器(NDO)對其實時估計，并把估計值用于對目標機動的補償，實現(xiàn)對目標的精確打擊.

1 彈目相對運動模型

目標的攔截問題，通過合理的解耦，可以將三維問題轉化為兩個相互垂直平面內(nèi)的二維問題，分別在兩平面內(nèi)獨立設計對應的制導律.為研究方便，本文選擇在縱向平面場景內(nèi)研究.圖1描述了導彈與目標在笛卡兒慣性坐標系Oxy下的相對運動關系.分別定義導彈M和目標T各參數(shù)變量的下標為m和t.

為了簡化問題，假設導彈和目標均為質(zhì)點，忽略導彈和目標所受重力，且導彈的自動駕駛儀及姿態(tài)控制系統(tǒng)均具有理想動態(tài)特性.在極坐標系下彈目的相對運動學方程為

圖1 彈目攔截幾何Fig.1 Missile and target engagement geometry

假設導彈可以通過火箭發(fā)動機獲得沿彈軸方向恒定的加速度，忽略推力偏心.且能夠通過推力矢量發(fā)動機實時改變彈體姿態(tài)即改變彈體的攻角α，從而使沿彈軸的加速度am可以指向需求的方向，則導彈速度的變化率和航跡角變化率滿足如下關系:

為方便研究，假定目標運動速度Vt恒定且其加速度at的方向始終垂直于速度的方向，滿足如下關系:

2 基于碰撞航線的制導律設計

在本節(jié)中，設計一種基于碰撞航線的制導律，使攔截器能夠沿平直彈道運動至預期的碰撞點.

當導彈與目標處于碰撞航線上時，同一時間內(nèi)導彈與目標在垂直于視線方向的運動距離相同，則存在如下關系:

假設導彈加速度am的值恒定，且目標做非機動勻速運動，整理式(8)有

式中:tgo(time-to-go)為從當前時刻至完成攔截所需要的時間.當導彈與目標處于并保持在碰撞三角形航線上運動時，存在如下關系［20］:

對tgo求導有

式中:θmr為導彈保持碰撞航線所需 θm的值;為導彈沿碰撞航線運動的平均速度，其導數(shù)為

為實現(xiàn)跟蹤誤差的收斂，本文利用滑?？刂评碚搧磉M行制導律的設計.選取滑模面S=x根據(jù)滑模運動可達性條件選擇如下趨近律:

式中:k＞0，σ ＞0，0＜η ＜1.顯然式(15)所描述的趨近律能夠使系統(tǒng)的狀態(tài)量在有限時間內(nèi)從初值收斂到S的鄰域內(nèi).

從式(17)可以看到，目標的加速度出現(xiàn)在控制量中.由于實際導彈攔截中，目標的加速度難以直接測量，因此采用NDO對目標的加速度進行估計.

引理1［21］考慮如下單輸入單輸出(SISO)非線性系統(tǒng):

式中:ψ為系統(tǒng)的狀態(tài)量;u∈R為充分光滑的系統(tǒng)輸入;g(t)為充分光滑的不確定函數(shù).

定理1［22］考慮上述非線性系統(tǒng)(18)，假設u和ψ可測，g(t)有界且存在Lipschitz常數(shù)L＞0使得，則有如下觀測器:

假設參數(shù)λi足夠大的，并忽略輸入噪聲，系統(tǒng)的狀態(tài)量及干擾的估計值將有限時間收斂，即

式(19)中參數(shù)λi的選取方法可參考文獻［23］，隨著λi的增大，觀測器的收斂速度加快，但觀測誤差將增大，同時對噪聲更加敏感，降低了觀測器的估計性能.因此，需要在仿真和實際應用中合理地選取λi的值.

對式(2)求導得

式中:atλ=atcosθt為目標垂直于視線方向的加速度.設計觀測器如下:

文獻［23］給出了NDO的穩(wěn)定性證明.假設Vλ，Vr，r，γm，λ 可測，且目標法向加速度 at有界，則，其中分別為目標加速度及其導數(shù)的上界［21］.由定理1可知觀測器參數(shù)，并通過合理地選擇 λ0，λ1，NDO的觀測誤差e=a^t－at將趨近于零，則z0和z1分別收斂于 Vλ和 －atλ.

目標加速度at的估計值可表示為cosθt.聯(lián)立式(17)和式(21)，基于碰撞航線的導彈滑模制導律(NDOGC)虛擬控制量為

3 穩(wěn)定性分析

考慮如下非線性系統(tǒng)［24］:

式中:f:U×R→Rn在U×R連續(xù);U為原點x=0的一個開鄰域.

定理2 對于系統(tǒng)(23)，給定任意初始時刻t0的初始狀態(tài)x(t0)=x0∈U，存在一個依賴于x0的收斂時間T≥0，使系統(tǒng)方程以x0為初始狀態(tài)的解x(t)有定義，且有

當 t∈［t0，T(x0))，φ(t;t0，x0)∈U{0}，那么系統(tǒng)的平衡點x=0是局部有限時間收斂的，如果U=Rn，則平衡點是全局有限時間收斂的.

引理2［24］考慮式(23)所描述的非線性系統(tǒng)，假設V(x)是定義在原點的鄰域U?R的C1光滑正定函數(shù).存在實數(shù)1＞β＞0及ρ＞0，使得)是定義域U?R的半負定函數(shù)，則存在定義域U0?U?R，使得定義在U0?R上的任意V(x)均能以有限時間收斂至原點.若Tr為V(x)收斂至零的時間，則

式中:x0為原點x=0某一開鄰域中的任何一點.如果U0=Rn且V(x)是徑向無界的(V(x)→+∞，當，那么系統(tǒng)(23)的原點是全局有限時間收斂的.

定義如下的Lyapunov函數(shù):

由式(26)對時間t求導可得

式中:0＜δ0＜1.函數(shù) V收斂至零的時間滿足式(30):

式中:S0為S的初值.

參數(shù)k，σ能夠保證當滑模面S較大時，系統(tǒng)狀態(tài)量能以較大的速度趨近于滑動模態(tài)，且隨k，σ增大系統(tǒng)有限時間收斂性越好，S的收斂速度越快.但過大的k，σ會導致系統(tǒng)的控制量過大，并產(chǎn)生抖振.通過調(diào)整參數(shù)η的值，可保證系統(tǒng)狀態(tài)量遠離滑動模態(tài)(S較大)時，能以較大的速度趨近于滑動模態(tài)，當系統(tǒng)狀態(tài)量趨近滑動模態(tài)(S較小)時，保證較小的控制增益，以降低抖振.

4 仿真結果及分析

導彈在慣性坐標系中的初始位置為xm(0)=50000m，ym(0)=0m，目標的初始位置為xt(0)=yt(0)=0 m.導彈的初始航跡角 γm0∈［90°，160°］，目標的初始航跡角 γt0∈［0°，90°］，導彈的加速度am=20 g.

由于式(22)中的符號函數(shù)sgn(S)會導致控制量的抖振，從而導致制導精度下降.選擇Sigmod函數(shù)代替，表達式為

式中:ε為邊界層;參數(shù) a為幅值增益可調(diào)節(jié)sig(S，a，b)函數(shù)的幅值;參數(shù)b為指數(shù)因子可調(diào)節(jié)sig(S，a，b)函數(shù)的近似線性區(qū)間的范圍.本文選取的參數(shù)分別為 a=2，b=40，ε =0.2.

基于有限時間收斂理論設計的制導律(FTCG)是以零化視線角速率為目標設計的，本文利用FTCG與NDOGC相對比，分析兩類制導律的不同.FTCG采用如下形式［9］:

式中:N為大于2的常數(shù);μ＞0;0≤n＜1;f為目標加速的上界.

兩種制導律相關參數(shù)分別為k=3，σ=5，η=0.5，L=80，λ0=1.5，λ1=1.1，N=10，μ =1.5，n=0.5，f=80.

4.1 攔截非機動目標

選取導彈和目標的初始航向角分別為γm0=160°和γt0=20°，導彈和目標的初始速度分別為Vm0=1 500m/s和 Vt0=3 000 m/s，仿真結果如圖2、圖3所示.

圖2 導彈和非機動目標相對運動軌跡Fig.2 Trajectories of missile and nonmaneuvering target relative motion

圖3 導彈和非機動目標的攻角變化Fig.3 Variation of angle of attack for missile and nonmaneuvering target

在NODGC制導律的作用下，導彈命中目標需要9.94 s，脫靶量為0.18m，命中時刻導彈的速度為3431.3m/s，對于FTCG制導律，命中目標需要10.87 s，脫靶量為 0.38m，命中時刻的速度為2942.8m/s.

從仿真結果可以看出，兩種制導律都可以有效地命中目標.從圖2可以看出，在NDOGC制導律的作用下，導彈的速度方向始終指向碰撞點，運動軌跡近似一條直線.在制導律FTCG的作用下，導彈通過改變航跡角使視線角速率趨近于零，這種方式迫使導彈以曲線運動軌跡命中目標.從圖3可以看出，導彈在NDOGC制導律的作用下，消除了初始航向誤差后，攻角近似為零，使導彈獲得更高的命中速度，這對提高動能攔截器的殺傷效果是非常重要的.對比制導律FTCG，為保持視線角速率趨近于零需要不斷地調(diào)整導彈的攻角并最終收斂于常值，直至命中目標.這說明導彈的加速度方向與速度方向不重合，難以充分利用導彈的加速度提高自身動能.

4.2 攔截機動目標

選取導彈和目標的初始航向角分別為γm0=160°和γt0=20°，導彈和目標的初始速度分別為Vm0=1 500m/s和Vt0=3 000m/s，目標以加速度at=8 g sin(0.5t)做正弦機動.仿真結果如圖4、圖5所示.

圖4 導彈和機動目標相對運動軌跡Fig.4 Trajectories of missile and maneuvering target relative motion

圖5 導彈和機動目標的攻角變化Fig.5 Variation of angle of attack for missile and maneuvering target

在NODGC制導律的作用下，導彈命中目標需要10.28 s，脫靶量為 1.32m，命中時刻導彈的速度為3425.3m/s，對于FTCG制導律，命中目標的時間為12.21 s，脫靶量為 4.06m，命中時刻的速度為 2369.2m/s.

從仿真結果可以看出，在目標做大機動運動時，制導律NDOGC的脫靶量更小，命中時間更短，命中速度更高.如圖4可知，相比于制導律FTCG，制導律NDOGC使導彈的運動軌跡更加平直，命中目標耗時更短.其控制量變化如圖5，由于NDO對目標加速度的實時估計，并在控制量中對目標加速度變化帶來的擾動進行了有效的補償，降低了導彈需求的法向過載，故制導律NDOGC的攻角變化范圍更小，更有利于彈體的飛行穩(wěn)定.

考慮NDO對目標加速度的觀測性能，如圖6所示.觀測器的估計值a^t可以穩(wěn)定地跟蹤目標加速度的實際值at，說明本文的干擾觀測器具有良好的性能，估計誤差較小.

圖6 目標加速度的估計Fig.6 Estimation of target acceleration

如圖7所示，設計的狀態(tài)反饋控制律能夠保證滑模面在有限時間趨近于零，實現(xiàn)基于碰撞航線的攔截策略.

圖7 滑模面隨時間變化曲線Fig.7 Curve of sliding mode surface changing with time

4.3 可攔截區(qū)域分析

可攔截區(qū)域是評判制導律的主要指標之一，是在有效攔截目標并滿足一定約束條件下的導彈與目標初始航跡角的集合.

本文定義當脫靶量小于5m即認為能夠有效攔截目標.選取導彈和目標的初始航向角集合分別為 γm0∈［90°，160°］和 γt0∈［0°，90°］，導彈和目標的初始速度分別為Vm0=1 500m/s和Vt0=3000m/s，目標的最大過載為5g.

圖8 FTCG的攔截區(qū)域Fig.8 Capture zone of FTCG

圖9 NDOGC的攔截區(qū)域Fig.9 Capture zone of NDOGC

仿真結果如圖8、圖9所示.圖中MISS表示導彈脫靶，HIT表示導彈命中目標.由結果可以看出，制導律NDOGC的可攔截區(qū)域遠大于FTCG.NDOGC 僅在 γm0∈［90°，140°］，γt0∈［0°，17°］的小部分區(qū)域難以攔截目標，在余下區(qū)域均可成功攔截.而 FTCG 在 γt0∈［0°，17°］及 γt0∈［34°，90°］的大部分區(qū)域都難以命中目標.故制導律NDOGC可適用的彈目初始航向角范圍更廣.

4.4 可攔截目標速度范圍

對導彈而言，成功攔截目標的速度區(qū)間也反應了制導律的適用范圍.由于篇幅所限，本文僅以導彈和目標的初始航向角分別為γm0=120°及γt0∈{20°，40°，60°}為例，分析兩種制導律的適用范圍.導彈的初始速度為Vm0=1 500m/s，目標以加速度at=5g sin(0.5t)做正弦機動.

仿真結果如表1，在導彈初始航跡角、初始速度及加速度恒定的條件下，制導律NDOGC在目標初始航跡角分別為 20°，40°，60°的條件下所攔截目標的速度范圍均明顯大于制導律FTCG.仿真結果表明，對于高速機動目標攔截，NDOGC更加適用.

表1 兩種制導律攔截目標的速度范圍Table 1 Velocity range of intercepting target for two guidance law

5 結論

針對動能攔截器在大氣層外攔截機動目標且目標加速度不可測等問題，本文提出基于NDO和碰撞航線的新型滑模制導律.并與以零化視線角速率為目標設計的有限時間收斂制導律對比，本文所述制導律能夠保證導彈以更短的時間、更小的過載、更大的末端速度實現(xiàn)對目標的攔截.同時，擴展了導彈的可攔截區(qū)域及可攔截目標的速度范圍，具有較好的工程應用前景.

References)

［1］朱戰(zhàn)霞，韓沛，陳鵬.基于非線性Terminal滑模的動能攔截器末制導律設計［J］.西北工業(yè)大學學報，2013，31(2):233-238.Zhu Z X，Han P，Chen P.Design of nonlinear Terminal SMGL(sliding-mode guidance law)for KKV(kinetic kill vehicle)［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，2013，31(2):233-238(in Chinese).

［2］ Yuan L C.Homing and navigational courses of automatic target seeking devices［J］.Journal of Applied Physics，1948，19(12):1122.

［3］ Garnell P.Guided weapon control systems［M］.Oxford:Pergamon Press，1980:238-240.

［4］谷志軍，陳磊.大氣層外動能攔截器順軌攔截技術研究［J］.宇航學報，2007，28(5):1195-1198.Gu Z J，Chen L.Research on interception along track for exoatmospheric［J］.Journal of Astronautics，2007，28(5):1195-1198(in Chinese).

［5］張友安，黃詰，孫陽平.帶有落角約束的一般加權最優(yōu)制導律［J］.航空學報，2014，35(3):848-856.Zhang Y A，Huang J，Sun Y P.Generalized weighted optimal guidance laws with impact angle constraint［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2014，35(3):848-856(in Chinese).

［6］李浩，佘浩平.基于理想視線的彈道成型最優(yōu)導引律［J］.兵工學報，2014，35(8):1200-1204.Li H ，She H P.Trajectory shaping guidance law based on ideal line-of-sight［J］.Acta Armamentarii，2014，35(8):1200-1204(in Chinese).

［7］ Indig N，Ben-Asher J Z，F(xiàn)arber N.Near-optimal spatial midcourse guidance law with an angular constraint［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2014，37(1):214-223.

［8］張運喜，孫明瑋，陳增強.滑模變結構有限時間收斂制導律［J］.控制理論與應用，2012，29(11):1413-1418.Zhang Y X，Sun M W，Chen Z Q.Sliding-mode variable structure finite-time convergence guidance law［J］.Control Theory ＆Applications，2012，29(11):1413-1418(in Chinese).

［9］ Zhou D，Sun S，Teo K L.Guidance laws with finite time convergence［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32(6):1838-1846.

［10］ Rao S，Ghose D.Terminal impact angle constrained guidance laws using variable structure systems theory［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2013，21(6):2350-2359.

［11］ Ran M P，Wang Q，Hou D L，et al.Backstepping design of missile guidance and control based on adaptive fuzzy sliding mode control［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2014，27(3):634-642.

［12］舒燕軍，唐碩.軌控式復合控制導彈制導與控制一體化反步設計［J］.宇航學報，2013，34(1):79-85.Shu Y Y，Tang S.Integrated guidance and control backstepping design for blended control missile based on NDO［J］.Journal of Astronautics，2013，34(1):79-85(in Chinese).

［13］刁兆師，單家元.考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的含攻擊角約束的反演遞推制導律［J］.宇航學報，2014，35(7):818-826.Diao Z S，Shan JY.Back-stepping guidance law with autopilot lag for attack angle constrained trajectories［J］.Journal of Astronautics，2014，35(7):818-826(in Chinese).

［14］ Qu P P，Zhou D.A dimension reduction observer-based guidance law accounting for dynamics of missile autopilot［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part G:Journal of Aerospace Engineering，2013，227(7):1114-1121.

［15］ Zhou D，Qu P P，Sun S.A guidance law with terminal impact angle constraint accounting for missile autopilot［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，2013，135(5):51009.

［16］ Zarchan P.Representation of realistic evasive maneuvers by use of shaping filters［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1979，10(4):434-439.

［17］ Shima T，Oshman Y，Shinar J.Efficient multiple model adaptive estimation in ballistic missile interception scenarios［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2002，25(4):667-675.

［18］ Zhu Z，Xu D，Liu J，et al.Missile guidance law based on extended state observer［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2013，60(12):5882-5891.

［19］ Zhang Z，Li S，Luo S.Terminal guidance laws of missile based on ISMC and NDOB with impact angle constraint［J］.Aerospace Science and Technology，2013，31(1):30-41.

［20］ Ratnoo A，Ghose D.Collision-geometry-based pulsed guidance law for exoatmospheric interception［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32(2):669-675.

［21］ Bhat S P，Bernstein D S.Finite-time stability of continuous autonomous systems［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，2000，38(3):751-766.

［22］ Shtessel Y B，Shkolnikov IA，Levant A.Smooth second-order sliding modes:Missile guidance application［J］.Automatica，2007，43(8):1470-1476.

［23］ Levant A.Higher-order sliding modes，differentiation and output-feedback control［J］.International Journal of Control，2003，76(9-10):924-941.

［24］ Hong Y.Finite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems［J］.Systems ＆ Control Letters，2002，46(4):231-236.