☉江蘇連省云港市寧海中學(xué) 葛中時(shí)

重視方法，無形滲透

☉江蘇連省云港市寧海中學(xué) 葛中時(shí)

課程標(biāo)準(zhǔn)中（對于7至9年級）的教學(xué)建議是：掌握數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對于基本數(shù)學(xué)思想方法要呈現(xiàn)螺旋式上升的學(xué)習(xí)，不斷加強(qiáng)、學(xué)習(xí)和深化，以循序漸進(jìn)的方式滲透到教學(xué)中.這顯然意味著：初中數(shù)學(xué)提出的四基最高層次思想方法的教學(xué)是需要以一種滲透的方式、漸行漸學(xué)的方式去教學(xué)，進(jìn)而提高學(xué)生整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力.

一、滲透化歸思想，提升轉(zhuǎn)化意識

化歸思想是一種常用的思想方法，其不僅使用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，也已經(jīng)滲透到我們的日常生活中，其幫助我們在生活中以模式化的方式解決各種各樣的實(shí)際問題.比如Google公司招聘計(jì)算機(jī)方面的員工時(shí)曾經(jīng)出示過這樣的問題：如果想吃罐頭里的糖果，請說明步驟.大部分應(yīng)聘人員輕松地寫明了幾個(gè)步驟.隨后第二個(gè)問題是，你如何在超市里再次吃到同樣的糖果？這個(gè)問題的回答五花八門，其中一位受聘人員回答了兩步：第一步買下糖果，第二步回到第一個(gè)問題.顯然這位人員通過了測試，錄用成功.大家想一想為什么？在這位應(yīng)聘人員的問題解決過程中，體現(xiàn)了計(jì)算機(jī)員工最需要的素質(zhì)——將問題轉(zhuǎn)化為上一個(gè)問題，化歸為熟悉的場景解決問題，即只要將問題轉(zhuǎn)化為已知程序，則機(jī)械化的操作就輕松解決了.

從初中數(shù)學(xué)教學(xué)的角度而言，化歸思想也一直貫穿于教學(xué)的始終.比如：蘇教版“有理數(shù)的減法”及“有理數(shù)的除法”教學(xué)章節(jié)中，教材選用的形式是“議一議”，讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、探究、商討、交流，通過探究的方式讓學(xué)生從有理數(shù)加法和乘法的角度循序漸進(jìn)地過渡而來，體會(huì)除法、減法是由乘法、加法轉(zhuǎn)化而來的解決方式.通過教材中給出的圖示案例，我們可以發(fā)現(xiàn)減法實(shí)現(xiàn)的過程是轉(zhuǎn)換為加法的逆運(yùn)算、除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)等.教學(xué)中這種圖示化的方式將幫助學(xué)生在意識上形成一種問題解決的親切感，這種轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用也直接幫助學(xué)生認(rèn)清了減法、除法的本質(zhì)，因此化歸思想是將陌生問題轉(zhuǎn)換為熟悉知識背景解決的重要“武器”，這是提高問題解決意識形態(tài)的重要思想方法，值得教師在教學(xué)中不斷地引領(lǐng)和滲透.

二、滲透數(shù)形結(jié)合，提升數(shù)形遷移

華羅庚先生經(jīng)典名句這樣描述數(shù)形結(jié)合：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.用通俗易懂的語言來說，即代數(shù)問題可以用幾何方式去尋求解決，而且?guī)缀畏绞酱蟠蠹由盍藢W(xué)生對代數(shù)問題理解的可靠性；幾何問題雖然很直觀，但是在非常精細(xì)的環(huán)節(jié)上卻無法缺失代數(shù)方式的輔助，離開了代數(shù)，幾何化解決方式有時(shí)無法很精確地反映問題的不足和缺陷.因此，數(shù)形結(jié)合思想一直是中學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的重要思想方法，它可以將抽象問題具體化、圖形化，也可以將圖形問題全面代數(shù)化、完整化.

比如：對于初中生而言，最簡答的體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的是“有理數(shù)”一節(jié)中用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù).相對于學(xué)生來說初始并不太清晰的數(shù)學(xué)概念：相反數(shù)、絕對值，利用數(shù)軸恰比較形象、直觀地闡述了這些數(shù)學(xué)概念，是典型的圖形化策略加深數(shù)學(xué)概念.又比如在比較兩個(gè)有理數(shù)大小的時(shí)候，利用數(shù)軸也非常直觀地給予了解釋，這種以形輔數(shù)的方式使學(xué)生迅速掌握、理解圖形化策略在數(shù)學(xué)問題解決中的良好作用，教師在教學(xué)中多加以引導(dǎo)和滲透，對其后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念、更抽象的數(shù)學(xué)問題是很有幫助的.在學(xué)習(xí)平面圖形的認(rèn)識一節(jié)中，這樣的數(shù)學(xué)問題往往比較常見：已知線段AB及其反向延長線上一點(diǎn)C，使得CA=6AB.則：（1）線段CB是線段AB的多少倍？（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？（3）請編寫一個(gè)你所認(rèn)識的長度間的關(guān)系式.從上述問題普遍教學(xué)來看，對于某些學(xué)生而言往往找不到較好的解決方式.其實(shí)，教師教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生善于利用問題的幾何背景，即以形輔數(shù)的方式，將問題中的數(shù)量關(guān)系通過作出圖形進(jìn)行描繪，本題的幾何本質(zhì)躍然紙上，筆者認(rèn)為問題的解決對于任何學(xué)生而言都是輕快的.

三、滲透分類討論，提升分層意識

分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法，其重要程度不言而喻.從生活中的實(shí)際問題，到中考數(shù)學(xué)的壓軸問題，無處不存在分類討論思想的滲透.從現(xiàn)階段中學(xué)教學(xué)實(shí)踐來看，筆者認(rèn)為分類討論思想在學(xué)生腦海中的扎根還處于初級階段，學(xué)生往往只能對淺顯的、容易的問題做出淺顯的分類，對于分類是否完全，為什么要選擇在這樣的分界處切入，如何將分類做到不重、不漏，如何解決每一層分類的問題，是有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)需要改進(jìn)的.看一個(gè)實(shí)際問題的解答.

例題：如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4，MA=1，MB＞1.以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x.

（1）求x的取值范圍；

（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；

（3）探究△ABC的最大面積.

圖1

分析：當(dāng)點(diǎn)B在AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過觀察可得∠CAB和∠ACB可以成為直角，∠CBA不可能成為直角.（1）根據(jù)三角形的基本性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊及兩邊之差小于第三邊，找尋關(guān)于x的不等式，進(jìn)而得出x的取值范圍；（2）對Rt△ABC進(jìn)行分析，由勾股定理進(jìn)行分類，討論存在性；（3）把△ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題.AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種情況.

本題屬于函數(shù)問題中的探究，主要考查分類討論思想和學(xué)生的運(yùn)算能力，其中筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在分類思想上忽視或欠缺，如解第二問時(shí)只考慮一種情況等，因此教師教學(xué)中要提醒學(xué)生分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重、不漏.

四、滲透方程思想，提升建模意識

方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)一大重要思想.對于中考而言，方程思想的使用也是屢見不鮮.華師大張奠宙教師這樣描述方程思想：方程有效地刻畫了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，也是初學(xué)者對于數(shù)學(xué)認(rèn)識的第一種模型.學(xué)好了方程模型，將大大提高數(shù)學(xué)建模的意識，用未知量的方式替代了無法用語言描述的形態(tài)，從而為后續(xù)學(xué)好更為重要的不等式模型、函數(shù)模型建立良好的基礎(chǔ).筆者認(rèn)為，從小學(xué)數(shù)學(xué)到初中數(shù)學(xué)，漸漸地方程模型越來越受到教學(xué)的重視，學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題的解決也越來越多地受到方程模型的介入而成功，加強(qiáng)方程思想的滲透，成為培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的一個(gè)有效途徑.

比如案例：已知三段線段長之比為3∶4∶5，且前兩段線段長的和為28cm，則三段線段長的總和為多少？顯然，我們會(huì)將三段線段長分別設(shè)為3x、4x、5x，利用3x+4x= 28，進(jìn)而得到三段線段長的總和.從問題解決過程來看，運(yùn)算簡捷、數(shù)據(jù)處理也不煩瑣，但是從問題本身所反映出的思想來看，能合理利用方程模型，將問題轉(zhuǎn)換為恰當(dāng)?shù)奈粗渴撬枷敕椒ê侠硎褂玫捏w現(xiàn)，這種體現(xiàn)是教學(xué)必須具備和滲透的.

總之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的瑰寶.其在初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的四基中占據(jù)著最高端的教學(xué)地位，也是基于前三基合理掌握的基礎(chǔ)上，上升到意識形態(tài)的一種總結(jié)和精髓.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，限于學(xué)生對于數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識尚存在一定的模糊性，教學(xué)中更要以簡明、通俗的問題進(jìn)行初步引導(dǎo)，從數(shù)學(xué)問題出發(fā)，提出問題解決的幾種不同途徑，比如：用兩種不同的方法解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，對比代數(shù)的方式和以形輔數(shù)的方式，深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的妙用等.最后，筆者想說的是，數(shù)學(xué)教學(xué)需要思想方法，只有從思想方法層面進(jìn)行滲透，才能有助于學(xué)生站在更高的層面去閱讀學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和提高.

1.徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講［M］.武漢：華中理工大學(xué)出版社，2000.

2.臧雷.數(shù)學(xué)思想方法研究綜述［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002（10）.

3.葛艷艷.初中數(shù)學(xué)教學(xué)管窺思想方法的滲透［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（7）.

4.黃新顏.分類討論思想在解題教學(xué)中的實(shí)踐和思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（4）.Z