楊夢婕，李傳起，陸 葉，羅德俊，張東闖，孔一卜

(廣西師范大學電子工程學院，桂林541004)

引 言

光正交碼(optical orthogonal code，OOC)是一組自相關及互相關性都很好的“0，1”序列［1］。在光碼分多址(optical code division multiple access，OCDMA)系統(tǒng)中，光地址碼序列的最佳選擇是光正交碼，因此光正交碼是目前地址碼研究領域的重點［2-4］。構造OOC的算法有直接構造法、有限幾何法以及區(qū)組設計法等［5-7］，每種方法都很復雜。本文中利用設計出不重復的全間隔集得到互相關和自相關都為1的正交碼。

該正交碼能夠根據實際用戶數(shù)和碼重而得出對應的碼長，對于其它方法構造的正交碼，在特定碼重下只有固定容量的地址碼，比如碼重為3的正交碼只有3個，而本文中構造的正交碼，無論碼重為多少的正交碼個數(shù)都可以根據實際用戶數(shù)而定，不局限特定的容量。雖然在固定的碼重下，所設計出的地址碼碼長也會隨著所需用戶數(shù)的增大而增大，但可以彌補普通正交碼特定碼重情況下的碼字容量過小的缺陷。

1 正交碼的設計

一個地址碼族可以表示為(L，w，λa，λc)，其中 L表示地址碼長度，w表示碼重，λa表示自相關限，λc表示互相關限。對于正交碼，λa=λc=1［1］。一個地址碼可以用(x1，x2，…，xw)表示，其中 xi表示第 i(i=1，2，…，w)個“1”在地址碼中的位置。一個地址碼有鄰1間隔集、鄰2間隔集……鄰w-1間隔集，鄰j間隔集表示地址碼“0，1”序列中隔著 j個“1”的兩個“1”之間的距離，所有w-1個間隔集構成了這個地址碼的全間隔集。一個地址碼的全間隔集中沒有相同的數(shù)字，則這個地址碼的自相關為1;一個地址碼的全間隔集中沒有數(shù)字與另一個地址碼的全間隔集中的數(shù)字相等，則這兩個地址碼的互相關為1;一個地址碼族中所有地址碼的全間隔集中都沒有重復的數(shù)字，則這個地址碼族的自相關限和互相關限為1;利用地址碼間隔集的這個特點，構造出沒有重復數(shù)字的間隔集，而得出整個地址碼族。

一個地址碼的鄰 j間隔集可以表示為(y1，j，y2，j，…，yw，j)，鄰j間隔集中的數(shù)字滿足以下關系:

式中，⊕w表示計算結果對 w 取余;i=1，2，…，w。yi，1為鄰1間隔集中的第i個元素，與地址碼序列的關系為:

根據以上關系將正交碼族中所有地址碼的全間隔集分為鄰1間隔集A以及除A以外的部分B，B由w-2 個矩陣Bn(n=1，2，…，w-2)構成，A 和 Bn可以用公式表示為:

式中，矩陣A和Bn中的值具有如下關系:

A中的1行表示一個地址碼的鄰1間隔集，N表示該地址碼族的容量，aij表示A中第i行j列的數(shù)字(i=1，2，…，N;j=1，2，…，w)，bi′j′，n表示矩陣 Bn中第i′行 j′列的數(shù)字(i′=1，2，…，N;j′=1，2，…，n)，其中i=i′，n=j-1。矩陣A 中的數(shù)字aij和矩陣Bn中的數(shù)字bi′j′，n同時利用(4)式、(5)式可求得，并同時滿足如下條件:在B中沒有值與aij相同，且B中沒有重復的數(shù)字(以下簡稱條件a)。當j從1到w-1時的具體計算方法如下:(1)j=1:由(4)式可得ai1=i，其中i=1，2，…，N;(2)j=2:i=1 時，a12=aN1+1，b11，1=a11+a12;i=2，3，…，N 時，ai2=a(i-1)2+1，bi1，1=ai1+ai2，判斷是否滿足條件a，將ai2+1直到滿足為止;(3)j=3:i=1 時，a13=aN2+1，b11，2=a12+a13，將 a13+1 直到滿足條件 a;i=2，3，…，N 時，ai3=a(i-1)3+1，bi1，2=ai1+ai2，bi2，2=ai1+ai2+ai3，判斷是否滿足條件 a，將 ai3+1直到滿足條件;(4)j=k(k=4，5，…，w-1):i=1 時，a1k=aN(k-1)+1，b11，k-1=a1(k-1)+a1k，將 a1k加 1 直到滿足條件 a;i=2，3，…，N 時，aik=a(i-1)k+1，bi1，k-1=ai(k-1)+aik，bi2，k-1=ai(k-2)+ai(k-1)+aik，…，bi(k-1)，k-1=ai1+ai2+…+aik。判斷是否滿足條件a，將aik+1直到滿足條件。

通過以上的計算方法，可以得到所有地址碼的鄰1間隔集A，再利用(2)式可以得到該正交碼族。為了便于得到較多的地址碼，利用MATLAB編程，輸入所需的碼重和地址碼容量后，可以得到該正交碼族，如在MATLAB中給定碼重5，容量10后得到的碼長為264的正交碼族，如表1所示。

Table 1 The OOCs with code length 264，code weight 5 and capacity 10

2 誤比特率性能的分析

在實際的系統(tǒng)中，不僅僅只存在多用戶干擾，還存在如暗電流噪聲、激光器消光比影響、背景光噪聲、熱噪聲、散粒噪聲等這些因素［8-10］，使得實際情況下的誤比特率(bit error rate，BER)比只考慮多址干擾情況下的誤比特率大，因此從理論上分析存在這些噪聲時，系統(tǒng)的誤比特率。

在雪崩光電檢測器(avalanche photo detector，APD)中，由信號、背景光、APD體漏電流引起的總光子吸收率［11］根據用戶發(fā)送的比特b分為兩種情況:

式中，λs為用戶發(fā)送脈沖所對應的光子吸收率，λs=ηPr/(hf)(Pr為接收的光功率，η為APD的量子效率，h為普朗克常量，f為光頻率)，λb為實際中背景光所引起的光子吸收率，e為電子電荷，Ib為體漏電流，Ib，1是b=1時Ib的值，Ib，1/e表示APD體漏電流在輸出端的值，Me為消光比。

對于碼重為w的正交碼攜帶的光信號在經過相關器進行運算時，僅在信號的w個片時隙有光子通過，余下的L-w個片時隙沒有光子通過。對于同步用戶總數(shù)為K時，K個用戶輸出的“0”或“1”的總數(shù)為Kw。當用戶發(fā)送比特b=1時，有w+I個信號以λs到達，I表示其他用戶對該用戶的干擾，有Kw-(w+I)個空信號以λs/Me到達。而背景光、APD體漏電流、表面漏電流、熱噪聲在每個片時隙都存在。因此接收端的累加輸出y的條件概率密度函數(shù)為:

式中，G為APD的平均雪崩增益，IAPD為APD的表面漏電流，F(xiàn)n為過剩噪聲系數(shù)，F(xiàn)n=keffG+(2-G-1)×(1-keff)，keff為APD 的有效電離率，σth2為熱噪聲方差，σth2=22kBTrTe-2R-1，kB為玻爾茲曼常數(shù)，Tr為接收機的噪聲溫度，R為接收機的負載電阻。

當用戶發(fā)送信號比特0時，I個脈沖以λs入射光子到達率到達，Kw-I個空脈沖以λs/Me入射光子到達率達到，其它噪聲對于每個片時隙都存在。因此，接收端累計輸出y的條件概率密度為:

當用戶發(fā)送比特b=0時，累計輸出y大于判決門限，使得輸出1而產生誤碼。當用戶發(fā)送比特b=1時，累計輸出y小于判決門限，使得輸出0而產生誤碼。因此，系統(tǒng)誤比特率定義為:

設實際用戶發(fā)送的比特0和1的概率相同，得到P(b=0)=P(b=1)=，由(7)式和(10)式，(14)式

可具體表示為:

將表1中的系統(tǒng)參量值帶入誤比特率公式中，繪制出誤比特率隨著同步用戶數(shù)變化曲線，如圖1所示。

Table 2 System parameters

圖1為誤比特率隨著同步用戶數(shù)變化曲線，由圖中可以看出，誤比特率隨著同步用戶數(shù)的增大而增大，隨著碼重的增大而降低。由于本文中設計的正交碼的碼長是根據實際情況中的用戶數(shù)和用戶對誤比特率需求而定的碼重二者共同決定的，因此繪制出碼長與碼重和碼字容量的關系圖，如圖2所示。從圖2中可以看出，碼長隨著碼重成二次函數(shù)遞增，隨著碼字容量成一次函數(shù)遞增。因此對于本文中構造的正交碼，碼重對碼長的影響較大。由(13)式可以看出，誤比特率的主要來源多址干擾隨著碼長的變長而變小，因此相對于碼字容量而言，作者設計的正交碼的誤比特率與碼重的關系更為密切。

Fig.1 BER versus the number of simultaneous users with code weight 5，7，9

Fig.2 Code length versus the code weight and code capacity

3 系統(tǒng)仿真

對于1維OCDMA系統(tǒng)的編解碼，分為時域上的編解碼和譜域上的編解碼。時域編解碼通常采用光纖延時線，譜域編解碼通常采用光纖布喇格光柵(fiber Bragg grating，F(xiàn)BG)［12-14］。因光纖延時線能夠更好地表現(xiàn)出地址碼的優(yōu)良性能，因此將采用光纖延時線對用戶進行編解碼。

通過OptiSys軟件，采用本文中設計的正交碼的二用戶異步OCDMA系統(tǒng)的仿真如圖3所示。采用波長為1550nm的脈沖激光作為光源。光纖延時線作為編解碼器，在編解碼器前加入延時來控制兩用戶的異步。并采用摻鉺光纖放大器(erbium doped fibre amplifier，EDFA)對傳輸信號進行放大。

Fig.3 Simulation of the asynchronous OCDMA system

Fig.4 Eye diagram of user 1

Fig.5 Eye diagram of user 2

兩個用戶分配到碼長 L=27、碼重w=4，分別為(0，1，4，10)和(0，2，7，15)的地址碼。用戶速率為10Gbit/s，根據用戶速率采用的單位延時為0.15ns，每個用戶用4個光纖延時作為編解碼器。則地址碼為(0，1，4，10)的用戶1 的4 個延時線分別延時 0.15ns，0.45ns，0.9ns，2.55ns。地址碼為(0，2，7，15)的用戶 2的 4 個延時線分別延時 0.3ns，0.75ns，1.2ns，1.8ns。圖4和圖5為用戶最終的眼圖。系統(tǒng)中的功率放大器只是起到增大信號功率的作用，彌補信號的削弱。由于光纖延時線是采用功率累加的方法對用戶信號進行編解碼的，因此必然存在低功率的信號干擾。從眼圖中也可以很明顯地看出，在眼圖下方存在較低的信號，光硬限幅器器能夠很好地去除這些低功率的干擾信號，但在未采用光硬限幅器的情況下，眼圖效果就已經較為良好，能夠很好地識別出有用信號。

4 結論

設計出了一種新的光正交碼，該正交碼的碼長根據實際需要的碼重和用戶容量而定，且碼長與碼重的關系較為密切。在特定碼重的情況下，可以根據實際中的用戶容量來確定碼長，使得該正交碼能夠適應各種情況。分析存在各種噪聲以及多址干擾的實際情況，根據該正交碼的特性推導出誤比特率公式，誤比特率呈現(xiàn)隨著碼重的增大而減小的趨勢。設計并搭建了異步OCDMA系統(tǒng)，在不加入光硬限幅器的情況下就能得出較好的眼圖。

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