張凌空 牛安福

（中國(guó)北京100045中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)中心）

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鉆孔體應(yīng)變與面應(yīng)變觀測(cè)井孔耦合系數(shù)的計(jì)算

（中國(guó)北京100045中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)中心）

鉆孔應(yīng)變觀測(cè)系統(tǒng)（巖石、 膨脹水泥和應(yīng)變儀鋼筒）存在顯著的井孔耦合效應(yīng)， 只有確定這一耦合系數(shù)， 才能得到地殼巖石的真實(shí)應(yīng)變值， 從而實(shí)現(xiàn)不同測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的可比性． 本文根據(jù)雙襯套理論及彈性力學(xué)理論， 建立了三維空間應(yīng)力作用下體應(yīng)變與面應(yīng)變觀測(cè)力學(xué)模型， 并進(jìn)一步推導(dǎo)各自井孔耦合系數(shù)計(jì)算式， 發(fā)現(xiàn)兩組系數(shù)與井孔的受力狀況密切相關(guān)， 分別與不同力源引起的應(yīng)變信號(hào)相對(duì)應(yīng)． 亦即應(yīng)力比（鉆孔軸向應(yīng)力與平面應(yīng)力之比）不同， 耦合系數(shù)也不一樣， 體應(yīng)變隨應(yīng)力比的增大而下降， 面應(yīng)變則上升. 本文結(jié)果還表明平面應(yīng)力作用下的耦合系數(shù)與外加應(yīng)力無(wú)關(guān)， 只與觀測(cè)系統(tǒng)本身有關(guān)， 故數(shù)值保持恒定. 此外， 文中對(duì)其影響因素也進(jìn)行了分析， 結(jié)果表明， 體應(yīng)變和面應(yīng)變的井孔耦合系數(shù)均隨巖石彈性模量和泊松系數(shù)的增大而增大， 且前者的幅度較大， 井孔耦合材料水泥對(duì)二者影響均很小．

體應(yīng)變 面應(yīng)變 井孔耦合系數(shù) 力學(xué)模型

引言

巖石、 膨脹水泥和儀器鋼筒組成了3層復(fù)合雙襯套結(jié)構(gòu)， 由于應(yīng)力集中和外加應(yīng)力在各層介質(zhì)中的連續(xù)傳遞， 井孔存在明顯的耦合效應(yīng)， 故測(cè)得的鉆孔體應(yīng)變（εTi）或面應(yīng)變（εmi）不同于無(wú)孔巖石的真實(shí)體應(yīng)變（εT）或面應(yīng)變（εm）， 二者之間分別用體應(yīng)變井孔耦合系數(shù)或面應(yīng)變井孔耦合系數(shù)進(jìn)行校正（即εTi=βTεT或εmi=βmεm）． 只有將觀測(cè)應(yīng)變值除以耦合系數(shù)才能得到地殼巖石的真實(shí)應(yīng)變量（即εT=εTi/βT或εm=εmi/βm）， 從而各臺(tái)站之間的數(shù)據(jù)才具有可比性， 這對(duì)于資料分析、 處理、 評(píng)估等具有實(shí)際意義．

鉆孔應(yīng)變儀問(wèn)世以來(lái)很長(zhǎng)一段時(shí)間, 觀測(cè)臺(tái)網(wǎng)一直發(fā)展緩慢（蘇愷之等， 2003； 邱澤華， 石耀霖， 2004； 邱澤華， 2010）， 截止到2003年美國(guó)大約有25套體應(yīng)變儀， 日本和中國(guó)各有30余套； 分量式應(yīng)變儀使用得更少， 美國(guó)有4套， 日本和中國(guó)各約有8套， 所以井孔耦合系數(shù)問(wèn)題一直很少有人探究． 開(kāi)始于2003年的美國(guó)“板塊邊界觀測(cè)計(jì)劃（PBO）”（張寶紅， 2004， 2010）， 決定沿圣安德烈斯斷層和阿拉斯加南部地區(qū)新建175個(gè)鉆孔應(yīng)變觀測(cè)臺(tái)站， 目前已安裝了85套Gladwin型分量式應(yīng)變儀， 并獲得初步觀測(cè)資料（Roeloffs， 2010）． 受美國(guó)影響“十五”期間中國(guó)地震局進(jìn)行了大規(guī)模數(shù)字化地震觀測(cè)網(wǎng)絡(luò)建設(shè)， 鉆孔應(yīng)變儀作為重要的形變前兆觀測(cè)儀器在全國(guó)重點(diǎn)地震監(jiān)測(cè)區(qū)得到使用和推廣（歐陽(yáng)祖熙等， 2009； 李海亮， 李宏， 2010； 牛安福等， 2011）， 其中國(guó)產(chǎn)TJ-2型體應(yīng)變儀建立了近百個(gè)測(cè)點(diǎn)， 國(guó)產(chǎn)YRY-4型、 RZB-2和RZB-3型等分量式應(yīng)變儀共建立了約60個(gè)測(cè)點(diǎn)， “十二五”期間有一大批臺(tái)站啟用．

新形勢(shì)下鉆孔應(yīng)變觀測(cè)臺(tái)網(wǎng)的快速發(fā)展， 將井孔耦合系數(shù)的計(jì)算問(wèn)題逐步推至議事日程． 早期， Evertson（1977）曾率先建立起三維空間應(yīng)力作用下體應(yīng)變的觀測(cè)模型. 近年來(lái)張凌空等（2012）及張凌空和牛安福（2013）發(fā)現(xiàn)該模型在參數(shù)k的解算上有些問(wèn)題， 便根據(jù)潘立宙（1981）、 歐陽(yáng)祖熙和張宗潤(rùn)（1988）以及陳沅俊和楊修信（1990）先后提出的雙襯套理論和彈性力學(xué)理論， 分別用兩種方法重新解算了k值并得到相同結(jié)果． 本文以此工作為基礎(chǔ)， 進(jìn)一步推導(dǎo)體應(yīng)變、 面應(yīng)變觀測(cè)井孔耦合系數(shù)的計(jì)算式， 并對(duì)各種影響因素進(jìn)行分析．

1 三維空間應(yīng)力作用下體應(yīng)變與面應(yīng)變觀測(cè)的力學(xué)模型

世界上首臺(tái)高靈敏度鉆孔應(yīng)變儀是美國(guó)華盛頓卡耐基研究所Sacks教授和德克薩斯大學(xué)Evertson博士于1968年共同研制成功的（劉瀾波等， 1986）. 之后Evertson （1977）在“用于地震學(xué)研究的鉆孔應(yīng)變儀”的研究報(bào)告里， 首次建立了三維空間應(yīng)力σ1,σ2,σ3作用下的鉆孔體應(yīng)變觀測(cè)模型， 即

（1）

式中,E3和μ3分別表示巖石的彈性模量和泊松系數(shù)，k為探頭鋼筒內(nèi)壁面應(yīng)變與裸孔巖石面應(yīng)變之比．

關(guān)于面應(yīng)變計(jì)算， 分量式應(yīng)變儀因?yàn)闆](méi)有鉆孔軸向上線應(yīng)變記錄功能， 故[σ3-μ3（σ1+σ2）]/E3一項(xiàng)可視為0， 因而探頭記錄到的面應(yīng)變?yōu)?/p>

.

（2）

式（1）、 （2）中k是一個(gè)至關(guān)重要的參數(shù)， 它直接影響到模型的表述正確與否． Evertson（1977）采用兩層介質(zhì)力學(xué)模型（巖石、 儀器鋼筒）， 并作了兩點(diǎn)假定解算出k≈0.9． 由于實(shí)際觀測(cè)系統(tǒng)為3層介質(zhì)， 故忽略了水泥層影響的兩層介質(zhì)模型不是很合理． 張凌空等（2012）及張凌空和牛安福（2013）用雙襯套法（潘立宙， 1981； 歐陽(yáng)祖熙， 張宗潤(rùn)， 1988； 陳沅俊， 楊修信， 1990）和厚壁圓筒方程法（楊緒燦， 金建三， 1987）分別重新解算了k值， 并得到一致結(jié)果.

（3）

式中X4是與觀測(cè)系統(tǒng)各層材料的彈性參數(shù)和半徑都有關(guān)的一個(gè)量， 為

（4）

其中，α1=（1+μ1）/E1,α2=（1+μ2）/E2,α3=（1+μ3）/E3,β1=（1-μ1）/E1,β2=（1-μ2）/E2,β3=（1-μ3）/E3. 式中：r1，r2分別為鋼筒內(nèi)、 外半徑；r3為井孔半徑， 鋼筒、 水泥、 巖石的彈性模量和泊松比分別為E1和μ1，E2和μ2及E3和μ3．

由于k≈0.9是Evertson（1977）根據(jù)Sacks-Evertson體應(yīng)變儀的參數(shù)解算出來(lái)的， 又采用了兩層介質(zhì)簡(jiǎn)化模型， 故巖石彈性參數(shù)（E3，μ3）的合理取值范圍變得很窄， 并且不適用于其它型號(hào)應(yīng)變儀（如國(guó)產(chǎn)TJ-2型體應(yīng)變儀、 YRY-4型和RZB型分量式應(yīng)變儀等）的計(jì)算， 而式（3）則是通用式．

式（1）、 （2）構(gòu)成了鉆孔體應(yīng)變與面應(yīng)變觀測(cè)的理論基礎(chǔ)， 只要給出任何影響地應(yīng)變觀測(cè)的應(yīng)力解（σ1，σ2，σ3）， 就可以代入這兩個(gè)公式建立相應(yīng)的模型， 如應(yīng)變固體潮、 應(yīng)變氣壓波和應(yīng)變地震波等． 當(dāng)σ3=0時(shí)， 平面應(yīng)力（σ1，σ2）作用下探頭鋼筒內(nèi)壁上的體應(yīng)變和面應(yīng)變的表達(dá)式分別為

（5）

（6）

式（5）、 （6）與張凌空等（2012）根據(jù)雙襯套理論推導(dǎo)的公式形式完全一致．

根據(jù)式（5）、 （6）也可以逆推回式（1）、 （2）， 即如果鉆孔存在軸向主應(yīng)力σ3， 則其對(duì)裸孔巖石產(chǎn)生的水平面應(yīng)變?yōu)?2μ3σ3/E3， 對(duì)儀器鋼筒內(nèi)壁產(chǎn)生的面應(yīng)變?yōu)?2kμ3σ3/E3， 沿鉆孔軸向產(chǎn)生的線應(yīng)變近似等于其周圍巖體的軸向應(yīng)變?chǔ)?/E3. 根據(jù)彈性力學(xué)中的疊加原理， 鋼筒內(nèi)壁徑向應(yīng)變和軸向應(yīng)變等于每種外力單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的應(yīng)變之和， 于是式（5）加上（1-2kμ3）σ3/E3， 式（6）加上-2kμ3σ3/E3， 就分別得到了在三維空間應(yīng)力作用下的式（1）和式（2）．

在實(shí)際測(cè)量中體應(yīng)變數(shù)據(jù)可由體應(yīng)變儀直接給出， 面應(yīng)變數(shù)值則需要簡(jiǎn)單求和. 對(duì)于國(guó)產(chǎn)四分量應(yīng)變儀面應(yīng)變等于兩組相互垂直的分量元件數(shù)值之和， 國(guó)外三分量應(yīng)變儀則等于3組測(cè)量元件數(shù)值之和的2/3．

2 三維空間應(yīng)力作用下體應(yīng)變與面應(yīng)變的關(guān)系

將式（2）除以式（1）得

令η=σ3/（σ1+σ2）， 其物理含義是鉆孔軸向應(yīng)力與平面應(yīng)力之比， 簡(jiǎn)稱應(yīng)力比， 則

（7）

f即為三維空間應(yīng)力作用下體應(yīng)變與面應(yīng)變的轉(zhuǎn)換系數(shù)， 有εmi=fεTi， 即體應(yīng)變與面應(yīng)變之間存在f倍的關(guān)系．

圖1 三維空間應(yīng)力作用下體應(yīng)變與面應(yīng)變的轉(zhuǎn)換系數(shù)（f）隨應(yīng)力比（η）的變化

當(dāng)觀測(cè)系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)均為定值時(shí)， 如美國(guó)Sacks-Evertson體應(yīng)變井（Evertson， 1977； 張凌空等， 2012），E1=19.6×1010Pa，μ1=0.30，r1=54 mm，r2=57 mm，r3=76 mm，E2=2.0×1010Pa，μ2=0.35. 取E3=5×1010Pa，μ3=0.25， 則f與η密切相關(guān)， 隨其增大而減?。▓D1）． 當(dāng)η值確定時(shí)f只與巖石的E3和μ3有關(guān)， 其變化規(guī)律與張凌空等（2012）給出的圖2類似． 式（7）表明雖然體應(yīng)變儀不能直接測(cè)得面應(yīng)變， 但可以用公式將體應(yīng)變轉(zhuǎn)換成面應(yīng)變． 當(dāng)η=0時(shí)， 得到的是平面應(yīng)力（σ3=0）作用下的轉(zhuǎn)換系數(shù)

（8）

式（8）在張凌空等（2012）文中已作過(guò)比較詳細(xì)的討論．

3 無(wú)孔巖石的應(yīng)變力學(xué)模型

根據(jù)彈性力學(xué)原理（楊緒燦， 金建三， 1987）， 在水平應(yīng)力σ1，σ2和垂直應(yīng)力σ3的作用下， 裸孔巖石的線應(yīng)變?yōu)?/p>

其體應(yīng)變?yōu)?/p>

（9）

面應(yīng)變?yōu)?/p>

（10）

當(dāng)σ3=0時(shí)得到平面應(yīng)力作用下的力學(xué)模型為

（11）

（12）

4 井孔耦合系數(shù)計(jì)算

4.1 三維空間應(yīng)力作用下的井孔耦合系數(shù)

將式（1）除以式（9）， 得到體應(yīng)變觀測(cè)井孔耦合系數(shù)為

（13）

圖2 三維空間應(yīng)力作用下體應(yīng)變與面應(yīng)變井孔耦合系數(shù)（βT, βm）隨應(yīng)力比（η）的變化

將η=σ3/（σ1+σ2）代入式（13）得

（14）

同理， 將式（2）除以式（10）， 得到面應(yīng)變觀測(cè)井孔耦合系數(shù)為

（15）

圖2給出了體應(yīng)變、 面應(yīng)變井孔耦合系數(shù)隨應(yīng)力比的變化. 可以看出，βT和βm與η密切相關(guān)， 當(dāng)E3和μ3取定值時(shí)， 二者分別隨η增加而下降或上升（圖2）； 如果η、 鉆孔和儀器等有關(guān)參數(shù)確定， 則二者只與巖石彈性模量和泊松系數(shù)相關(guān)（變化規(guī)律與圖3相近）． 需要指出的是， 在不同的應(yīng)力場(chǎng)中η值是不一樣的， 如大氣壓、 地震波等． 因此， 在三維空間應(yīng)力作用下耦合系數(shù)并非獨(dú)立量， 而是與某種力源相對(duì)應(yīng)， 同一口鉆井可以有多個(gè)耦合系數(shù)； 數(shù)據(jù)標(biāo)定也不具有普遍意義， 只是針對(duì)某種信號(hào)而言．

4.2 平面應(yīng)力作用下的井孔耦合系數(shù)

通常情況下地殼巖石以水平應(yīng)力為主， 在平面應(yīng)力作用下，σ3=0，η=0， 根據(jù)式（14）和（15）有

（16）

（17）

這時(shí)耦合系數(shù)與外加應(yīng)力無(wú)關(guān)， 對(duì)于特定的鉆孔、 儀器， 只與巖石彈性模量和泊松系數(shù)有關(guān)． 表1給出了北京地區(qū)5個(gè)Sacks-Evertson體應(yīng)變臺(tái)站井孔耦合系數(shù)的計(jì)算結(jié)果．

表1 北京地區(qū)Sacks-Evertson體應(yīng)變井的井孔耦合系數(shù)Table 1 Borehole coupling coefficient of Sacks-Evertson volume strainmeter in Beijing area

4.3 影響因素分析

“十五”以后我國(guó)使用的體應(yīng)變儀主要是TJ-2型, 其技術(shù)參數(shù)為E1=21×1010Pa，μ1=0.30，r1=42 mm，r2=44.5 mm，r3=65 mm，E2=3.0×1010Pa，μ2=0.25 （蘇愷之等， 2003）. 將其分別代入式（16）和（17）， 繪制出在平面應(yīng)力作用下βT和βm隨巖石彈性參數(shù)變化的曲線（圖3）. 可以看出， 二者的變化規(guī)律很相近， 即二者均隨巖石彈性模量和泊松系數(shù)的增大而增大， 只是體應(yīng)變的幅值增大更多、 變化更劇烈． 由于應(yīng)變儀探頭安裝時(shí)膨脹水泥的干稀程度每口井均會(huì)有一定的變化， 導(dǎo)致其彈性參數(shù)可能存在一定波動(dòng)． 圖4給出了βT和βm隨E2和μ2的變化曲線. 可以看出， 在E2=2.1×1010Pa附近βT和βm達(dá)到峰值， 并且隨μ2的增大而增大. 即當(dāng)E2不變時(shí)，μ2每增加0.1，βT和βm分別平均增大

圖3 體應(yīng)變（a）、 面應(yīng)變（b）井孔耦合系數(shù)與巖石彈性參數(shù)E3的關(guān)系

圖4 膨脹水泥彈性參數(shù)μ2改變對(duì)體應(yīng)變（a）與面應(yīng)變（b）井孔耦合系數(shù)的影響

0.07和0.05； 當(dāng)μ2不變時(shí)，βT和βm最大改變量分別為0.3和0.2． 一般情況下鉆孔安裝工藝要求E2控制在（2.5—4）×1010Pa范圍內(nèi)（蘇愷之等， 1987）， 這樣βT最多改變0.155，βm則為0.104. 因此E2和μ2的改變對(duì)體應(yīng)變、 面應(yīng)變的耦合系數(shù)影響很?。?/p>

5 討論與結(jié)論

1） 在三維空間應(yīng)力作用下鉆孔體應(yīng)變和面應(yīng)變觀測(cè)的力學(xué)模型可分別表述為式（1）、 （2）的形式， 其中參數(shù)k用式（3）表述. 該組公式構(gòu)成了鉆孔應(yīng)變觀測(cè)的一個(gè)理論基礎(chǔ)， 只要給出任何影響地應(yīng)變觀測(cè)的應(yīng)力解， 都可以代入這兩個(gè)公式建立相應(yīng)的模型． 由這兩個(gè)公式還可以推導(dǎo)出體應(yīng)變與面應(yīng)變的轉(zhuǎn)換系數(shù)， 從而實(shí)現(xiàn)了體應(yīng)變觀測(cè)數(shù)據(jù)向面應(yīng)變觀測(cè)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換．

2） 井孔耦合系數(shù)（βT,βm）是指鉆孔體應(yīng)變或面應(yīng)變的理論觀測(cè)值與無(wú)孔巖石的理論真實(shí)值之比， 用以表明井孔耦合效應(yīng)（由外加應(yīng)力在各層介質(zhì)中的傳遞引起）對(duì)觀測(cè)的影響， 可分別表述為式（14）和（15）． 其中η=σ3/（σ1+σ2）， 為鉆孔軸向應(yīng)力與平面應(yīng)力之比．βT隨η增加而下降，βm則上升， 且βT變化幅度比βm小得多． 在平面應(yīng)力作用下η=0，βT和βm均隨E3和μ3的增加而上升， 且βT變化幅度大； 在工藝施工范圍內(nèi)（E2=（2.5—4）×1010Pa），E2和μ2改變對(duì)二者影響很小，βT最多減小0.155，βm最多減小0.104．

3） 通常情況下各測(cè)點(diǎn)體應(yīng)變或面應(yīng)變觀測(cè)值一般不能直接進(jìn)行比較（除非它們的觀測(cè)條件完全相同）， 只有將實(shí)測(cè)值除以井孔耦合系數(shù)轉(zhuǎn)換成真實(shí)的巖石應(yīng)變值后， 各臺(tái)站之間的數(shù)據(jù)才具有可比性， 這一步稱作體應(yīng)變或面應(yīng)變觀測(cè)的局地標(biāo)定． 需要指出的是， 井孔耦合系數(shù)與井孔的受力狀況有關(guān)， 在三維空間應(yīng)力作用下（如大氣壓和地震應(yīng)力等），βT和βm與η有關(guān)， 表明同一口井力源不同耦合系數(shù)也不一致， 因此標(biāo)定值可以有多個(gè)； 在平面應(yīng)力作用下（如日、 月潮汐引力）， 二者與外加應(yīng)力無(wú)關(guān)， 只與觀測(cè)系統(tǒng)本身有關(guān)， 因此耦合系數(shù)不變．

4） 本文使用的主要是Sacks-Evertson型和TJ-2型體應(yīng)變井的技術(shù)參數(shù)， 對(duì)于其它型號(hào)的應(yīng)變觀測(cè)井情況與之類似， 只要將有關(guān)參數(shù)代入各公式同樣可以計(jì)算和畫圖．

5） 本文從理論上探討了應(yīng)變儀觀測(cè)與鉆孔變形的關(guān)系， 這只限于很小的尺度. 由于地殼巖石橫向不均勻性， 千米級(jí)乃至百千米級(jí)尺度范圍內(nèi)鉆孔變形與周邊地殼應(yīng)變場(chǎng)的關(guān)系究竟如何， 是下一步需要重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題． 目前， 我國(guó)這方面深入細(xì)致的研究還很欠缺， 構(gòu)造應(yīng)變場(chǎng)測(cè)量中的有關(guān)理論與技術(shù)有待于進(jìn)一步建立與提高．

研究過(guò)程中得到蘇愷之和邱澤華研究員的大力支持與幫助， 在此謹(jǐn)表誠(chéng)摯謝意．

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Calculation of borehole coupling coefficient based on borehole volume strain and area strain observation

（ChinaEarthquakeNetworksCenter,Beijing100045,China）

Obvious borehole coupling effect exists in the borehole strain observation system （rock, expansive cement and strainmeter steel tube）.The real strain of rock in the crust can be obtained by determinng the coupling coefficient, so that comparativity of the data measured at the different points can be improved. According to the double bushing theory and elastic mechanics model, this paper establishes the mechanical models of volume strain and area strain observation under the action of three-dimensional stress. Then we deduced the borehole coupling coefficient formula at different observatories, from which we found that the coefficient was closely related to stress in the holes. The different strain signals can be correspondently attributed to different sources. That is to say, the stress ratio （the ratio of axial stress of drilling to plane stress） is different, the coupling coefficient is not the same. The volume strain decreased with the stress ratio increasing, and area strain increased. In addition, the coupling coefficients under plane stress had nothing to do with the additional stress, but only with the observation system as shown by the constant measurements. Finally, the affecting factors were analyzed. The results show that borehole coupling coefficient of volume strain and area strain increased with the rock elastic modulus and Poisson’s coefficient increasing, and the change in the former is larger, effect of borehole coupling material of cement on the two quantities is small.

volume strain； area strain； borehole coupling coefficient； mechanical model

10.11939/jass.2015.01.007.

國(guó)家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目（2012BAK19B02-02）和地震行業(yè)科研專項(xiàng)（201108009）共同資助.

2014-03-03收到初稿， 2014-04-02決定采用修改稿.

e-mail: zhll1023@163.com

10.11939/jass.2015.01.007

P315.72+7

A

張凌空, 牛安福. 2015. 鉆孔體應(yīng)變與面應(yīng)變觀測(cè)井孔耦合系數(shù)的計(jì)算. 地震學(xué)報(bào), 37（1）: 80--88.

Zhang L K, Niu A F. 2015. Calculation of borehole coupling coefficient based on borehole volume strain and area strain observation.ActaSeismologicaSinica, 37（1）: 80--88. doi:10.11939/jass.2015.01.007.