沈作軍，朱國棟

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191)

再入制導(dǎo)是指通過在線產(chǎn)生指令引導(dǎo)具有一定升力能力的再入飛行器從當(dāng)前狀態(tài)安全到達(dá)指定終端狀態(tài)的過程［1］.再入制導(dǎo)的核心是通過有效控制耗散能量，并滿足過程物理約束和終端狀態(tài)約束.飛行器一般為無動力再入，必須一次成功;同時要求制導(dǎo)律能夠適應(yīng)初始再入狀態(tài)、氣動、風(fēng)場等方面的不確定性及可能的任務(wù)改變、終止或控制能力減弱的情形.

再入制導(dǎo)中的一類重要算法是軌跡跟蹤制導(dǎo)，包括參考軌跡設(shè)計和軌跡跟蹤兩部分.制導(dǎo)律通過比較當(dāng)前狀態(tài)和參考軌跡之間的偏差產(chǎn)生迎角和傾側(cè)角指令.軌跡跟蹤制導(dǎo)以航天飛機(jī)的再入制導(dǎo)律為典型代表［2］.航天飛機(jī)制導(dǎo)律設(shè)計包括參考阻力加速度剖面設(shè)計和在線的參考剖面跟蹤.規(guī)劃阻力參考剖面時主要考慮到縱程要求和滿足過程約束.但實際上在規(guī)劃時往往耗時耗力，參數(shù)需要反復(fù)試湊，在實際飛行和地面任務(wù)設(shè)計相差較大時，飛行器甚至可能無法安全返回.

為了提高再入制導(dǎo)的自主性和適應(yīng)性，近年來專家學(xué)者們提出了多種再入?yún)⒖架壽E的在線生成方法.文獻(xiàn)［3］利用“擬平衡滑翔條件”將過程約束轉(zhuǎn)換為對速度滾轉(zhuǎn)角的約束，將非線性軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為順序進(jìn)行兩次單參數(shù)搜索問題，能夠快速生成滿足所有約束條件的三自由度軌跡.文獻(xiàn)［4］研究了最優(yōu)阻力加速度剖面的在線生成方法，避免了地面的離線規(guī)劃.文獻(xiàn)［5］提出了在阻力加速度剖面規(guī)劃參考軌跡，同時考慮到縱程和橫程要求的軌跡快速生成算法.一旦在線參考軌跡生成，需要研究如何實現(xiàn)對參考軌跡的精確跟蹤.應(yīng)用于航天飛機(jī)阻力剖面跟蹤的反饋線性化方法是軌跡跟蹤的基準(zhǔn)控制算法.文獻(xiàn)［6］給出了一種近似反饋線性化方法，對三維軌跡的跟蹤轉(zhuǎn)換為對橫程和縱程的跟蹤，但僅對無拉偏的理想情況做了分析;反饋線性化方法在模型存在較大不確定性時(如驗證飛行時)，非線性項無法進(jìn)行精確對消，控制性能將變差甚至可能失穩(wěn).線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator，LQR)控制由于反饋增益可以采用誤差狀態(tài)的線性反饋控制律構(gòu)成最優(yōu)閉環(huán)，設(shè)計時能夠考慮允許的狀態(tài)偏差和控制量偏差等多個指標(biāo)，在參數(shù)不確定的情況下閉環(huán)系統(tǒng)也具有一定魯棒性，在多入多出系統(tǒng)的控制方面獲得了較多應(yīng)用.文獻(xiàn)［7］指出，基于LQR方法計算得到的反饋增益對于同一飛行器能夠適用于不同再入?yún)⒖架壽E的跟蹤，且對初始條件的拉偏具有較好的魯棒性;離線生成的最優(yōu)增益具有在線應(yīng)用于軌跡跟蹤的潛力.但文獻(xiàn)同時指出，LQR控制效果和精度依賴于參考軌跡特性，特別當(dāng)軌跡傾角較陡時，跟蹤精度將明顯降低.文獻(xiàn)［8］提出了一種封閉形式的近似滾動時域控制(Receding Horizon Control，RHC)方法，避免了在線積分和顯式的增益調(diào)度;相比LQR方法，滾動時域控制對權(quán)重矩陣參數(shù)的選取較不敏感;方法能夠?qū)崿F(xiàn)三維軌跡的精確跟蹤并能理論上保證閉環(huán)穩(wěn)定性，但預(yù)測步長較多時計算量稍大.

軌跡線性化控制(Trajectory Linearization Control，TLC)方法是一種基于微分代數(shù)譜理論的非線性控制方法，在NASA先進(jìn)制導(dǎo)控制項目中被成功應(yīng)用于X-33的上升段姿控系統(tǒng)設(shè)計［9］.本文將TLC方法在升力體飛行器設(shè)計中的應(yīng)用從姿態(tài)回路擴(kuò)展到制導(dǎo)回路，并結(jié)合利用“擬平衡滑翔條件”的在線軌跡生成算法［3］，提出了一種基于TLC理論的再入軌跡跟蹤制導(dǎo)律.TLC方法利用再入飛行器固有時間尺度分離的特點，將控制變量進(jìn)行有效降階，在高度環(huán)路和速度環(huán)路分別利用閉環(huán)譜配置對跟蹤誤差進(jìn)行鎮(zhèn)定，并能保證指數(shù)穩(wěn)定性.新制導(dǎo)律通過與基于LQR和近似滾動時域控制的制導(dǎo)方法進(jìn)行比較并經(jīng)過三自由度蒙特卡羅拉偏仿真進(jìn)行驗證，證明了其有效性.

1 制導(dǎo)問題描述

1.1 再入動力學(xué)方程

滑翔再入飛行器相對旋轉(zhuǎn)正地球的三自由度無量綱質(zhì)點動力學(xué)方程［10］為

1.2 再入軌跡約束條件

再入軌跡需要滿足的約束包括過程約束和終端約束.常見的過程約束包括熱流、動壓q和法向過載約束nz，

距著陸場一段距離時飛行器將進(jìn)入末端能量管 理 段 (Terminal Area Energy Management，TAEM).再入段和TAME段在交接班時需滿足一定的終端約束，包括高度約束rf、速度約束vf、航程約束sf和傾側(cè)角約束σf，

式中:rTAEM、VTAEM和sTAEM分別為TEAM時的r、V和s，s為航程;σTAEM為交接班時允許的σ最大值.

1.3 飛行器模型

通用航空飛行器(Common Aero Vehicle-H，CAV-H)［11］是一種亞軌道升力體式再入飛行器，最大升阻比約為3.5.CAV-H由于升阻較大，機(jī)動能力強(qiáng)，能夠?qū)崿F(xiàn)較高的落點精度，且能從多種武器平臺發(fā)射，因而和Hypersonic Technology Vehicle-2(HTV-2)一樣作為美國未來實現(xiàn)全球打擊的戰(zhàn)略武器.本文以CAV-H模型為對象進(jìn)行再入段設(shè)計.

1.4 參考軌跡分析

文獻(xiàn)［3］將再入軌跡設(shè)計分為3段(如圖1所示):初始下降段、擬平衡滑翔段和Pre-TAEM段.初始下降段的主要作用是通過軌跡積分預(yù)測，引導(dǎo)飛行器進(jìn)入再入走廊并保證與擬平衡滑翔段光滑銜接.擬平衡滑翔段是再入飛行的主要階段，這一階段的特點是軌跡傾角較小(＜－1°)且變化較慢.對于低升阻比飛行器如X-33和X-38，再入飛行末段即Pre-TAEM段，這一段升力不足以維持平緩的滑翔飛行，軌跡傾角變化較為劇烈.對于高升阻比飛行器如航天飛機(jī)，文獻(xiàn)［3］提出的“擬平衡滑翔條件”直到再入末端仍然可以較好滿足，可以不再劃分Pre-TAEM段.基于文獻(xiàn)［3］提出的算法生成的參考軌跡可以滿足第1.2節(jié)給出的動力學(xué)方程組(式(1))和所有軌跡約束條件.

圖1 再入軌跡的構(gòu)成Fig.1 Composition of entry trajectory

本文研究針對實現(xiàn)以Pre-TAEM狀態(tài)為終端條件的擬平衡滑翔段縱向參考軌跡的精確跟蹤.在參考軌跡跟蹤時，將傾側(cè)角作為主要控制量;考慮到配平要求和熱流限制，迎角剖面預(yù)先給定為某一隨馬赫數(shù)變化的函數(shù)，并對偏離給定迎角剖面的最大值給出限制.

2 軌跡跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 TLC 理論

TLC(其概念如圖2所示)結(jié)構(gòu)由兩部分組成:通過非線性模型偽逆求得給定標(biāo)稱輸出)對應(yīng)的標(biāo)稱控制量，以粗略對消系統(tǒng)的非線性，并將一般的軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為在誤差坐標(biāo)系的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題，上方帶“－”的變量為變量的標(biāo)稱值;將非線性時變誤差動力學(xué)方程組線性化，通過李雅普諾夫坐標(biāo)變換將一般的線性時變方程組轉(zhuǎn)化為線性時變系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)型，并通過配置Parallel Differential Spectrum(PD譜)對誤差動態(tài)進(jìn)行鎮(zhèn)定.反饋控制項由時變鎮(zhèn)定控制器產(chǎn)生，并可寫為狀態(tài)誤差量的線性反饋形式.上方帶“～”的變量為變量的狀態(tài)誤差量.非線性模型中的 ξ(t)、μ(t)、η(t)和 θ(t)分別為狀態(tài)、輸入、輸出和時變參數(shù)向量.f(·)和g(·)為非線性向量函數(shù).關(guān)于非線性偽逆和PD譜配置的理論見文獻(xiàn)［12］.

TLC對跟蹤誤差信號可以保證指數(shù)穩(wěn)定性，閉環(huán)系統(tǒng)對正則擾動及奇異攝動都有很好的適應(yīng)性.

圖2 TLC概念圖Fig.2 Conceptual configuration of TLC

2.2 環(huán)路劃分和獨立變量的選取

飛行器動力學(xué)不同狀態(tài)變量在時間尺度上存在明顯差異這一事實在航空航天領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用于軌跡優(yōu)化、控制律設(shè)計和系統(tǒng)分析中［13-15］.利用時間尺度分離的特性，控制設(shè)計展現(xiàn)出的優(yōu)勢是可以減小控制變量個數(shù)并避免積分時由于不同變量變化速率不同帶來的剛性數(shù)值問題.

TLC的控制策略是基于奇異攝動理論中的時間尺度分離思想，將全量、剛體的飛行器動力學(xué)模型分為2個回路，即制導(dǎo)回路(其TLC結(jié)構(gòu)如圖3所示，帶角標(biāo)C的變量為環(huán)路的控制輸出)和姿態(tài)回路;4個環(huán)路，對應(yīng)高度(極慢動態(tài))、速度(慢動態(tài))、姿態(tài)角(較慢動態(tài))和姿態(tài)角速率(快動態(tài))環(huán)路，分別進(jìn)行設(shè)計.本文分析僅涉及包含高度、速度環(huán)路的制導(dǎo)回路設(shè)計.

圖3 制導(dǎo)回路TLC結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Configuration of TLC in guidance loop

在軌跡跟蹤制導(dǎo)中，當(dāng)獨立變量從與狀態(tài)無關(guān)的時間變?yōu)榕c狀態(tài)相關(guān)的單調(diào)變量時可以減小狀態(tài)方程維數(shù)并增加控制的魯棒性［7］.兩個可取的與時間相關(guān)的單調(diào)變量為能量e和已飛地球大圓距離sTravel(即為已飛航程).本文選取sTravel為獨立變量，認(rèn)為軌跡在線生成后儲存為以sTravel為獨立變量的數(shù)表;能量為獨立變量時的控制器設(shè)計是相似的.

2.3 高度環(huán)路設(shè)計

在高度環(huán)路，軌跡傾角相對于高度變化是快動態(tài)，故將軌跡傾角取作高度控制的虛擬控制量.由于參考軌跡中包含了滿足縱向動力學(xué)約束的軌跡傾角信息，故可直接從參考軌跡中取得高度環(huán)路的標(biāo)稱控制量.為了改善穩(wěn)態(tài)性能和提高對模型不確定性和擾動的魯棒性，采用比例積分控制，狀態(tài)變量及其標(biāo)稱值分別為:反饋控制量為，標(biāo)稱值為定義狀態(tài)誤差量為獨立變量，對狀態(tài)的積分和求導(dǎo)都應(yīng)對sTravel進(jìn)行.sTravel對時間的導(dǎo)數(shù)為

式中:Δψ為速度航向角和視線角的夾角.當(dāng)再入任務(wù)要求飛行較大橫程時，保留Δψ項并根據(jù)飛行任務(wù)取Δψ=5°～10°將一定程度上補(bǔ)償用地球大圓近似已飛航程的偏差影響.將d(·)/d sTravel記為(·)'，則高度對航程的導(dǎo)數(shù)為

狀態(tài)誤差量的線性化方程為

期望配置的閉環(huán)誤差動態(tài)(以下將sTravel簡寫為s)為

式中:αijl為閉環(huán)動態(tài)矩陣參數(shù)，下標(biāo) i、j和 l分別為環(huán)路數(shù)、解耦后環(huán)路的第j個子動態(tài)和子動態(tài)的第l個參數(shù).

2.4 速度環(huán)路設(shè)計

速度環(huán)路迎角和傾側(cè)角相對速度和彈道傾角的變化是快動態(tài)，因而作為速度和彈道傾角跟蹤的控制量.與高度環(huán)路相同，標(biāo)稱迎角α－和傾側(cè)角指令同樣可直接從參考軌跡中取得.采用比例積分控制，系統(tǒng)狀態(tài)變量及其標(biāo)稱值分別為

狀態(tài)誤差量為

式中:A2和B2分別為速度環(huán)路的狀態(tài)矩陣和控制矩陣.

式中:DV和LV分別為D和L對V的導(dǎo)數(shù);Dα和Lα分別為D和L對α的導(dǎo)數(shù).

期望配置的閉環(huán)動態(tài)誤差為

閉環(huán)二的反饋控制量為

式中:

注意到當(dāng)標(biāo)稱傾側(cè)角為零，不能滿足PD譜配置關(guān)于控制矩陣必須列滿秩的條件［9］.但在基于“擬平衡滑翔條件”的在線軌跡設(shè)計中，為防止傾側(cè)角控制飽和，沿軌跡的標(biāo)稱傾側(cè)角都不接近于零(文獻(xiàn)［9］中圖8虛線)，因此使用基于TLC的跟蹤制導(dǎo)律不存在障礙.

3 控制器參數(shù)設(shè)置與調(diào)整

兩環(huán)路配置的閉環(huán)動態(tài)矩陣中的參數(shù)αijl(s)，i=1，2，j=1，2，l=1，2 是通過閉環(huán)二階PD譜得到

式中:ξij為常值阻尼比;ωnij為時變帶寬.文獻(xiàn)［12］指出，以時間自變量的誤差系統(tǒng)，當(dāng)t＞0時，滿足ξij(t)＞0，ωnij(t)＞0時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定;sTravel作為單調(diào)變量，證明中作符號替換，同理可證誤差系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.控制系統(tǒng)在設(shè)計時是基于時間尺度分離方法，要求內(nèi)環(huán)路的帶寬相對于外環(huán)路要充分大，以滿足奇異攝動理論的要求.

二階PD譜阻尼和自然頻率的意義可以參考二階線性定常系統(tǒng):阻尼比決定超調(diào)量，自然頻率決定響應(yīng)速度、控制用量和有限時間內(nèi)的控制精度，參數(shù)和控制響應(yīng)有直接對應(yīng)關(guān)系.阻尼比調(diào)參可從二階系統(tǒng)最佳阻尼比0.7開始，并根據(jù)實際時域響應(yīng)情況適當(dāng)增大阻尼比.對于以時間為自變量跟蹤的制導(dǎo)律，速度環(huán)路的自然頻率可以取為姿態(tài)角環(huán)路頻率的1/5～1/3;高度環(huán)路也取為速度環(huán)路頻率的1/5～1/3;環(huán)路自然頻率初值的選取可參考飛行器本體長短周期的模態(tài)頻率.

隨著距目標(biāo)點距離的減小，速度減小，對飛行器高度和速度控制精度的要求提高;而在再入中間過程中又不希望過短的調(diào)節(jié)時間要求導(dǎo)致翻轉(zhuǎn)過程中傾側(cè)角的超調(diào)過大.為更好兼顧過程飛行和終端約束的要求，兩環(huán)路自然頻率取為無量綱速度的線性函數(shù)形式(見表1).

表1 高度和速度環(huán)路參數(shù)Table 1 Altitude and velocity sub-loop parameters

4 仿真驗證

這里用LQR方法和滾動時域控制作為基準(zhǔn)控制方法與TLC的控制效果進(jìn)行比較.LQR方法和滾動時域控制方法所用小擾動方程也是以sTravel為自變量線性化得到的.LQR方法用迎角、傾側(cè)角跟蹤高度、軌跡傾角和速度.

LQR權(quán)重矩陣按文獻(xiàn)［7］中的偏差量原則選取，其中 Q=diag［4 ×109，2.5 ×106，3.28 ×105］，R=diag［3.28 ×103，25］.滾動時域控制用迎角和傾側(cè)角鎮(zhèn)定高度和速度偏差，權(quán)重矩陣取為Q'=diag［1，1］，R'=diag［100，0.1］.初始再入時步長取h=0.006，線性過渡到再入末端時的h=0.0045，步數(shù)N=7.側(cè)向制導(dǎo)律使用航向角誤差漏斗邏輯［2］.為更好地對比不同控制方法高度和速度跟蹤精度，仿真截止條件取為2 300m/s的Pre-TAEM速度對應(yīng)的sTravel(這里統(tǒng)一取為距離TAEM 300 km)，并要求飛行器大致指向目標(biāo).

三自由度拉偏仿真的設(shè)置條件見表2，但為了統(tǒng)一仿真終端的參考高度和速度，對比三種控制方法時未對再入初始條件進(jìn)行拉偏，使用相同的參考軌跡.為了更好顯示不同控制方法終端速度-高度的分布情況，分別選取了前40條彈道的打靶結(jié)果顯示在圖 4中，靶心為 2 281 m/s，35.51 km.這里滾動時域控制高度跟蹤稍差于LQR方法，但速度控制略優(yōu)于LQR方法，兩種控制方法效果整體相當(dāng);TLC方法的速度和高度落點更集中，略優(yōu)于其他兩種控制方法的精度.圖5～圖8是加入了初始條件拉偏后的TLC方法對參考軌跡的跟蹤情況.可以看到，TLC方法對于不同參考軌跡也能實現(xiàn)精確跟蹤.

與LQR方法相比，TLC方法具有更寬的適應(yīng)范圍，其原因在于基于LQR的增益調(diào)度方法需要求解Riccati方程，通常難以實時求得最優(yōu)反饋增益，一般只能根據(jù)設(shè)計好的參考軌跡離線計算獲得后存儲于制導(dǎo)計算機(jī).為了適應(yīng)不同的參考軌跡，只能在地面離線生成多組增益，應(yīng)用時需要根據(jù)實際采用的參考軌跡來選用對應(yīng)的制導(dǎo)反饋增益.由于設(shè)計中通常無法考慮所有的非理想情形，因此采用這類制導(dǎo)律設(shè)計具有潛在的風(fēng)險.而TLC方法不依賴于參考軌跡，反饋增益可以符號化表示為參考軌跡的函數(shù)，并只需計算簡單的代數(shù)式，所需的有限計算量遠(yuǎn)小于求解Riccati方程和滾動時域控制方法.此外，TLC方法的跟蹤精度和增益大小與無量綱自然頻率直接相關(guān);對于參考軌跡的不同階段或差別較大的參考軌跡，通過在線改變不同環(huán)路自然頻率的數(shù)值(同時保證環(huán)路間帶寬的分離)即可實現(xiàn)期望的控制效果;另外，TLC方法需要調(diào)整的參數(shù)數(shù)量很少且調(diào)整的方向性非常明確.這些區(qū)別使得TLC方法不僅可以適應(yīng)更寬范圍的再入飛行制導(dǎo)任務(wù)，而且與軌跡在線生成算法一起將可極大提高再入制導(dǎo)的自主性，適應(yīng)于應(yīng)急再入任務(wù)規(guī)劃、在線任務(wù)改變或落點調(diào)整等情形.

表2 蒙特卡羅拉偏設(shè)置Table 2 Monte Carlo dispersion settings

圖4 速度-高度剖面打靶結(jié)果Fig.4 Shooting results in velocity-altitude profile

圖5 速度-高度剖面跟蹤Fig.5 Trajectory tracking in velocity-altitude profile

圖6 航程速度剖面的速度跟蹤Fig.6 Velocity tracking in range-velocity profile

圖7 迎角控制歷程Fig.7 Angle of attack command history

圖8 傾側(cè)角控制歷程Fig.8 Bank angle command history

5 結(jié)論

本文結(jié)合在線軌跡生成算法，將TLC方法應(yīng)用于制導(dǎo)環(huán)的軌跡跟蹤控制中，與現(xiàn)有經(jīng)典的LQR方法和近似滾動時域控制的仿真對比和分析表明:

1)TLC方法在初始狀態(tài)拉偏和擾動情況下也能實現(xiàn)很高的跟蹤精度，體現(xiàn)了方法的有效性和魯棒性.

2)與LQR方法的仿真結(jié)果相比，TLC需要調(diào)整的參數(shù)更少，參數(shù)的選取更直觀，對不同參考軌跡有很好的適應(yīng)性，是一種完全在線的非線性控制方法.與近似滾動時域控制相比，TLC在控制精度略優(yōu)于前者的情況下計算量顯著減小.

3)在再入軌跡跟蹤制導(dǎo)律中使用TLC控制，可以做到制導(dǎo)環(huán)和姿態(tài)環(huán)控制結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一和設(shè)計時的一體化;高度、速度、姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的四環(huán)路TLC控制策略將更便于制導(dǎo)和控制參數(shù)的匹配和實時調(diào)整.

因此，本文提出的TLC跟蹤制導(dǎo)策略對于減少制導(dǎo)指令的解算時間，提高制導(dǎo)的自主性、適應(yīng)性和精度有一定工程意義.

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