王修湯

“你是我的小呀小蘋果，怎么愛你都不嫌多……”

課本里有好多與圓有關的問題，這些問題就像一個個紅紅的小蘋果，掛在課本這棵知識大樹上，它們散發(fā)著濃郁的香味，讓我們?yōu)橹裕瑸橹畠A倒.如果我們不能發(fā)現它，那么就喪失了獲取營養(yǎng)的寶貴機會，下面讓我們以一道課本例題為引，來看看同學們都是怎么思考的.

一、課本例題

課本例題 如圖1，在半圓形的鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取使這個矩形的面積最大？

面對這個問題，同學們會有些什么想法呢？毫無疑問，半圓的半徑應該是定值R，怎么表示矩形ABCD的面積S呢？甲、乙兩位同學給出了以下兩種解法.

那么為什么這個問題設角θ為自變量比較簡單呢？仔細研究可以發(fā)現，是因為點C在半圓上運動，引起了其他幾個點的運動，從而矩形的形狀也同時發(fā)生了改變.那么點C又是如何運動的呢？難道是無規(guī)則的布朗運動（化學中分子的無規(guī)則運動）？不是！它繞著圓心0作圓周運動，這樣一來，我們自然而然就想到設圓心角∠BOC=θ為自變量了.

二、課本習題

像例題那樣，點在圓周（或圓?。┥线\動的問題，我們一般都是選擇一個角作為自變量，再看課本中的兩道習題.

習題1 在一個圓的所有內接矩形中，怎樣的矩形面積最大？

這個問題就是：矩形ABCD內接于半徑為r的圓，當矩形為何形狀時，矩形的面積最大.

方法2 如圖3，連結AC.在（直徑AC所分的）每一個半圓中，直角三角形斜邊長2r一定，斜邊AC上的高最大時，每一個直角三角形面積最大，矩形面積最大.在Rt△ABC中，過B作AC的垂線，垂足為H，當H與圓心0重合時，BH最大，Rt△ABC面積最大，此時矩形為正方形，其面積也最大.

方法3 如圖4，設AB=x，則AD=

比較一下三種解法，你就不難發(fā)現設角為自變量的優(yōu)勢.

習題2 （此題也是人教版例題） 如圖5，在半徑為R、圓心角為60。的扇形AB弧上任取一點P，作扇形的內接矩形MNPQ，使點Q在OB上，點M，N在OA上，求這個矩形面積的最大值及相應的∠AOP的值.

你一定覺得習題1好做，甚至有三種方法，而習題2就不知怎么下手，甚至不會做.

通過習題1的解決總結出的解決問題的方法你注意到了嗎？你關注的是如何更快地獲得結果，而解決問題過程中所反映出來的方法在不經意間卻流失掉了.

其實解決習題2與解決習題1的過程是一樣的！這就是：

第1步：找出影響函數值變動的因素，選擇自變量；

第2步：用含自變量的代數式表示函數式中要用的其他量；

第3步：建立目標函數，明確定義域；

第4步：求出最值，并指出相應的自變量的值；

第5步：答（回答實際問題的解決辦法等）.

三、小試牛刀

像這樣的“小蘋果”也經常出現在各種試卷上，同學們，想到設角為自變量了嗎？讓我們“小試牛刀”！

試題1 （南京市2011屆高三一模）如圖1，在半徑為30cm的半圓形（0為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A，B在直徑上，點C，D在圓周上.（1）怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求最大面積；（2）略，