柳劍鵬，劉明萍，陶向陽*，劉三秋

(1.江西師范大學 物理與通信電子學院，南昌330022;2.南昌大學 信息工程學院，南昌330031;3.南昌大學 物理系，南昌330047)

引 言

由強激光脈沖驅(qū)動的尾波場電子加速機制為實現(xiàn)小型化高能粒子加速器提供了新原理和新方法［1］。強激光在等離子體中的傳播特性和許多前沿科技聯(lián)系密切，如慣性約束核聚變研究［2-4］、激光等離子體加速器［5-7］、高次諧波的產(chǎn)生［8-10］、激光等離子體通道實驗設(shè)計［11-12］等。由于衍射效應，激光在等離子體中傳播一個瑞利長度后就會發(fā)散，而在許多應用中要求激光在等離子體中傳播幾個甚至幾十個瑞利長度。激光在等離子體中傳播時，部分離化的等離子體也會影響激光的穩(wěn)定傳播，如SPRANGLE等人指出的等離子體電子密度調(diào)制不穩(wěn)定性，就是由于部分離化等離子體中束縛電子作用產(chǎn)生;特別是在部分離化等離子體中，由束縛電子作用產(chǎn)生的密度調(diào)制不穩(wěn)定性會影響相對論成絲不穩(wěn)定性［13-15］。2004年，激光尾波場電子加速在實驗上取得了突破性進展，人們用TW激光器實現(xiàn)了背景等離子體電子的自注入，得到了幾十兆電子伏特準單能電子束［16-18］;當電子束運動距離大于失相長度時，電子束減速失去能量，使得能散度變大［19］，是造成無法獲得單能電子束的主要原因之一。激光脈沖穩(wěn)定傳播直接影響電子的自注入和加速過程，LEEMANS等人利用3.3cm長預等離子體通道引導的激光尾波場加速器，在實驗中獲得了GeV準單能電子束［20］。部分離化等離子體相對于完全離化等離子體研究前景更加廣闊，其對激光的傳播特性影響更為復雜。

在激光有質(zhì)動力作用下，等離子體中將產(chǎn)生電子密度擾動，形成電子等離子體波，即尾波場［14］。該密度擾動可以分為橫向和縱向兩部分:橫向部分使電子沿橫向排開，可以形成等離子體密度通道，稱為有質(zhì)動力自通道效應，這種自通道效應不但能加劇激光的自聚焦，而且能用來導引其它激光傳播［5］;縱向部分是有質(zhì)動力對激光束傳播的軸向密度擾動，可以誘導電子加速。目前，尾波場對有限長激光脈沖在部分離化等離子體中傳播特性的影響還沒有詳細的研究結(jié)果。

本文中從激光場與尾波場的耦合方程組出發(fā)，考慮了由激光有質(zhì)動力激發(fā)的尾波場和部分離化等離子體中的非線性極化強度等影響，采用變分法推導出尾波場對強激光在不完全電離等離子體中傳播時的焦斑半徑與脈沖寬度的演化方程組，經(jīng)過數(shù)值解析的方法求解，分析了尾波場對激光自聚焦效應作用強弱的影響因素。

1 激光焦斑半徑和脈沖寬度演化方程組

在稀薄的部分離化等離子體中，假定激光脈沖是沿著z方向傳播線偏振激光，并取激光脈沖歸一化矢勢為:

式中，r為激光半徑，z為傳播距離，t為激光傳播時間，k和ω分別是激光的波數(shù)和頻率，C表復數(shù)共軛，歸一化矢勢a=eA/(mc2)，A為激光場矢勢，e為單位電荷量，m為靜止狀態(tài)下電子質(zhì)量，c為光速，^x是沿x軸方向的單位矢量。

在庫侖規(guī)范▽·a=0下，運動坐標系(z，ξ=zβgct)中，假定 a(r，z，ξ)為隨激光傳播的緩變包絡復振幅，可忽略高階衍射項?2a/?z2，其中，▽為哈密頓算子，βg為歸一化群速度。激光脈沖在部分離化等離子體中傳播的耦合方程組可約化為［20-21］:

式中，R=Pa/Pp=8πχ3(mc/e)2ω4/ωp2是非線性極化強度，χ3是第3階極化率，Pp是等離子體中的相對論激光臨界功率，Pa是氣體中非線性聚焦臨界功率［20］，ωp是電磁場中等離子體振蕩頻率，δn/n0=(ne-n0)/n0是歸一化等離子體密度擾動，ne是背景等離子體密度，n0是初始等離子體密度，η0是線性折射率，kp=ωp/c是等離子體波數(shù)。(2)式為激光場的波動方程，右邊第1項包含真空衍射項，尾波場效應及相對論非線性影響，第2項是部分離化非線性效應;(2)式的左邊第4項和第5項可通過對旁軸近似的修正得出，分別表示有限脈沖長度和群速度的色散效應。(3)式為等離子體密度擾動方程，即尾波場方程。

為了求解(2)式和(3)式，取激光脈沖為徑向高斯包絡的正弦函數(shù)，其復振幅a(r，z，ξ)的試探函數(shù)可設(shè)為［21］:

式中，α，θ，as，rs和 L 分別是激光波面曲率、相移、振幅、焦斑半徑和脈沖寬度。將(4)式代入到(3)式，可得到等離子體密度擾動解析表達式，即激發(fā)的尾波場為:

對(2)式采用變分法求解，其Lagrangian密度為［21］:

將(7)式分別對 as，α，rs，L 變分可以得到:

式中，a0，L0和r0分別是激光脈沖初始強度(z=0)、初始脈沖寬度和初始焦斑半徑。在不考慮進一步電離的情況下，(8)式表示激光在部分離化等離子體中傳播時功率守恒，且由其可知，(常數(shù))。(9)式說明了波面曲率α與焦斑半徑rs的關(guān)系。(10)式和(11)式是一個脈沖寬度L和焦斑半徑rs關(guān)于激光傳播距離z的演化方程組。(10)式右邊第1項表示真空衍射對激光傳播影響，第2項包括了相對論和部分離化等離子體的非線性自聚焦及激光的縱向有質(zhì)動力激發(fā)的尾波場(longitudinal wakefield，LWF)對激光自聚焦效應的影響，第3項表示由激光的橫向有質(zhì)動力激發(fā)的尾波場(transverse wakefield，TWF)對激光自聚焦效應的影響，值得注意的是，LWF和TWF對激光脈沖都起聚焦作用。

引入歸一化量 z～其中ZR=kr02/2為瑞利長度，取參量η0≈1，令Q=1-βg2。焦斑半徑演化方程(10)式和脈沖寬度演化方程(11)式可簡化為:

由(13)式可知，激光在部分離化等離子體中傳播時初始脈沖寬度L0、初始焦斑半徑r0、非線性極化強度R(歸一化，無單位)以及等離子體密度n0不是獨立的，必須滿足一定的條件才能在其中傳播，即有:

2 數(shù)值分析

現(xiàn)在可以通過微分方程(12)式和(13)式的解來描述強激光脈沖在部分離化等離子體中的傳播特性，但由于該方程的高度非線性，求其解析解較為困難，可以通過4階Runge-Kutta法進行數(shù)值求解。定義初始條件為:，激光和等離子體初始參量為:a0=0．02，n0=0．03nc，a0是脈沖激光初始強度，nc是等離子體臨界密度。

將激光和等離子體初始參量代入(14)式可以得出L0，R以及r0的關(guān)系變化，如圖1所示，有限長激光脈沖要在部分離化等離子體中傳播，L0，r0及R不是獨立的，必須滿足一定的條件才能在其中傳播。由于激光在部分離化等離子體中傳播時功率守恒時，a0→∞，這顯然與實際不符合;取 r0≤40μm時，隨著R的增大，L0取值增大，但增大幅度不明顯;而取r0=100μm時，隨著R的增大，L0取值會急劇地增大，此時不利于分析各參量對于激光傳播過程的影響。

Fig.1 Variations of initial laser pulse length L0for different intensity of polarization nonlinearity R and initial spot size r0

為了利于各參量影響分析，令r0=40μm，進行數(shù)值求解，得到Rm=210.635時，此時激光匹配傳輸，進一步通過改變等離子體的電離程度可得到圖2，即R值不同時激光歸一化焦斑半徑 r～s和脈沖寬度 L～隨歸一化傳播距離 z～的演化關(guān)系。從圖2中可知，隨著部分離化等離子體電離程度的增大，部分離化等離子體中的激光自聚焦得到了有效的增強，而且隨著電離程度的越高，激光自聚焦現(xiàn)象越明顯。首先可以看出R＞Rm時激光自聚焦效應比R＜Rm時要大，當R＞Rm時，如圖2中的R=220曲線所示，部分離化等離子體中的各種自聚焦效應大于激光脈沖的真空衍射效應，隨著激光傳播距離增大，激光焦斑半徑與脈沖寬度塌縮;當R＜Rm時，如圖2中的R=100曲線所示，激光的脈沖寬度與焦斑半徑隨傳播距離增大而增大，主要表現(xiàn)衍射發(fā)散效應。而且在傳播相同距離時，激光脈沖發(fā)散時，徑向存在的等離子體通道自聚焦對 r～s的發(fā)散有抑制作用，L～值始終大于 r～s值，所以在部分離化等離子體中，有限長激光脈沖傳播時引入變化的脈沖寬度值是有必要的。

Fig.2 Variations of normalized spot size~rsand pulse length~L of a laser pulse with normalized propagating distance~z for different intensity of polarization nonlinearity R

根據(jù)演化方程組(12)式、(13)式可知，等離子體的電離程度對尾波場的各分量也有影響，給定激光脈沖強度與等離子密度時，可以得不同R值下，TWF和LWF單獨作用時激光焦斑半徑和脈沖寬度隨傳播距離 z～的演化關(guān)系，如圖3所示。在R=100時，單獨考慮TWF作用，激光脈沖是衍射發(fā)散，而單獨考慮LWF，激光脈沖發(fā)生聚焦直至塌縮;隨著R的增大，在R=220時，TWF作用的激光脈沖也產(chǎn)生了明顯的自聚焦效應。由此可得:在相同等離子體電離程度R時，LWF對激光自聚焦效應的增大作用比TWF的增大作用要強;隨著等離子體電離程度R增大，TWF與LWF對激光在部分離化等離子體中自聚焦作用增強，而且電離程度愈大增強作用愈明顯。另外，在部分離化等離子體中，影響激光尾波場效應的參量還有很多，如激光脈沖初始強度a0、等離子體密度n0等，如當激光脈沖強度及等離子體電離程度一定時，隨著等離子體密度n0的增大，尾波場效應增大，激光在部分離化等離子體中的自聚焦作用增強。

Fig.3 Variations of wakefield effect for different intensity of polarization nonlinearity R when the plasma density is n0=0.05

3 結(jié)論

從有限長激光脈沖在部分離化等離子體中傳播的激光場與尾波場滿足的耦合方程組出發(fā)，考慮了激光真空衍射、相對論自聚焦、部分離化非線性以及激光尾波場效應的影響，通過分析激光脈沖焦斑半徑和脈沖寬度滿足的耦合方程，詳細討論了尾波場的各分量對激光傳播特性的影響。要保證有限長激光脈沖在部分離化等離子體中傳播，初始激光脈沖寬度L0、初始焦斑半徑r0、非線性極化強度R必須滿足(14)式，并存在等離子體電離程度R=Rm時激光脈沖匹配傳播;而且在部分離化等離子體中，激光脈沖發(fā)散時，L～的增長始終大于的增長，所以L～的變化對激光脈沖的傳播是非常重要的;隨著等離子體R值增大，激光的自聚焦效應增強，并當R＞Rm時，可以明顯的觀察到激光的自聚焦效應;R值相同時，TWF比LWF對激光脈沖的自聚焦作用要小，尾波場對激光自聚焦的增強作用會隨著等離子電離程度增大而增強。值得說明的是，當前激光與部分離化等離子體之間的相互作用有很多新的觀點提出，通過研究激光在部分離化等離子體中傳播特性可以進一步理解其物理機制，為以后實驗研究提供理論指導。

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