☉江蘇省東臺市教育局教研室 周玉俊

小題大作話“折疊”

☉江蘇省東臺市教育局教研室 周玉俊

一、課本題解析

原題在線：新蘇科版（七）下第42頁復(fù)習(xí)題第19題.

如圖1，把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)部點A′的位置，∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

本題在設(shè)計思路和解題策略上具有一定的導(dǎo)向性，所以分析好本題的解題思路往往能起到舉一反三、觸類旁通的作用.下面讓我們一起對∠A′與∠1+∠2之間的關(guān)系進(jìn)行探究.

圖1

圖2

思路1：如圖1，由四邊形AEA′D可知∠A+∠AEA′+∠A′+∠A′DA=360°.

由平角的定義可知：∠1+∠AEA′+∠2+∠A′DA= 360°.

所以∠1+∠2=∠A+∠A′.

由折疊得：∠A=∠A′，即∠1+∠2=2∠A′.

思路2：如圖2，連接AA′，由三角形外角的性質(zhì)可知：

∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A.

所以∠1+∠2=∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A=∠A+∠A′.

即∠1+∠2=2∠A′.

點評：思路1中巧妙地運用了兩個平角的和及四邊形的內(nèi)角和均為360°來探尋∠A′與∠1+∠2之間的關(guān)系；思路2中主要通過構(gòu)造三角形，運用其外角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.兩種方法思路雖然不同，但都達(dá)到了溝通∠A′與∠1+∠2之間關(guān)系的目的.

二、演變與探究

除了對∠A′與∠1+∠2之間關(guān)系進(jìn)行探究，能否對折疊的方式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，讓探究繼續(xù)進(jìn)行下去呢？下面，我們一起來看看這樣幾種變化.

探究一：改變折疊后點的落點位置，使點落在四邊形外部

如圖3，若把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外部點A′的位置，則∠A′與∠1、∠2之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

圖4

圖3

思路分析：運用原題中的思路2，尋找三角形的外角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

由∠1是△AEF的外角，得∠1=∠A+∠3.

同理，∠3=∠2+∠A′，則∠1=∠A+∠2+∠A′.

由于∠A=∠A′，則∠1-∠2=2∠A′.

如圖4，若把△ABC紙片沿DE折疊，使△A′DE覆蓋點C，且點A落在四邊形BCDE外部，則∠A′與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？

思路分析：延長AC交EA′于F點，與圖3相比，A與C點的相對位置發(fā)生了變化，但∠1與∠EFA、∠A的關(guān)系，∠EFA與∠2、∠A′的關(guān)系始終保持不變，故∠A′與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化，仍然為：∠1-∠2= 2∠A′.

點評：與原題相比，圖形的位置發(fā)生了改變，∠A′與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系也發(fā)生了變化，但用外角來轉(zhuǎn)化的方法并未改變.

探究二：折疊三角形的三個角，使折疊后的三個頂點落在三角形內(nèi)部同一點處

如圖5，同樣地，把一個三角形紙片ABC折疊3次，使3個頂點重合于紙片的同一點P.試探究此時∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______°.

思路分析：由折疊得：∠A=∠EPD、∠B=∠FPG、∠C=∠HPI.由∠A+∠B+C=180°，得∠EPD+∠FPG+∠HPI=180°.

圖5

則∠α+∠β+∠γ=360°-180°=180°.

由于△EFP、△GHP、△IDP的內(nèi)角和均為180°.故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=3×180°-（∠α+∠β+∠γ）= 360°.

點評：由課本習(xí)題中的折疊三角形的一個角，演變?yōu)檎郫B三個角，其變化自然，題目源于課本，卻又高于課本，解題時只需抓住折疊前后的不變量及三角形的內(nèi)角和定理即能解決問題.

探究三：折疊三角形的三個角，使折疊后的三個頂點落在三角形內(nèi)部，但不在同一點處

圖6

圖7

如圖6，如果把三角形紙片ABC折疊3次，3個頂點不重合于同一點P，那么在探究二中關(guān)于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°”的結(jié)論是否仍然成立呢？

思路1：如圖7，延長EA′、GB′、IC′，分別交FB′、HC′、DA′于點I、J、K.六邊形A′IB′JC′K的六個外角之和為360°.由折疊得：∠EA′D+∠FB′G+∠HC′I=∠A+∠B+∠C= 180°.

所以∠EIF+∠GJH+∠IKD=180°.

由△EFI、△GHJ、△IDK三個內(nèi)角的和為540°，得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=540°-180°=360°.

圖8

圖9

圖10

思路2：如圖8，在△FGB′、△HIC′、△DEA′中：

∠7+∠8+∠B′+∠9+∠10+∠C′+∠11+∠12+∠A′= 3×180°=540°.

∠7+∠8+∠9+∠10+∠11+∠12=540°-（∠A′+∠B′+∠C′）=540°-180°=360°.

由六邊形DEFGHI的內(nèi)角和為720°，得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠7+∠8+∠9+∠10+∠11+∠12）.

即：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-360°=360°.

點評：由折疊后的三個頂點落在三角形內(nèi)部同一點處到不落在同一點處，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，在解題思路上離不開六邊形的內(nèi)角和、折疊前的角等于折疊后的角等基本的解題方法.

探究四：由折疊三角形類比折疊四邊形

若將三角形紙片改成四邊形紙片，如圖9，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時，∠1+∠2與∠A、∠B之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？

思路分析：如圖10，在四邊形ABFE和四邊形A′B′FE中：

∠A+∠B+∠6+∠4=360°，∠A′+∠B′+∠5+∠3= 360°.

所以2∠A+2∠B=720°-（∠3+∠4+∠5+∠6）①.

由∠1+∠3+∠4=180°，∠2+∠5+∠6=180°，所以∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°-（∠1+∠2）②.

把②代入①得：2∠A+2∠B=720°-360°+∠1+∠2.

則∠1+∠2=2∠A+2∠B-360°.

點評：以“折疊產(chǎn)生的不變量”為基礎(chǔ)，運用探究一中的解題思路，抓住兩個平角及四邊形的內(nèi)角和為360°即可解決問題.

三、思考及感悟

習(xí)題教學(xué)要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行充分的變式探究.數(shù)學(xué)家波利亞說過：一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)?shù)剡x擇某些有意義又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生挖掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智和推理能力.通過以上探究，我們的感悟是：在平時教學(xué)過程中，我們不能僅僅滿足于對課本題的簡單掌握，習(xí)題教學(xué)要學(xué)會“小題大作”，把一個簡單的數(shù)學(xué)問題，通過變式使問題逐步加深，變成問題串，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)到數(shù)學(xué)方法、深化數(shù)學(xué)思維，只有真正讓學(xué)生領(lǐng)悟解題的思路，掌握解題的方法，才能不斷提高分析問題和解決問題的能力，提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正達(dá)到學(xué)以致用的目的.

解題過程中要讓學(xué)生親歷“數(shù)學(xué)化”思考的過程.數(shù)學(xué)課堂必須使學(xué)生有機(jī)會真正經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”，這已成為越來越多的教師的共識.因此，教學(xué)中應(yīng)采用多種教與學(xué)的方式，讓學(xué)生在獨立思考、探究學(xué)習(xí)、合作交流中學(xué)會學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的思想、方法，創(chuàng)造性地解決問題，并在親歷“數(shù)學(xué)化”過程中獲得多種體驗.折疊是一種對稱變換，其本質(zhì)上屬于軸對稱.折疊前后圖形的位置發(fā)生變化而形狀和大小不變.對于折疊較為復(fù)雜的問題，可以讓學(xué)生先實際操作，在此基礎(chǔ)上畫出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形折疊前后的數(shù)量和位置關(guān)系，繼而從中抽象出基本圖形和基本規(guī)律，找到解決這類問題的共性的方法.

總之，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，遵循學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)加強(qiáng)變式訓(xùn)練，對鞏固基礎(chǔ)、培養(yǎng)思維、提高能力有著重要的作用.教學(xué)中要特別重視對課本例題和習(xí)題的“改裝”或引申.當(dāng)然，課堂教學(xué)中的變式題最好以教材為源，以學(xué)生為本，體現(xiàn)出“源于課本，高于課本”的特點，并能在日常教學(xué)中更多地滲透到學(xué)生學(xué)習(xí)中去.同時，引導(dǎo)學(xué)生也嘗試“變題”，使他們自己去探索、分析、綜合，以全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).Z