張曉青，賈豫東，曹文娟

(1.北京信息科技大學儀器科學與光電工程學院測控技術與儀器系，北京100192;2.北京信息科技大學現代測控技術教育部重點實驗室，北京100192)

引 言

激光反饋干涉是近年來興起的一項精密測量技術，主要由一支內封裝光電探測器的激光器和一個外部反射物構成簡單的測量光路，適用于運動物體參量的測量，例如速度［1］、振動［2］以及位移［3-14］等，其中關于微位移測量系統的報道居多。

在激光反饋干涉測量微位移的系統中，測量分辨率和方向辨識是限制其發(fā)展的重要瓶頸。目前，提高測量精度采用的方法主要有:干涉條紋細分法［5-6］;快速傅里葉變換方法解調干涉信號［7-8］;采用外腔相位調制與傅里葉分析的方法［9-10］。在方向辨識方面，適度光反饋水平下的激光反饋干涉信號是非對稱類鋸齒波，傾斜方向敏感于外部反射物體的運動方向，為位移的方向辨識提供了新的途徑［11］。

本文中基于相位凝固技術對干涉信號進行調制解調［12-13］，在提高位移測量分辨率的同時對外部物體的運動方向進行辨識，并分別對移相間隔、外腔反射面振動幅度［14］、重構擬合方法對微位移測量精度的影響進行了分析和處理，減小了系統測量誤差。

1 測量系統及原理

相位凝固激光反饋干涉系統主要包括:集成光電二極管(photo diode，PD)的二極管激光器(laser diode，LD)及其驅動電路、電光相位調制器、準直透鏡、外部反射物體、干涉信號調理電路、信號解調模塊、微位移信號重構模塊等，總體結構如圖1所示。采用信號發(fā)生器在LD腔外的電光相位調制器上加載高頻正弦信號，對激光進行兩路相位調制，形成固定相位差，該兩路相位差信號再次被外部物體微運動反射面調制，一部分光返回激光腔內與腔內光相互作用，形成干涉信號輸出，探測器PD探測到的干涉信號經信號調理電路后導入到計算機中，編制計算機程序對干涉信號相同相位的點進行同步采樣，可以分別得到多組具有固定調制相位的光功率信號，再由重構算法得到外部物體微位移曲線，實現微位移測量。

Fig.1 Configuration of laser feedback interferometer system based on phase freezing technique

干涉信號相位凝固解調的處理過程包括以下步驟:探測干涉信號→去噪→相位凝固采樣→光功率信號整形→采集過零特征點→判向→構建臺階函數→重建微位移曲線。

設適度光反饋水平下光電探測器接收到的干涉光強［12-13］為:

式中，μ為反饋強度系數，ν為激光頻率，L為激光器出射面到達被測物表面的距離，I0為激光器的出射光強，c為光速。設激光腔外總相位為Φ，則:

另設Φm為激光經過相位調制器產生的附加相位，Φr為外腔反射面運動光程差ΔL對應的相位，則有:

對于Φm，可利用相位調制器產生兩路相位差為π/2的調制相位，即:

那么，在干涉信號中會有兩個光功率數據點與外腔反射面某一位置相對應。隨著外部反射面的位置改變，探測器可得到一個包含兩組光功率信號的干涉信號。采用相位凝固技術同步采樣將兩組光功率信號P1和 P2分離，其中，P1對應調制相位 Φm，1，P2對應調制相位Φm，2。在P1和P2中尋找兩個相同的光功率點，分別對應時刻t1和t2，它們的腔外總相位應該相同，即:

將(4)式帶入，可得:

根據前面Φr的定義可知:

因此，在［t1，t2］時間內被測反射面光程差(位移)為:

實際上，此ΔL即為移相間隔為π/2時重構位移的分辨率R。利用相位凝固技術，若移相間隔進一步減小，則測量分辨率會進一步提高，所得重構誤差會進一步減小。

2 測量誤差分析

2．1 移相間隔誤差分析

若 Φm，1- Φm，2= π/2，可重構得到分辨率為 λ/8的被測物體位移，依次類推，若 Φm，1- Φm，2= π/5，可重構得到分辨率為λ/20的被測物體位移。移相間隔、調制電壓、采樣時間點及分辨率的關系如表1所示，其中，Vπ是調制器半波電壓，fm是調制頻率，fs是采樣頻率。

根據表1中移相間隔與采樣點的關系，對被測物位移進行重構，得到的是臺階位移曲線，與被測物實際位移曲線相比，臺階位移曲線存在明顯的測量誤差。隨著分辨率的提高，臺階位移曲線與實際位移曲線的誤差減小，如圖2所示。

由圖2和表2可以得出結論:移相間隔越小，則采

Fig.2 Reconstruction step displacements and error curves of different resolutions

設重構微位移信號為y1(見圖2中的臺階曲線)，被測物的實際位移信號為y2(見圖2中的平滑曲線)，則重構位移與被測物實際位移之間的絕對誤差為e=，絕對誤差最大值為emax(見圖2中的a點);重構位移與被測物實際位移之間的峰峰值誤差為ep，1=(見 圖 2 中 的 b 點)，ep，2=(見圖2中的c點)，則峰峰值誤差的平均值為 ep=(ep，1+ep，2)/2，不同分辨率情況下的測量誤差如表2所示。樣次數越多，得到的重構目標物體微位移的分辨率就越小，相應地重構位移與被測物實際位移之間的絕對誤差、峰峰值誤差也就越小。

Table 1 Relations among intervals of phase shifts ΔΦ，resolutions R，modulating voltages V and sampling numbers n

Table 2 Measurement errors of different resolutions

2．2 外腔反射面振動幅度的選擇誤差分析

外腔反射面振動幅度的不同使重構位移的誤差大小有所不同。在分辨率為λ/16的情況下，設外腔反射面振動幅度為d0，不同外腔反射面振動幅度所得的重構位移和誤差曲線如圖3所示，其中，臺階曲線為重構位移，平滑曲線為實際位移，a點絕對誤差最大值為emax，b 點峰峰值誤差為 ep，1，c 點峰峰值誤差為 ep，2，則峰峰值誤差的平均值為 ep=(ep，1+ep，2)/2。

不同振動幅度情況下所得的誤差如表3所示。由表3可知，外腔反射面振動幅度越大，得到的重構位移與被測物實際位移之間的絕對誤差最大值越大，二者之間的峰峰值誤差越大。這主要是因為在調制干涉信號的過程當中外腔長度在變化，也就是說外腔反射面振動幅度越大，在同樣的采樣時間內，外腔長度變化的就越多，導致誤差越大。為方便觀察輸出信號條紋，本實驗中選擇外腔反射面振動幅度為1550nm。

Table 3 Measurement errors of different vibrating amplitudes

Fig.3 Reconstruction step displacements and error curves of different vibrating amplitudes

2．3 擬合方法誤差分析

重構位移信號為臺階曲線，它與外腔反射面實際位移之間有一定的誤差，當選定外腔反射面的振動頻率為f0=10Hz，外腔反射面的振動幅度為d0=1550nm時，對干涉信號5次采樣，并得到重構位移與被測物實際位移之間的誤差曲線，如圖2h所示，重構位移與被測物實際位移之間絕對誤差最大值為91.13nm，兩個峰峰值誤差均為0.0074nm。為了減小重構位移與被測物實際位移之間的誤差，可采用擬合的方法對重構位移進行處理。

2.3.1 1階線性插值擬合誤差分析 為了進一步減小位移測量誤差，選取臺階函數的折點作為特征點，使用MATLAB中的interp函數進行1階線性插值，得到重構位移曲線2，如圖4所示。曲線2與圖4中的被測物實際位移曲線1很接近，二者的誤差曲線如圖5中的曲線2所示，未進行1階線性插值所得的誤差曲線即為圖5中的折線曲線1。可以看出，1階線性插值后的誤差曲線有了一定程度的減小。

Fig.4 Actual displacement curve and reconstruction displacement curve based on the first-order linear interpolation

Fig.5 Error curves before and after the first-order linear interpolation

由圖5可知，經1維線性插值擬合后的重構位移與被測物實際位移之間的絕對誤差最大值為62.11nm(見圖5 中 a 點)，b點峰峰值誤差 ep，1=48.12nm，c點峰峰值誤差ep，2=29.11nm，峰峰值誤差平均值 ep=38.615nm。擬合后絕對誤差最大值較未擬合情況變小，因此，1維線性插值擬合方法可以有效地減小重構位移與被測物實際位移之間的絕對誤差;但因為選擇重構位移曲線的折點作為擬合時的特征點，使得二者之間的峰峰值誤差明顯增加。

2.3.2 多項式擬合誤差分析 為了進一步減小信號解調及重構所得的臺階曲線與被測物實際位移曲線之間的誤差，對臺階曲線進行多項式擬合逼近，得到多項式重構位移曲線2(即圖6中的實線曲線2)?？梢钥闯觯€2與被測物實際位移曲線1(即圖6中的虛線曲線1)重合度較好，二者的誤差曲線如圖7的光滑曲線2所示，相比未進行多項式擬合所得的誤差曲線1(即圖7中的折線誤差曲線1)，誤差明顯減小了。

Fig.6 Reconstruction displacement after polynomial fit and actual displacements

Fig.7 Error curves before and after polynomial fit

由圖7所示可知，多項式擬合后的重構位移與被測物實際位移之間的絕對誤差最大值為47.98nm(見圖7中 a點)，b點峰峰值誤差 ep，1=0.0019nm，c點峰峰值誤差 ep，2=1.1760nm，峰峰值誤差平均值 ep=0.5889nm。多項式擬合后絕對誤差最大值較未擬合和1維線性插值擬合情況都變小，峰峰值誤差也都減小了，因此，采用多項式擬合方法可以有效地減小重構位移與被測物實際位移之間的絕對誤差。

3 結論

分析了激光反饋干涉系統采用相位凝固技術測量微位移的主要誤差來源，包括移相間隔、外腔反射面振動幅度以及重構位移的擬合方法等。分析得出:減小移相間隔并增加采樣次數使重構位移分辨率減小;適當減小外腔反射面振動幅度使測量的絕對誤差和峰峰值誤差減小;采用多項式擬合重構位移曲線較未擬合或1維線性插值擬合進一步減小了測量誤差。系統實驗表明了相位凝固技術在激光反饋干涉測量中能夠實現準確判向，設置移相間隔靈活簡便，配合多項式擬合重構位移曲線，有效提高了系統的測量精度。

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