魏迎梅，康來(lái)

(1.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息系統(tǒng)與管理學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073;2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073)

基于圖像的三維重構(gòu)研究如何從二維(2D)圖像中恢復(fù)相機(jī)參數(shù)和三維場(chǎng)景幾何信息，該過(guò)程是二維成像的逆過(guò)程［1］.基于圖像的三維重構(gòu)可分解為相機(jī)外參(相機(jī)相對(duì)姿態(tài))恢復(fù)和場(chǎng)景三維結(jié)構(gòu)估計(jì)兩個(gè)部分.假設(shè)相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)已知(現(xiàn)代相機(jī)內(nèi)部參數(shù)易于查詢)，則可以從圖像對(duì)應(yīng)(image correspondences)中獲得度量三維重構(gòu).基于圖像的三維重構(gòu)基本過(guò)程［1］為:首先利用圖像匹配技術(shù)獲取圖像對(duì)應(yīng)，然后從圖像對(duì)應(yīng)中估計(jì)兩視圖間的本質(zhì)矩陣，再?gòu)谋举|(zhì)矩陣中恢復(fù)相機(jī)相對(duì)姿態(tài)，最后利用三角化估計(jì)場(chǎng)景三維結(jié)構(gòu).為了進(jìn)一步提高三維重建質(zhì)量，可采用梯度下降等非線性優(yōu)化技術(shù)對(duì)三維重構(gòu)結(jié)果求精［1］.與傳統(tǒng)的手工三維建模方法相比，基于圖像的三維重構(gòu)僅需利用數(shù)碼相機(jī)等廉價(jià)設(shè)備獲取輸入數(shù)據(jù)，而且易于實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化處理，具有成本低、操作簡(jiǎn)單等優(yōu)勢(shì)，是計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的熱門研究?jī)?nèi)容.作為三維重構(gòu)的基礎(chǔ)，關(guān)于相機(jī)成像過(guò)程及相機(jī)模型的研究已經(jīng)趨于成熟.其中，應(yīng)用最廣泛的是小孔成像模型(或單視點(diǎn)相機(jī)模型)，該模型是一種典型的單視點(diǎn)相機(jī)模型，即成像過(guò)程中所有光線均交匯于一點(diǎn)——相機(jī)光心［1］.

水下圖像是有別于傳統(tǒng)圖像的另一類重要圖像，由于傳統(tǒng)單視點(diǎn)相機(jī)模型不能正確描述其成像原理，水下圖像三維重構(gòu)的研究近幾年逐漸引起計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域的高度關(guān)注［2-3］.文獻(xiàn)［4］的研究表明，由于水下圖像成像過(guò)程中，光線傳播經(jīng)過(guò)多種折射率不相同的介質(zhì)，因此水下圖像存在折射變形，而且這種變形從理論上來(lái)說(shuō)無(wú)法使用徑向變形等常見(jiàn)圖像變形模型來(lái)刻畫(huà).因此，傳統(tǒng)基于單視點(diǎn)的方法導(dǎo)致水下三維重構(gòu)結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重的變形［4］.為此，研究人員提出了新的折射相機(jī)模型對(duì)折射成像過(guò)程進(jìn)行準(zhǔn)確的建模，并在此基礎(chǔ)上提出了相應(yīng)的水下圖像三維重構(gòu)方法［3］.但總的來(lái)說(shuō)，基于折射相機(jī)模型的基本矩陣計(jì)算、三角化及稠密匹配等核心三維重構(gòu)算法遠(yuǎn)不及基于單視點(diǎn)相機(jī)模型的算法成熟，導(dǎo)致水下三維重構(gòu)仍然面臨較大挑戰(zhàn).現(xiàn)有基于折射相機(jī)模型的水下相機(jī)標(biāo)定及三維場(chǎng)景結(jié)構(gòu)計(jì)算的效率較低、實(shí)用性不夠.比如:為了計(jì)算兩個(gè)水下相機(jī)的相對(duì)姿態(tài)，文獻(xiàn)［5］的方法耗時(shí)以小時(shí)計(jì);文獻(xiàn)［4，6-8］的方法需要在水下安裝已知形狀和尺寸的棋盤格標(biāo)定板，無(wú)法實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化標(biāo)定;文獻(xiàn)［3］的方法則需要利用運(yùn)動(dòng)感應(yīng)設(shè)備獲取相機(jī)姿態(tài)的先驗(yàn)信息.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種基于單視點(diǎn)調(diào)節(jié)相機(jī)模型的水下多視圖三維重構(gòu)方法.具體來(lái)說(shuō)，本文深入分析研究單視點(diǎn)調(diào)節(jié)模型對(duì)水下圖像折射變形的補(bǔ)償能力，在此基礎(chǔ)上提出一種高效、自動(dòng)而且無(wú)需標(biāo)定板的水下圖像三維重構(gòu)方法.此外，通過(guò)重構(gòu)有效性、重構(gòu)誤差等定量指標(biāo)對(duì)本文方法在水下多視圖三維重構(gòu)的性能進(jìn)行了考察驗(yàn)證.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法可以有效補(bǔ)償水下圖像折射變形，進(jìn)而提高傳統(tǒng)基于單視點(diǎn)相機(jī)模型的水下多視圖三維重構(gòu)質(zhì)量.

1 水下相機(jī)及其成像過(guò)程建模

1.1 水下相機(jī)的構(gòu)成

一般的水下拍攝系統(tǒng)構(gòu)成如圖1所示.通常將普通相機(jī)放在密閉的防護(hù)罩內(nèi)，然后將該裝置安裝在水下環(huán)境，相機(jī)透過(guò)平面玻璃窗口觀察水下場(chǎng)景.在小孔成像模型中(單視點(diǎn)相機(jī)模型)，所有場(chǎng)景點(diǎn)對(duì)應(yīng)的光線交匯于一點(diǎn)，即光心.但在水下系統(tǒng)中，由于光線在空氣-玻璃以及玻璃-水兩個(gè)交界面發(fā)生折射，因此各場(chǎng)景點(diǎn)對(duì)應(yīng)的光線并不匯聚在相機(jī)的中心，水下相機(jī)是一種典型的多視點(diǎn)相機(jī).

圖1 典型水下相機(jī)構(gòu)成Fig.1 Components of a typical underwater camera

1.2 水下相機(jī)成像過(guò)程建模

不失一般性，本文分析考察二維情況，并假設(shè)折射界面與圖像成像平面平行.非平行界面情況下，只需要旋轉(zhuǎn)相機(jī)即可.圖1所示水下相機(jī)二維成像過(guò)程如圖2所示.相機(jī)的中心位于c(0，0).對(duì)于場(chǎng)景點(diǎn)xo水下相機(jī)模型下的圖像點(diǎn)為xa(ra，f)，傳統(tǒng)單視點(diǎn)相機(jī)下的成像點(diǎn)為xp，下面推導(dǎo)分析xa與xp之間的關(guān)系.記光線空氣-玻璃折射界面交于xg(rg，zg)(如圖2所示)，其坐標(biāo)分量為

式中:f為相機(jī)的焦距;da為相機(jī)中心到空氣-玻璃折射界面的距離.獲得xg后，光線與玻璃-水折射界面的交點(diǎn) xw(rw，zw)可由 Snell折射定理確定［9］:

式中:na和ng分別為空氣和玻璃的折射率;θa和θg分別為xo對(duì)應(yīng)的光線在空氣中的部分和在玻璃中的部分與玻璃折射層法線的夾角.式(2)中的三角函數(shù)為

式中:dg為玻璃折射層的厚度.

圖2 水下相機(jī)成像過(guò)程二維示意圖Fig.2 2D illustration for imaging process of an underwater camera

聯(lián)立式(2)與式(3)可得xw的坐標(biāo):

記場(chǎng)景點(diǎn)距離水-玻璃折射界面的距離為dw，獲得rw之后進(jìn)一步計(jì)算出場(chǎng)景點(diǎn)ro分量與rw的關(guān)系.該過(guò)程需要求解方程組:

式中:nw為水的折射率，θw為xo對(duì)應(yīng)的光線在水中的部分與玻璃折射層法線的夾角.由式(5)可知，xo的坐標(biāo)為

其中:

由于在單視點(diǎn)相機(jī)模型下，xo在圖像平面上的投影為

式中:p(xo)為xo的投影函數(shù).

因此，xp最終可以轉(zhuǎn)化為xa，參數(shù)向量Θs=［f dadgdwro］T，以及折射率向量 Θn=［nangnw］T的函數(shù).在第 1.2 節(jié)中，對(duì)于給定的圖像點(diǎn)xa，與單視點(diǎn)相機(jī)成像相比，二者的差異(即折射變形大小)為

2 單視點(diǎn)調(diào)節(jié)相機(jī)模型及三維重構(gòu)方法

2.1 單視點(diǎn)調(diào)節(jié)相機(jī)模型折射變形補(bǔ)償

為了補(bǔ)償折射變形，本文考察一種單視點(diǎn)調(diào)節(jié)相機(jī)模型，該模型通過(guò)同時(shí)調(diào)節(jié)相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)和外部參數(shù)來(lái)對(duì)折射變形進(jìn)行描述和補(bǔ)償.對(duì)于內(nèi)部參數(shù)，本文考慮變焦圖像空間徑向模型.徑向變形模型是一種圖像空間變形模型，其基本假設(shè)［1］是:離圖像中心越遠(yuǎn)的圖像點(diǎn)的變形程度越大，而且變形后的圖像點(diǎn)與原圖像點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系可以采用多項(xiàng)式逼近.本文變焦圖像空間徑向模型假定水下圖像坐標(biāo)ra與原始未變形圖像坐標(biāo)r'p之間存在簡(jiǎn)化對(duì)應(yīng)關(guān)系［1］:

其中，可調(diào)節(jié)變量包括相機(jī)焦距f，以及調(diào)節(jié)常系數(shù) k1與 k2，參數(shù)向量 Θ's=(f，k1，k2)T共同決定形變補(bǔ)償?shù)某潭?p'(r'p)表示原始未變形坐標(biāo)r'p的徑向變形大小.由式(10)可知.在變焦圖像空間徑向變形模型下，任意水下圖像坐標(biāo)ra對(duì)應(yīng)的未變形圖像點(diǎn)r'p通過(guò)求解關(guān)于r'p的一元五次方程式(11)來(lái)獲取.

該模型下的圖像變形記為

由于第2.1節(jié)變形為圖像空間變形，不涉及相機(jī)姿態(tài)信息的調(diào)節(jié).考慮到基于圖像的三維重構(gòu)僅恢復(fù)場(chǎng)景的度量信息，而不關(guān)注場(chǎng)景的絕對(duì)姿態(tài)和尺寸，因此本文通過(guò)調(diào)節(jié)相機(jī)外部參數(shù)來(lái)進(jìn)一步對(duì)折射變形進(jìn)行描述和補(bǔ)償.外部參數(shù)調(diào)節(jié)基于:對(duì)三維場(chǎng)景施加合適的相似變換后，結(jié)合鏡頭鏡像畸變矯正和焦距調(diào)節(jié)，單視點(diǎn)相機(jī)模型可以更加準(zhǔn)確的近似折射變形，這是使用單視點(diǎn)相機(jī)模型獲取高精度水下三維重建的前提.實(shí)際應(yīng)用中，由于三維場(chǎng)景的優(yōu)化不受任何約束，這種近似可能導(dǎo)致三維重建變形，但是從本文后續(xù)實(shí)驗(yàn)研究表明，這種變形在多視圖情形中并不明顯.

以二維情形為例，設(shè)T2為一個(gè)二維相似變換操作，相機(jī)姿態(tài)調(diào)整后，場(chǎng)景點(diǎn)xo的位置變換為

其中，相似變換T2由非零常數(shù)因子s、二維旋轉(zhuǎn)矩陣R2以及二維平移向量t2共同決定.在傳統(tǒng)單視點(diǎn)相機(jī)模型下，施加相似變換后ra對(duì)應(yīng)的未變形圖像坐標(biāo)為

因此，通過(guò)內(nèi)部、外部參數(shù)調(diào)節(jié)后，未能補(bǔ)償形變量為

為了驗(yàn)證第2.1節(jié)折射變形補(bǔ)償方法的合理性，根據(jù)第1.2節(jié)水下相機(jī)成像過(guò)程計(jì)算了一個(gè)典型配置(f=800，da=100，dg=10，dw=400)下的折射變形及折射變形補(bǔ)償結(jié)果.圖3為不同相機(jī)模型的折射變形補(bǔ)償能力，基于單純變焦徑向圖像變形模型與本文單視點(diǎn)調(diào)節(jié)相機(jī)模型的補(bǔ)償結(jié)果分別如圖3(a)及圖3(b)所示.顯然，E″遠(yuǎn)小于因此本文調(diào)節(jié)相機(jī)模型可以取得較好的補(bǔ)償效果.

圖3 不同相機(jī)模型的折射變形補(bǔ)償能力Fig.3 Ability of different cameramodels in compensating for refractive distortion

2.2 水下圖像三維重構(gòu)算法

本節(jié)單視點(diǎn)調(diào)節(jié)相機(jī)模型的基礎(chǔ)上提出水下圖像三維重構(gòu)算法.由于單視點(diǎn)調(diào)節(jié)相機(jī)模型涉及相機(jī)內(nèi)、外多個(gè)參數(shù)的調(diào)節(jié)優(yōu)化.假定三維場(chǎng)景點(diǎn)的數(shù)據(jù)量為N，各水下圖像點(diǎn)記為ria(1≤i≤N)，本文采用多步優(yōu)化重建框架:

1)在不考慮變形因素的情況下利用傳統(tǒng)三維重構(gòu)方法［10］獲取相機(jī)初始內(nèi)部參數(shù)以及場(chǎng)景的初始結(jié)構(gòu).

2)利用非線性優(yōu)化調(diào)節(jié)內(nèi)部參數(shù)，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

3)利用非線性優(yōu)化調(diào)節(jié)外部參數(shù)，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

5)考察均方根重投影誤差，若大于閾值(本文取0.5像素)，則轉(zhuǎn)至步驟2);否則，輸出調(diào)解相機(jī)模型參數(shù)和三維場(chǎng)景結(jié)構(gòu)，結(jié)束.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)配置和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為了對(duì)本文方法進(jìn)行評(píng)估，本文采用合成數(shù)據(jù)和真實(shí)圖像數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行了定性和定量測(cè)試.算法編碼實(shí)現(xiàn)采用C++語(yǔ)言，非線性優(yōu)化方法基于開(kāi)源集束優(yōu)化(bundle adjustment)實(shí)現(xiàn)［11］.本節(jié)所有實(shí)驗(yàn)均在Microsoft Windows XP操作系統(tǒng)下開(kāi)展，測(cè)試用計(jì)算機(jī)的處理器為 Intel Core i7-3770 3.4GHz CPU，內(nèi)存容量為 2GB.

本文方法的性能與如下兩種重構(gòu)方法進(jìn)行對(duì)比:①不采取任何變形補(bǔ)償方法，直接在傳統(tǒng)固定單視點(diǎn)模型下進(jìn)行重構(gòu)(記為固定單視點(diǎn));②利用徑向圖像變形模型補(bǔ)償折射變形(記為徑向變形).為了確保實(shí)驗(yàn)對(duì)比的公平性，上述兩種對(duì)比方法以及本文方法均基于文獻(xiàn)［10］提供的框架編碼實(shí)現(xiàn)，而且系統(tǒng)初始化均只需要指定初始焦距長(zhǎng)度(3種方法均采用相同的初始焦距取值).定量實(shí)驗(yàn)主要對(duì)比分析三維重構(gòu)結(jié)果的有效性和精度.其中，有效性指的是重構(gòu)的三維場(chǎng)景誤差低于某一閾值(本文取場(chǎng)景包圍盒最大邊長(zhǎng)的1%)的三維點(diǎn)所占的比例;精度指的是有效三維場(chǎng)景點(diǎn)的均方根誤差.

在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)方面，水下合成圖像采用光線跟蹤算法生成［12］，真實(shí)圖像通過(guò)虛擬相機(jī)觀察放在水中的3個(gè)裝飾模型獲得.合成數(shù)據(jù)圖像分辨率為640像素 ×480像素，虛擬相機(jī)的焦距為600像素，虛擬場(chǎng)景的包圍盒長(zhǎng)度為1個(gè)單位.圖4為水下圖像數(shù)據(jù)采集.其中，生成合成數(shù)據(jù)的裝置和合成數(shù)據(jù)樣張分別如圖4(a)和圖4(b)所示.真實(shí)數(shù)據(jù)圖像分辨率為1 032像素×776像素，相機(jī)的焦距為1 800像素，分別采用了海螺、古寺、拱門等3個(gè)模型(如圖4(c)所示).虛擬成像和真實(shí)數(shù)據(jù)采集中，相機(jī)排布均呈環(huán)狀，且相機(jī)指向被觀察物體.

圖4 水下圖像數(shù)據(jù)采集Fig.4 Underwater images data collection

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本節(jié)首先定性對(duì)比重構(gòu)結(jié)果.圖5為不同方法在不同輸入圖像數(shù)量條件下的性能比較.其中，圖5(a)與圖5(b)分別為徑向變形方法及本文方法的重構(gòu)結(jié)果(黑色為標(biāo)準(zhǔn)模型，灰色為重構(gòu)模型).本實(shí)驗(yàn)使用的視圖數(shù)量為16幅.從圖5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，由于水下圖像包含折射變形，因此無(wú)法使用徑向變形方法來(lái)進(jìn)行多視圖三維重構(gòu)，而本文方法則可對(duì)折射進(jìn)行有效補(bǔ)償，進(jìn)而有效消除三維重構(gòu)結(jié)果的變形.注意，固定單視點(diǎn)方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與徑向變形方法相比，三維重構(gòu)結(jié)果的扭曲程度更加明顯，故此處予以省略.

圖6為基于合成數(shù)據(jù)的定量對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從有效性(見(jiàn)圖6(a))和重建誤差(見(jiàn)圖6(b))兩方面考查不同方法的三維重構(gòu)性能與輸入圖像數(shù)量之間的關(guān)系.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文三維重構(gòu)方法的性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)固定單視點(diǎn)方法和徑向變形方法，且使用較多的水下圖像可以提升三維重構(gòu)的精度.

圖5 合成水下圖像三維重構(gòu)結(jié)果Fig.5 Results of 3D reconstruction using synthetic underwater images

圖6 不同方法在不同輸入圖像數(shù)量條件下的性能比較Fig.6 Performance comparison among different methods with varying number of input images

真實(shí)圖像的定量實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示.本實(shí)驗(yàn)使用的視圖數(shù)量為:海螺、古寺32幅，拱門8幅.由于真實(shí)模型的尺寸可以測(cè)量，因此重建誤差可以mm為單位進(jìn)行度量.真實(shí)圖像的定量實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，表中最優(yōu)結(jié)果加粗顯示.表1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文單視點(diǎn)調(diào)節(jié)模型與傳統(tǒng)方法相比，可提升三維重構(gòu)結(jié)果的有效性，并可顯著降低三維重構(gòu)誤差.上述結(jié)論與合成數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合.

表1 真實(shí)圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of experimental results on real images

4 結(jié)論

本文基于單視點(diǎn)調(diào)節(jié)模型的多視圖水下三維重構(gòu)方法可有效補(bǔ)償折射變形，進(jìn)而顯著提升傳統(tǒng)基于單視點(diǎn)相機(jī)模型的多視圖水下三維重構(gòu)質(zhì)量，具有較好的實(shí)用性.其優(yōu)點(diǎn)為:

1)無(wú)需安裝標(biāo)定板或其他姿態(tài)感應(yīng)輔助設(shè)備，而且算法執(zhí)行過(guò)程可實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化.

2)本文所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)單個(gè)模型重構(gòu)過(guò)程耗時(shí)在10min以內(nèi).

本文方法的不足是本文未采用嚴(yán)格的折射相機(jī)模型而是采用一種近似相機(jī)模型，因此在圖像數(shù)量較少的情況下重構(gòu)效果不佳(見(jiàn)圖6).

顯然，高精度水下圖像三維重構(gòu)是計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，相關(guān)算法的靈活性和實(shí)用性遠(yuǎn)未達(dá)到陸上圖像三維重構(gòu)方法的成熟程度.下一步工作中，擬從水下圖像增強(qiáng)、水下相機(jī)標(biāo)定、基于水下圖像三維重構(gòu)的定位與識(shí)別等多方面繼續(xù)開(kāi)展深入研究.此外，擬采用更加高效的優(yōu)化方法進(jìn)一步提升重建效率［13-16］.

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